Un fascio di rette è una famiglia di rette legate da una stessa relazione algebrica. Nel fascio proprio tutte le rette passano per uno stesso punto, detto centro; nel fascio improprio tutte le rette sono parallele.
| Elemento | Proprietà | Formula/Nota |
|---|---|---|
| Fascio proprio di rette | Famiglia di rette passanti per uno stesso punto, detto centro | |
| Centro del fascio proprio | Si ottiene risolvendo il sistema delle due rette generatrici | |
| Fascio improprio di rette | Famiglia di rette parallele tra loro; il centro è all’infinito | con coefficiente angolare comune |
| Retta generatrice esclusa | La seconda retta generatrice non appartiene al fascio come caso finito | Corrisponde al limite formale |
| Retta del fascio con condizione | Si determina imponendo una condizione aggiuntiva, poi si calcola | Esempi: passaggio per un punto, perpendicolarità, parallelismo |
| Intersezione delle generatrici | Nel fascio proprio, tutte le rette passano per lo stesso punto | Ogni retta del fascio contiene il centro |
| Differenza tra i due fasci | Nel fascio proprio le rette si incontrano; in quello improprio restano parallele | Centro finito nel primo caso, all’infinito nel secondo |
Un fascio di rette è una famiglia di rette collegata da un vincolo comune. Questo vincolo permette di trattare molte rette con un'unica espressione.
Si osserva che il problema pratico è sempre lo stesso: trovare rapidamente tutte le rette compatibili con una certa condizione geometrica.
L'idea è simile a una serie di binari che condividono un punto di partenza, oppure una direzione comune. Cambia il parametro, ma resta fisso il legame geometrico.
Nel piano cartesiano, un fascio serve per descrivere in modo compatto tutte le rette che passano per uno stesso punto, oppure tutte le rette parallele tra loro.
Ad esempio, se e , allora il fascio si scrive . Per si ottiene una retta precisa del fascio.
Per capire il fascio in profondità, si distinguono due casi: il fascio proprio e il fascio improprio. La differenza dipende dal fatto che le rette concorrano in un punto oppure risultino parallele.
Il fascio proprio cioè la famiglia di rette che passano tutte per uno stesso punto fisso, nasce quando due rette non parallele si incontrano.
Quel punto comune si chiama centro del fascio, cioè il punto di intersezione condiviso da tutte le rette della famiglia.
Si rappresenta una retta del fascio come combinazione delle due rette generatrici. La combinazione lineare conserva il passaggio per il punto comune.
Ad esempio, dalle rette e si ottiene il fascio . Tutte le rette passano per il punto di intersezione delle due generatrici.
Per trovare il centro, si risolve il sistema formato dalle due equazioni delle rette generatrici. L'intersezione comune è il punto fisso del fascio.
Ad esempio, con e si ottiene e . Il centro è quindi .
Il fascio improprio cioè la famiglia di rette tutte parallele tra loro, compare quando il punto comune si sposta idealmente all'infinito.
In questo caso le rette hanno la stessa direzione, ma intercetta diversa. Il parametro serve a cambiare la posizione senza cambiare l'inclinazione.
Ad esempio, le rette e generano un fascio improprio perché hanno gli stessi coefficienti di e . Cambia solo il termine noto.
Si può scrivere il fascio come , dove varia e mantiene costante la direzione delle rette.
Ad esempio, per si ottiene . Per si ottiene .
La distinzione tra fascio proprio e improprio è quindi geometrica. Nel primo caso il legame è un punto comune. Nel secondo caso il legame è una direzione comune.
Si cerca spesso la retta del fascio che soddisfa una condizione aggiuntiva. L'obiettivo è selezionare una sola retta tra infinite possibilità.
La strategia è semplice: si scrive il fascio generale e poi si impone la condizione richiesta.
Se la condizione è il passaggio per un punto , si sostituiscono le coordinate nella famiglia e si determina .
Ad esempio, nel fascio si vuole la retta passante per . Si sostituisce il punto e si ottiene , quindi .
La retta richiesta è dunque .
Se la condizione è la perpendicolarità, cioè l'essere ortogonale a una retta data, si usa il coefficiente angolare oppure il prodotto dei coefficienti direttori.
Ad esempio, se una retta del fascio ha coefficiente angolare , la perpendicolare deve avere .
Nel fascio scritto come una delle due rette generatrici può sembrare assente come caso separato.
Si dice retta esclusa cioè la retta che non compare per alcun valore finito del parametro, ma si recupera nel limite del parametro all'infinito.
In pratica, scrivendo il fascio con una sola forma parametrica, una delle generatrici corrisponde al caso limite .
Ad esempio, nel fascio la retta si ottiene come generatrice del fascio, ma non come scelta diretta di un parametro finito nella forma normalizzata.
Per esempio, imponendo si trova . La seconda retta riappare solo come caso limite della descrizione parametrica.
Questo aspetto serve a capire che il parametro non è solo un numero algebrico. Esso codifica anche la posizione limite di alcune rette del fascio.
Il fascio proprio descrive una rotazione di rette attorno a un punto fisso. Il fascio improprio descrive uno scorrimento di rette parallele lungo il piano.
Si può immaginare il fascio proprio come un ventaglio aperto da un perno. Si può immaginare il fascio improprio come una pila di linee che mantengono sempre la stessa inclinazione.
Questa distinzione è fondamentale perché cambia il metodo di ricerca del centro e cambia il significato geometrico del parametro.
Nel fascio proprio il centro si trova con un sistema di due equazioni. Nel fascio improprio il centro non è un punto finito, ma una direzione comune.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con due rette secanti r1 e r2 che si incontrano nel punto C; più rette del fascio proprio che ruotano attorno a C; a lato un secondo riquadro con tre rette parallele del fascio improprio. Etichette: r1, r2, C, k1, k2, direzione comune.]
Questa è l’equazione del fascio di rette, cioè la famiglia di rette ottenuta combinando linearmente due rette dello stesso fascio.
Le rette di partenza si indicano con e . Il parametro è reale e cambia la retta scelta all’interno della famiglia.
Si considerino le rette e .
Per si ottiene la prima retta. Per si ottiene .
Il centro del fascio, cioè il punto comune a tutte le rette del fascio proprio, si trova risolvendo il sistema delle due rette generatrici.
Se il sistema ha soluzione unica , allora il fascio è proprio. Se non ha soluzione finita, il fascio è improprio.
Si risolva il sistema dato da e .
Dalla prima equazione si ha . Sostituendo nella seconda si ottiene , quindi e .
Questa forma è utile quando le due rette generatrici sono note in forma cartesiana.
I coefficienti descrivono le due rette. Il parametro seleziona una retta del fascio.
Si prendano le rette e .
Per si ottiene , che appartiene al fascio.
Nel fascio improprio, cioè il fascio formato da rette tutte parallele, le rette hanno lo stesso coefficiente angolare.
Il parametro può cambiare l’intercetta, ma non la pendenza. In questo caso il centro è all’infinito.
Le rette e sono parallele.
Per ogni valore reale di si ottiene una retta con coefficiente angolare .
Per trovare una retta del fascio che soddisfa una condizione aggiuntiva, si sostituiscono le coordinate del punto o il vincolo richiesto.
La condizione può essere un passaggio per un punto, una perpendicolarità oppure un parallelismo. Si ottiene un’equazione in e si calcola il valore cercato.
Si cerchi la retta del fascio passante per .
Si ottiene , quindi . La retta cercata è .
La retta esclusa, cioè la seconda retta generatrice, non si ottiene con un valore finito di .
Si interpreta il caso limite come direzione verso la retta generatrice non usata come riferimento nell’espressione del fascio.
Nel fascio , la retta può essere vista come generatrice esclusa nella rappresentazione scelta.
La famiglia descrive tutte le altre rette del fascio. La generatrice esclusa si recupera nel limite formale di .
Se il fascio deve passare per un punto dato, si sostituiscono le coordinate del punto nell’equazione del fascio.
Il punto deve soddisfare l’equazione risultante. Si ottiene così il parametro della retta cercata.
Si imponga il passaggio per al fascio .
Si ottiene , dunque .
Determinare il centro del fascio di rette generato da e .
[IMMAGINE: Piano cartesiano con le rette r1 e r2 intersecanti nel punto C. Evidenziare il centro C con coordinate etichettate e due rette passanti per C.]
I dati sono due rette non parallele. L'incognita è il punto comune, cioè il centro del fascio proprio.
Il metodo consiste nel risolvere il sistema formato dalle due equazioni. Si impone l'annullamento simultaneo di e .
Dalla prima equazione si ottiene .
Sostituendo nella seconda si ha , quindi .
Si ricava e quindi .
Il centro del fascio è .
Errore comune: intersecare le rette solo graficamente senza verificare il sistema algebrico.
Trovare la retta del fascio generato da e che passa per .
I dati sono due rette generatrici e una condizione aggiuntiva, cioè il passaggio per un punto assegnato.
Si scrive l'equazione del fascio nella forma .
Si impone il passaggio per , sostituendo le coordinate nell'equazione.
Si ottiene , cioè .
Si ricava .
Sostituendo il valore trovato si ottiene .
Sviluppando i termini si ha .
Errore comune: sostituire il punto nella retta generatrice invece che nella famiglia completa.
Determinare la retta del fascio improprio generato da che passa per .
[IMMAGINE: Piano cartesiano con tre rette parallele tra loro, tutte con coefficiente angolare 2. Evidenziare la retta passante per Q(0,3).]
Il fascio è improprio, cioè tutte le rette hanno lo stesso coefficiente angolare. L'incognita è il termine noto.
Una retta parallela a ha forma .
Si impone il passaggio per il punto dato sostituendo le coordinate di .
Si ottiene .
La retta cercata è .
Errore comune: cercare un centro del fascio improprio, perché le rette sono parallele e il centro è all'infinito.
Nel fascio generato da e , trovare la retta perpendicolare a .
I dati sono due generatori e una condizione di perpendicolarità. Si cerca il valore del parametro che rende i coefficienti angolari reciproci opposti.
Si scrive il fascio nella forma .
Sviluppando si ottiene .
Il coefficiente angolare è , mentre la retta data ha coefficiente angolare .
Per la perpendicolarità si impone .
Si risolve l'equazione e si ottiene .
Moltiplicando per 3 si ricava , cioè .
Errore comune: usare il coefficiente angolare della retta data senza controllare il segno nella condizione di perpendicolarità.
Confondere un fascio di rette con una sola retta scritta in forma generica.
Un fascio di rette è una famiglia di rette legate da un parametro, cioè da un numero variabile.
L’errore nasce quando si guarda solo l’equazione senza riconoscere il parametro. Un fascio descrive più rette, non una sola retta.
Scrivere il fascio come senza parametro.
La forma corretta è , dove è il parametro.
Senza parametro non si ottiene una famiglia di rette. Il parametro serve a generare tutte le rette del fascio, una per ogni valore ammesso.
Pensare che il fascio improprio abbia un centro finito.
Nel fascio improprio tutte le rette sono parallele, cioè hanno lo stesso coefficiente angolare.
Il centro del fascio improprio è detto punto all’infinito. L’errore avviene perché si cerca un punto comune che non esiste nel piano.
Sostituire una condizione qualsiasi senza verificare quale retta del fascio la soddisfi.
Si impone la condizione richiesta e si ricava il valore di oppure l’equazione della retta cercata.
Per trovare una retta del fascio si deve tradurre la richiesta in una condizione algebrica. Per esempio, se la retta deve passare per un punto, quel punto va sostituito nell’equazione del fascio.
Credere che ogni retta ottenuta con appartenga anche ai casi limite come .
La retta esclusa corrisponde al secondo generatore del fascio, cioè a , e non si ottiene con un valore finito di .
Il fascio scritto in forma lineare descrive tutte le rette tranne una. Questa retta si considera come caso limite, quindi non va confusa con le rette ottenute per valori ordinari di .
Non distinguere fascio proprio e fascio improprio, trattandoli come se fossero la stessa cosa.
Il fascio proprio ha un centro finito, mentre il fascio improprio è formato da rette parallele.
La differenza è geometrica prima ancora che algebrica. Nel fascio proprio le rette si incontrano in un punto; in quello improprio no, perché hanno la stessa direzione.
Un fascio di rette è una famiglia di rette legate da una stessa relazione algebrica. Nel fascio proprio, tutte le rette passano per uno stesso punto fisso, cioè il centro.
Si considerano due rette non parallele del fascio, e si combinano con un parametro.
L'equazione di un fascio di rette si scrive come combinazione lineare di due rette del fascio. Questa forma rappresenta tutte le rette della famiglia, tranne una retta esclusa.
Il fascio improprio è una famiglia di rette tutte parallele tra loro. In questo caso il centro è all'infinito, cioè non esiste un punto comune finito.
Se le rette hanno lo stesso coefficiente angolare, il fascio è improprio.
Si impone la condizione richiesta, e si determina il parametro del fascio. La condizione può essere il passaggio per un punto, la perpendicolarità a una retta, o il parallelismo.
Per un punto si sostituiscono le coordinate nell'equazione del fascio.
La differenza è che nel fascio proprio le rette sono incidenti in un centro comune, mentre nel fascio improprio sono tutte parallele.
Nel fascio proprio il centro si trova risolvendo il sistema delle due rette generatrici.
Il centro di un fascio proprio si trova risolvendo il sistema formato dalle due rette generatrici. Il punto ottenuto appartiene a tutte le rette del fascio.
Si parla di retta esclusa perché una delle due rette generatrici non compare come caso finito della formula con parametro. Essa corrisponde al comportamento limite per .
Per questo il fascio scritto come descrive tutte le rette tranne una.
