Esercizi su Teoria della misura

Sia $\displaystyle { A_n=(0,1/n) }$ per ogni intero $\displaystyle { n\ge1 }$, considerati con la misura di Lebesgue.

Calcola $\displaystyle { \lim_{n\to\infty}m(A_n) }$ e confrontalo con $\displaystyle { m\Bigl(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr) }$.

Definisci la funzione semplice $\displaystyle { f:[0,2]\to\mathbb{R} }$ posta pari a $\displaystyle { f(x)=1 }$ per $\displaystyle { 0\le x<1 }$ e pari a $\displaystyle { f(x)=3 }$ per $\displaystyle { 1\le x\le2 }$.

Calcola l'integrale di Lebesgue $\displaystyle { \int_0^2 f\,dm }$.

Sia $\displaystyle { s:[0,2]\to\mathbb{R} }$ definita da $\displaystyle { s(x)=1 }$ per $\displaystyle { x\in[0,1) }$ e $\displaystyle { s(x)=3 }$ per $\displaystyle { x\in[1,2] }$.

Calcola l'integrale di $\displaystyle { s }$ rispetto alla misura di Lebesgue su $\displaystyle { [0,2] }$.

Per ogni intero positivo $\displaystyle { n }$ definiamo $\displaystyle { A_n=(0,1/n) }$ come sottoinsieme di $\displaystyle { \mathbb{R} }$.

Calcola $\displaystyle { \lim_{n\to\infty}\mu(A_n) }$ e $\displaystyle { \mu\big(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\big) }$ dove $\displaystyle { \mu }$ è la misura di Lebesgue.

Calcola la misura di Lebesgue della unione degli intervalli $\displaystyle { [1,3] }$ e $\displaystyle { [2,5] }$.

Esprimi il risultato con tre cifre significative.

Considera l'insieme di Cantor $\displaystyle { C\subset[0,1] }$ ottenuto rimuovendo iterativamente il terzo centrale da ogni intervallo.

Mostra che la misura di Lebesgue di $\displaystyle { C }$ è $\displaystyle { 0 }$.

Siano $\displaystyle { A=[0,2] }$ e $\displaystyle { B=[1,3] }$.

Calcola la misura della differenza simmetrica $\displaystyle { A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) }$.

Calcola la misura di Lebesgue della unione degli intervalli $\displaystyle { I_1=(0,1) }$, $\displaystyle { I_2=[2,3] }$ e $\displaystyle { I_3=(3,4) }$.

Si consideri la misura standard su $\displaystyle { \mathbb{R} }$ definita dalla lunghezza degli intervalli.

Sia $\displaystyle { A=(0,1) }$ e sia $\displaystyle { B=(0.5,1.5) }$ come sottoinsiemi di $\displaystyle { \mathbb{R} }$.

Calcola la misura di Lebesgue di $\displaystyle { A\cup B }$.

Considera gli intervalli $\displaystyle { I_n=(2^{-n},2^{-n+1}) }$ per $\displaystyle { n\ge 1 }$.

Calcola la misura di $\displaystyle { \bigcup_{n=1}^\infty I_n }$.

Nel retto con misura di Lebesgue siano gli insiemi $\displaystyle { A=[0,2] }$ e $\displaystyle { B=[1,3] }$.

Calcola la misura di Lebesgue di $\displaystyle { A\cup B }$ e di $\displaystyle { A\cap B }$.

Dimostra che la misura esterna di $\displaystyle { \mathbb{Q}\cap[0,1] }$ è $\displaystyle { 0 }$.

Usa una copertura con intervalli la cui somma delle lunghezze è arbitrariamente piccola.

Considera l'insieme $\displaystyle { \mathbb{Q}\cap[0,1] }$ dei numeri razionali in $\displaystyle { [0,1] }$.

Dimostra che la misura esterna di Lebesgue $\displaystyle { m^* }$ di questo insieme è $\displaystyle { 0 }$.

Mostra che la misura esterna di Lebesgue di $\displaystyle { \mathbb{Q}\cap[0,1] }$ è $\displaystyle { 0 }$.

Costruisci una copertura di intervalli di lunghezza arbitrariamente piccola usando la numerabilità dei razionali.

Considera l'insieme $\displaystyle { S=\mathbb{Q}\cap[0,1] }$ delle razionali nell'intervallo unitario.

Mostra che la misura esterna di Lebesgue di $\displaystyle { S }$ è $\displaystyle { 0 }$.

Dimostra che la misura esterna di Lebesgue di un singoletto $\displaystyle { \{a\}\subset\mathbb{R} }$ è zero.

Costruisci una copertura di intervalli la cui somma delle lunghezze può essere resa arbitrariamente piccola.

Sia $\displaystyle { X=\{1,2,3\} }$.

Sia $\displaystyle { \mu }$ definita sui singoletti da $\displaystyle { \mu(\{1\})=1.00 }$, $\displaystyle { \mu(\{2\})=2.00 }$, $\displaystyle { \mu(\{3\})=0.50 }$ e estesa agli altri sottoinsiemi per additività finita.

Calcola $\displaystyle { \mu(A) }$ per $\displaystyle { A=\{1,3\} }$.

Calcola $\displaystyle { \mu(A^c) }$.

Dimostra che la funzione $\displaystyle { f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }$ definita da $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ è misurabile rispetto alla sigma-algebra boreliana su $\displaystyle { \mathbb{R} }$.

Usa la continuità o la proprietà delle funzioni monotone su intervalli rilevanti.

Sia lo spazio $\displaystyle { X=\{1,2,3\} }$ e sia la partizione data da $\displaystyle { \{\{1,2\},\{3\}\} }$.

Determina la sigma-algebra generata e il numero dei suoi elementi.

Per ogni $\displaystyle { n\ge 1 }$ definiamo $\displaystyle { I_n=(n,n+\tfrac{1}{2^{n+2}}) }$.

Calcola la misura di $\displaystyle { \bigcup_{n=1}^\infty I_n }$.