Esercizi su Serie

Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze $\displaystyle { \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n!\,x^n }$.

Motiva il risultato con il criterio del rapporto.

Per la serie di potenze $\displaystyle { \sum_{n=1}^{\infty}n x^n }$ determina il raggio di convergenza $\displaystyle { R }$ e, per $\displaystyle { |x|<R }$, esprimi la somma in funzione di $\displaystyle { x }$.

Fornisci il valore del raggio e la formula chiusa della somma.

Considera la serie alternata $\displaystyle { \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} }$.

Determina la sua somma esatta e il numero minimo di termini necessari per garantire un errore assoluto non superiore a $\displaystyle { 0.001 }$.

Calcola la somma $\displaystyle { \sum_{k=1}^{50}\frac{1}{k(k+1)} }$.

Mostra il valore esatto e l'approssimazione con quattro cifre significative.

Determinare la somma della serie $\displaystyle { \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} }$.

Mostra come la decomposizione conduce al risultato limite.

Calcola la somma dei primi $\displaystyle { 50 }$ termini della progressione aritmetica con primo termine $\displaystyle { 3.2 }$ e ragione $\displaystyle { 0.5 }$.

Esprimi la somma come $\displaystyle { S_{50} }$.

Calcola la somma dei primi $\displaystyle { 20 }$ termini della progressione aritmetica di primo termine $\displaystyle { 3 }$ e ragione $\displaystyle { 5 }$.

Scrivi il risultato numerico con tre cifre significative quando opportuno.

Calcola la somma della serie infinita $\displaystyle { \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} }$.

Motiva brevemente il procedimento e fornisci il valore della somma.

Calcola la somma della serie $\displaystyle { \sum_{k=1}^{20}\frac{1}{k(k+1)} }$.

Sfrutta la scomposizione in frazioni parziali e il meccanismo di telescoping.

Calcola la somma dei primi $\displaystyle { 20 }$ termini di una progressione aritmetica con primo termine $\displaystyle { a_1=3 }$ e ragione $\displaystyle { d=0.5 }$.

Restituisci il valore numerico della somma.

Calcola la somma dei primi $\displaystyle { 20 }$ termini di una progressione aritmetica il cui primo termine è $\displaystyle { 3 }$ e la ragione è $\displaystyle { 0.5 }$.

Restituisci il valore numerico della somma.

Calcola la somma dei primi $\displaystyle { 8 }$ termini di una progressione geometrica con primo termine $\displaystyle { 5 }$ e ragione $\displaystyle { 2 }$.

Scrivi il risultato numerico.

Determinare la somma della serie infinita geometrica con primo termine $\displaystyle { 7 }$ e ragione $\displaystyle { -\tfrac{1}{3} }$.

Verificare la condizione di convergenza e fornire il valore numerico.

Calcola la somma della serie geometrica infinita con primo termine $\displaystyle { 7 }$ e ragione $\displaystyle { -\tfrac{2}{3} }$.

Verifica la condizione di convergenza prima di applicare la formula.

Determina la somma della serie geometrica infinita con primo termine $\displaystyle { 7 }$ e ragione $\displaystyle { -\tfrac{1}{3} }$, se la serie converge.

Motiva la convergenza e calcola la somma quando possibile.

Determinare la somma della serie infinita $\displaystyle { \sum_{n=0}^{\infty}7\left(\tfrac{2}{5}\right)^n }$ e verificare la condizione di convergenza.

Scrivi il valore numerico della somma con quattro cifre significative.

Calcola la somma dei primi $\displaystyle { 8 }$ termini della progressione geometrica con primo termine $\displaystyle { 2 }$ e ragione $\displaystyle { 0.5 }$.

Restituisci il risultato con quattro cifre significative se necessario.

Calcola la somma dei primi $\displaystyle { 10 }$ termini della progressione geometrica con primo termine $\displaystyle { a_1=5 }$ e ragione $\displaystyle { r=-\tfrac{1}{3} }$.

Forni­sci il risultato arrotondato a quattro cifre significative.

Calcola la somma dei primi $\displaystyle { 8 }$ termini della progressione geometrica con primo termine $\displaystyle { 5 }$ e ragione $\displaystyle { 0.6 }$.

Usa la formula chiusa per la somma di una progressione geometrica finita.

Calcola la somma parziale dei primi $\displaystyle { 6 }$ termini della serie alternata $\displaystyle { \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} }$.

Usa il criterio di Leibniz per stimare l'errore assoluto tra la somma parziale e la somma della serie.