Esercizi su Serie

Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n!\,x^n$.

Motiva il risultato con il criterio del rapporto.

Per la serie di potenze $\sum_{n=1}^{\infty}n x^n$ determina il raggio di convergenza $R$ e, per $|x|<R$, esprimi la somma in funzione di $x$.

Fornisci il valore del raggio e la formula chiusa della somma.

Considera la serie alternata $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.

Determina la sua somma esatta e il numero minimo di termini necessari per garantire un errore assoluto non superiore a $0.001$.

Calcola la somma $\sum_{k=1}^{50}\frac{1}{k(k+1)}$.

Mostra il valore esatto e l'approssimazione con quattro cifre significative.

Determinare la somma della serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$.

Mostra come la decomposizione conduce al risultato limite.

Calcola la somma dei primi $50$ termini della progressione aritmetica con primo termine $3.2$ e ragione $0.5$.

Esprimi la somma come $S_{50}$.

Calcola la somma dei primi $20$ termini della progressione aritmetica di primo termine $3$ e ragione $5$.

Scrivi il risultato numerico con tre cifre significative quando opportuno.

Calcola la somma della serie infinita $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$.

Motiva brevemente il procedimento e fornisci il valore della somma.

Calcola la somma della serie $\sum_{k=1}^{20}\frac{1}{k(k+1)}$.

Sfrutta la scomposizione in frazioni parziali e il meccanismo di telescoping.

Calcola la somma dei primi $20$ termini di una progressione aritmetica con primo termine $a_1=3$ e ragione $d=0.5$.

Restituisci il valore numerico della somma.

Calcola la somma dei primi $20$ termini di una progressione aritmetica il cui primo termine è $3$ e la ragione è $0.5$.

Restituisci il valore numerico della somma.

Calcola la somma dei primi $8$ termini di una progressione geometrica con primo termine $5$ e ragione $2$.

Scrivi il risultato numerico.

Determinare la somma della serie infinita geometrica con primo termine $7$ e ragione $-\tfrac{1}{3}$.

Verificare la condizione di convergenza e fornire il valore numerico.

Calcola la somma della serie geometrica infinita con primo termine $7$ e ragione $-\tfrac{2}{3}$.

Verifica la condizione di convergenza prima di applicare la formula.

Determina la somma della serie geometrica infinita con primo termine $7$ e ragione $-\tfrac{1}{3}$, se la serie converge.

Motiva la convergenza e calcola la somma quando possibile.

Determinare la somma della serie infinita $\sum_{n=0}^{\infty}7\left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ e verificare la condizione di convergenza.

Scrivi il valore numerico della somma con quattro cifre significative.

Calcola la somma dei primi $8$ termini della progressione geometrica con primo termine $2$ e ragione $0.5$.

Restituisci il risultato con quattro cifre significative se necessario.

Calcola la somma dei primi $10$ termini della progressione geometrica con primo termine $a_1=5$ e ragione $r=-\tfrac{1}{3}$.

Forni­sci il risultato arrotondato a quattro cifre significative.

Calcola la somma dei primi $8$ termini della progressione geometrica con primo termine $5$ e ragione $0.6$.

Usa la formula chiusa per la somma di una progressione geometrica finita.

Calcola la somma parziale dei primi $6$ termini della serie alternata $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$.

Usa il criterio di Leibniz per stimare l'errore assoluto tra la somma parziale e la somma della serie.