Esercizi su Limiti notevoli

Selezione di esercizi con passaggi e soluzioni. Per la teoria, vedi la lezione: Limiti notevoli.

Limite $\displaystyle { \dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} }$ per $x\to 0$

Calcola il limite quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { 0 }$ della funzione $\displaystyle { g(x)=\dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} }$

Usa lo sviluppo in serie di $\displaystyle { e^{x} }$ .

Limite $\left(1+ax\right)^{1/x}$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcolare il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\left(1+ax\right)^{1/x} }$ dove $\displaystyle { a }$ è un parametro reale.

Motiva il risultato usando il logaritmo naturale.

Limite con radice quadrata $(\sqrt{1+x}-1)/x$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} }$ .

Puoi razionalizzare o sviluppare in serie il radicale.

Limite della successione $\displaystyle { \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} }$

Limiti notevoli

Determina il limite quando $\displaystyle { n }$ tende a $\displaystyle { +\infty }$ della successione $\displaystyle { a_{n}=\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} }$

Usa il logaritmo e lo sviluppo del logaritmo per numeri piccoli.

Limite della successione $\displaystyle { \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n }$

Limiti notevoli

Determinare il limite $\displaystyle { \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n }$ .

Usa la funzione logaritmo naturale per linearizzare l'esponente.

Limite di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$

Limiti notevoli

Determinare il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$ .

Usa una identità trigonometrica e il limite fondamentale di $\displaystyle { \dfrac{\sin t}{t} }$ .

Limite di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcola il limite quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { 0 }$ di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$

Usa lo sviluppo di Taylor della funzione coseno.

Limite di $\displaystyle { \dfrac{\ln(1+x)}{x} }$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcolare il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} }$ .

Puoi usare la serie di Taylor o la definizione di derivata.

Limite di sequenza $(1+1/n)^{n}$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n} }$ .

Discuti brevemente il collegamento con la costante $\displaystyle { e }$ .

Limite esponenziale $(1+x)^{1/x}$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} }$ .

Puoi procedere trasformando con il logaritmo naturale o con lo sviluppo di $\displaystyle { \ln(1+x) }$ .

Limite esponenziale $(1+x)^{1/x}$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcola il limite quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { 0 }$ di $\displaystyle { \bigl(1+x\bigr)^{1/x} }$

Usa il logaritmo per passare a un limite più semplice.

Limite fondamentale $\sin x/x$

Limiti notevoli

Calcola il limite quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { 0 }$ della funzione $\displaystyle { f(x)=\frac{\sin x}{x} }$

Mostra perché il valore limite è il numero noto nei limiti notevoli.

Limite fondamentale $\sin x/x$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} }$ .

Motiva il risultato con un ragionamento elementare o con lo sviluppo in serie.

Limite fondamentale di $\displaystyle { \dfrac{\sin x}{x} }$

Limiti notevoli

Calcolare il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} }$ .

Motiva la risposta usando una proprietà nota dei seni e dei coseni.

Limite trigonometrico quadratico $(1-\cos x)/x^{2}$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}} }$ .

Usa lo sviluppo in serie di $\displaystyle { \cos x }$ o identità trigonometrica per giustificare il risultato.

Esercizi su Limiti notevoli

Selezione di esercizi con passaggi e soluzioni. Per la teoria, vedi la lezione: Limiti notevoli.

Limite $\displaystyle { \dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} }$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcola il limite quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { 0 }$ della funzione $\displaystyle { g(x)=\dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} }$

Usa lo sviluppo in serie di $\displaystyle { e^{x} }$ .

Limite $\left(1+ax\right)^{1/x}$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcolare il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\left(1+ax\right)^{1/x} }$ dove $\displaystyle { a }$ è un parametro reale.

Motiva il risultato usando il logaritmo naturale.

Limite con radice quadrata $(\sqrt{1+x}-1)/x$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} }$ .

Puoi razionalizzare o sviluppare in serie il radicale.

Limite della successione $\displaystyle { \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} }$

Limiti notevoli

Determina il limite quando $\displaystyle { n }$ tende a $\displaystyle { +\infty }$ della successione $\displaystyle { a_{n}=\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} }$

Usa il logaritmo e lo sviluppo del logaritmo per numeri piccoli.

Limite della successione $\displaystyle { \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n }$

Limiti notevoli

Determinare il limite $\displaystyle { \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n }$ .

Usa la funzione logaritmo naturale per linearizzare l'esponente.

Limite di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$

Limiti notevoli

Determinare il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$ .

Usa una identità trigonometrica e il limite fondamentale di $\displaystyle { \dfrac{\sin t}{t} }$ .

Limite di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcola il limite quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { 0 }$ di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$

Usa lo sviluppo di Taylor della funzione coseno.

Limite di $\displaystyle { \dfrac{\ln(1+x)}{x} }$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcolare il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} }$ .

Puoi usare la serie di Taylor o la definizione di derivata.

Limite di sequenza $(1+1/n)^{n}$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n} }$ .

Discuti brevemente il collegamento con la costante $\displaystyle { e }$ .

Limite esponenziale $(1+x)^{1/x}$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} }$ .

Puoi procedere trasformando con il logaritmo naturale o con lo sviluppo di $\displaystyle { \ln(1+x) }$ .

Limite esponenziale $(1+x)^{1/x}$ per $x\to 0$

Limiti notevoli

Calcola il limite quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { 0 }$ di $\displaystyle { \bigl(1+x\bigr)^{1/x} }$

Usa il logaritmo per passare a un limite più semplice.

Limite fondamentale $\sin x/x$

Limiti notevoli

Calcola il limite quando $\displaystyle { x }$ tende a $\displaystyle { 0 }$ della funzione $\displaystyle { f(x)=\frac{\sin x}{x} }$

Mostra perché il valore limite è il numero noto nei limiti notevoli.

Limite fondamentale $\sin x/x$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} }$ .

Motiva il risultato con un ragionamento elementare o con lo sviluppo in serie.

Limite fondamentale di $\displaystyle { \dfrac{\sin x}{x} }$

Limiti notevoli

Calcolare il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} }$ .

Motiva la risposta usando una proprietà nota dei seni e dei coseni.

Limite trigonometrico quadratico $(1-\cos x)/x^{2}$

Limiti notevoli

Calcola il limite $\displaystyle { \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}} }$ .

Usa lo sviluppo in serie di $\displaystyle { \cos x }$ o identità trigonometrica per giustificare il risultato.

Esercizi su Limiti notevoli

Limite ex−1−xx2\displaystyle { \dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} }x2ex−1−x​ per x→0x\to 0x→0

Limite (1+ax)1/x\left(1+ax\right)^{1/x}(1+ax)1/x per x→0x\to 0x→0

Limite con radice quadrata (1+x−1)/x (\sqrt{1+x}-1)/x (1+x​−1)/x

Limite della successione (1+1n)n\displaystyle { \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} }(1+n1​)n

Limite della successione (1+1n)n\displaystyle { \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n }(1+n1​)n

Limite di 1−cos⁡xx2\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }x21−cosx​

Limite di 1−cos⁡xx2\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }x21−cosx​ per x→0x\to 0x→0

Limite di ln⁡(1+x)x\displaystyle { \dfrac{\ln(1+x)}{x} }xln(1+x)​ per x→0x\to 0x→0

Limite di sequenza (1+1/n)n (1+1/n)^{n} (1+1/n)n

Limite esponenziale (1+x)1/x (1+x)^{1/x} (1+x)1/x

Limite esponenziale (1+x)1/x (1+x)^{1/x} (1+x)1/x per x→0x\to 0x→0

Limite fondamentale sin⁡x/x\sin x/xsinx/x

Limite fondamentale sin⁡x/x\sin x/xsinx/x

Limite fondamentale di sin⁡xx\displaystyle { \dfrac{\sin x}{x} }xsinx​

Limite trigonometrico quadratico (1−cos⁡x)/x2 (1-\cos x)/x^{2} (1−cosx)/x2

Esercizi su Limiti notevoli

Limite ex−1−xx2\displaystyle { \dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} }x2ex−1−x​ per x→0x\to 0x→0

Limite (1+ax)1/x\left(1+ax\right)^{1/x}(1+ax)1/x per x→0x\to 0x→0

Limite con radice quadrata (1+x−1)/x (\sqrt{1+x}-1)/x (1+x​−1)/x

Limite della successione (1+1n)n\displaystyle { \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} }(1+n1​)n

Limite della successione (1+1n)n\displaystyle { \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n }(1+n1​)n

Limite di 1−cos⁡xx2\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }x21−cosx​

Limite di 1−cos⁡xx2\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }x21−cosx​ per x→0x\to 0x→0

Limite di ln⁡(1+x)x\displaystyle { \dfrac{\ln(1+x)}{x} }xln(1+x)​ per x→0x\to 0x→0

Limite di sequenza (1+1/n)n (1+1/n)^{n} (1+1/n)n

Limite esponenziale (1+x)1/x (1+x)^{1/x} (1+x)1/x

Limite esponenziale (1+x)1/x (1+x)^{1/x} (1+x)1/x per x→0x\to 0x→0

Limite fondamentale sin⁡x/x\sin x/xsinx/x

Limite fondamentale sin⁡x/x\sin x/xsinx/x

Limite fondamentale di sin⁡xx\displaystyle { \dfrac{\sin x}{x} }xsinx​

Limite trigonometrico quadratico (1−cos⁡x)/x2 (1-\cos x)/x^{2} (1−cosx)/x2

Limite $\displaystyle { \dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} }$ per $x\to 0$

Limite $\left(1+ax\right)^{1/x}$ per $x\to 0$

Limite con radice quadrata $(\sqrt{1+x}-1)/x$

Limite della successione $\displaystyle { \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} }$

Limite della successione $\displaystyle { \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n }$

Limite di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$

Limite di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$ per $x\to 0$

Limite di $\displaystyle { \dfrac{\ln(1+x)}{x} }$ per $x\to 0$

Limite di sequenza $(1+1/n)^{n}$

Limite esponenziale $(1+x)^{1/x}$

Limite esponenziale $(1+x)^{1/x}$ per $x\to 0$

Limite fondamentale $\sin x/x$

Limite fondamentale $\sin x/x$

Limite fondamentale di $\displaystyle { \dfrac{\sin x}{x} }$

Limite trigonometrico quadratico $(1-\cos x)/x^{2}$

Limite $\displaystyle { \dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} }$ per $x\to 0$

Limite $\left(1+ax\right)^{1/x}$ per $x\to 0$

Limite con radice quadrata $(\sqrt{1+x}-1)/x$

Limite della successione $\displaystyle { \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} }$

Limite della successione $\displaystyle { \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n }$

Limite di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$

Limite di $\displaystyle { \dfrac{1-\cos x}{x^{2}} }$ per $x\to 0$

Limite di $\displaystyle { \dfrac{\ln(1+x)}{x} }$ per $x\to 0$

Limite di sequenza $(1+1/n)^{n}$

Limite esponenziale $(1+x)^{1/x}$

Limite esponenziale $(1+x)^{1/x}$ per $x\to 0$

Limite fondamentale $\sin x/x$

Limite fondamentale $\sin x/x$

Limite fondamentale di $\displaystyle { \dfrac{\sin x}{x} }$

Limite trigonometrico quadratico $(1-\cos x)/x^{2}$