Esercizi su Insiemi

In un gruppo di studenti l'universo ha cardinalità $\displaystyle { |U|=50 }$.

Gli studenti che conoscono algebra formano l'insieme $\displaystyle { A }$ con $\displaystyle { |A|=28 }$.

Quelli che conoscono geometria formano l'insieme $\displaystyle { B }$ con $\displaystyle { |B|=22 }$.

Si sa che $\displaystyle { |A\cap B|=10 }$.

Calcola $\displaystyle { |A\cup B| }$ e $\displaystyle { |A\setminus B| }$.

Sia l'universo $\displaystyle { U=\{1,2,\dots,10\} }$.

Sia $\displaystyle { E=\{x\in U:\ x\text{ è multiplo di }2\} }$ e $\displaystyle { F=\{x\in U:\ x\text{ è multiplo di }3\} }$.

Trova $\displaystyle { E\cap F }$, $\displaystyle { E\cup F }$, $\displaystyle { E^{c} }$ e $\displaystyle { |E\cup F| }$.

In una classe ci sono $\displaystyle { 30 }$ studenti.

Di questi, $\displaystyle { 18 }$ seguono matematica e $\displaystyle { 12 }$ seguono fisica.

Gli studenti che seguono entrambe le materie sono $\displaystyle { 5 }$.

Quanti studenti seguono almeno una delle due materie?

Sia $\displaystyle { S=\{a,b,c,d\} }$.

Determina il numero totale di sottoinsiemi di $\displaystyle { S }$.

Trova il numero di sottoinsiemi propri di $\displaystyle { S }$.

Quanti sottoinsiemi di $\displaystyle { S }$ hanno esattamente $\displaystyle { 2 }$ elementi?

Quanti sottoinsiemi contengono l'elemento $\displaystyle { a }$?

Sia $\displaystyle { X }$ un insieme finito con $\displaystyle { 8 }$ elementi.

Quanti sottinsiemi di $\displaystyle { X }$ hanno almeno $\displaystyle { 2 }$ elementi e al massimo $\displaystyle { 5 }$ elementi?

Lo spazio universo $\displaystyle { U }$ ha $\displaystyle { 100 }$ elementi.

Siano $\displaystyle { A }$ e $\displaystyle { B }$ insiemi con $\displaystyle { |A|=40 }$, $\displaystyle { |B|=30 }$ e $\displaystyle { |A\cup B|=60 }$.

Calcola $\displaystyle { |A\setminus B| }$ e $\displaystyle { |(A\cup B)^{c}| }$.

Nel dominio finito $\displaystyle { U }$ si hanno $\displaystyle { |U|=50 }$.

Siano $\displaystyle { A }$ e $\displaystyle { B }$ sottoinsiemi di $\displaystyle { U }$ con $\displaystyle { |A|=30 }$, $\displaystyle { |B|=20 }$ e $\displaystyle { |A\cap B|=10 }$.

Calcola $\displaystyle { |A\setminus B| }$ e $\displaystyle { |B\setminus A| }$.

Calcola il complemento di $\displaystyle { A }$, cioè $\displaystyle { |\overline{A}| }$.

Verifica l'uguaglianza $\displaystyle { (A\setminus B)\cup(A\cap B)=A }$.

Calcola infine $\displaystyle { |\overline{A\cup B}| }$.

In un universo con $\displaystyle { 50 }$ elementi si considerano tre insiemi $\displaystyle { A }$, $\displaystyle { B }$, $\displaystyle { C }$.

Si ha $\displaystyle { |A|=20 }$, $\displaystyle { |B|=18 }$, $\displaystyle { |C|=15 }$.

Inoltre $\displaystyle { |A\cap B|=7 }$, $\displaystyle { |A\cap C|=6 }$, $\displaystyle { |B\cap C|=5 }$ e $\displaystyle { |A\cap B\cap C|=2 }$.

Quanti elementi appartengono a nessuno dei tre insiemi?

Sia $\displaystyle { X=\{1,2,3,4\} }$ e sia la funzione $\displaystyle { f:X\to\{1,4,9,16\} }$ definita da $\displaystyle { f(x)=x^{2} }$.

Calcola l'immagine $\displaystyle { f(X) }$ e la controimmagine $\displaystyle { f^{-1}(\{1,4\}) }$.

Determina anche $\displaystyle { |f(X)| }$ e verifica se $\displaystyle { f }$ è iniettiva su $\displaystyle { X }$.

In un gruppo di $\displaystyle { 200 }$ persone si considerano tre preferenze rappresentate dagli insiemi $\displaystyle { A }$, $\displaystyle { B }$, $\displaystyle { C }$.

Si ha $\displaystyle { |A|=120 }$, $\displaystyle { |B|=80 }$, $\displaystyle { |C|=70 }$.

Le intersezioni a due a due sono $\displaystyle { |A\cap B|=50 }$, $\displaystyle { |A\cap C|=40 }$, $\displaystyle { |B\cap C|=30 }$.

L'intersezione a tre è $\displaystyle { |A\cap B\cap C|=20 }$.

Calcola $\displaystyle { |A\cup B\cup C| }$ e il numero di persone che non appartengono a nessuno dei tre insiemi.

Sia $\displaystyle { S }$ un insieme finito con $\displaystyle { 8 }$ elementi.

Quanti sottoinsiemi ha $\displaystyle { S }$ (insieme delle parti)?

Quanti sono i sottoinsiemi propri di $\displaystyle { S }$?

Quanti sottoinsiemi di $\displaystyle { S }$ hanno esattamente $\displaystyle { 3 }$ elementi?

Se scelgo un sottoinsieme di $\displaystyle { S }$ a caso con probabilità uniforme, qual è la probabilità che sia proprio?

Sia $\displaystyle { S=\{a,b,c,d\} }$.

Determina la cardinalità di $\displaystyle { \mathcal{P}(S) }$ e trova il numero di sottinsiemi di $\displaystyle { S }$ che contengono l'elemento $\displaystyle { a }$.

Dato l'insieme universo $\displaystyle { U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} }$

Sia $\displaystyle { A=\{2,4,6,8,10\} }$ e $\displaystyle { B=\{3,6,9\} }$

Calcola $\displaystyle { A\cap B }$, $\displaystyle { A\cup B }$, $\displaystyle { A\setminus B }$ e il complemento di $\displaystyle { B }$ in $\displaystyle { U }$.

Siano $\displaystyle { A }$ e $\displaystyle { B }$ insiemi con rispettivamente $\displaystyle { |A|=4 }$ e $\displaystyle { |B|=3 }$.

Quante relazioni da $\displaystyle { A }$ a $\displaystyle { B }$ esistono?

Quante applicazioni (funzioni) da $\displaystyle { A }$ a $\displaystyle { B }$ esistono?

Siano gli intervalli $\displaystyle { A=[0,5] }$, $\displaystyle { B=(3,8) }$ e $\displaystyle { C=[-2,2) }$.

Determina $\displaystyle { A\cap B }$, $\displaystyle { A\cup C }$ e $\displaystyle { B\setminus A }$.

Siano i seguenti insiemi: $\displaystyle { A=\{1,2,3,5\} }$ e $\displaystyle { B=\{2,3,4\} }$.

Determina $\displaystyle { A\cap B }$, $\displaystyle { A\cup B }$, $\displaystyle { A\setminus B }$, $\displaystyle { B\setminus A }$ e $\displaystyle { A\Delta B }$.

Calcola inoltre $\displaystyle { |A\cup B| }$ e $\displaystyle { |A\cap B| }$.

Siano $\displaystyle { A=\{1,2,3\} }$ e $\displaystyle { B=\{x,y\} }$.

Costruisci $\displaystyle { A\times B }$ e $\displaystyle { B\times A }$.

Determina inoltre $\displaystyle { |A\times B| }$ e la differenza $\displaystyle { A\times B\setminus B\times A }$.

Siano $\displaystyle { A=\{1,2,3\} }$ e $\displaystyle { B=\{x,y\} }$.

Calcola la cardinalità del prodotto cartesiano $\displaystyle { A\times B }$.

Quante applicazioni (funzioni) esistono da $\displaystyle { A }$ in $\displaystyle { B }$?

In un universo finito $\displaystyle { U }$ ci sono $\displaystyle { 100 }$ studenti.

Sia $\displaystyle { A }$ l'insieme di chi ama la matematica con $\displaystyle { |A|=60 }$.

Sia $\displaystyle { B }$ l'insieme di chi ama la fisica con $\displaystyle { |B|=45 }$.

Gli studenti che amano entrambe le materie sono $\displaystyle { |A\cap B|=20 }$.

Calcola il numero di studenti che amano almeno una delle due materie, cioè $\displaystyle { |A\cup B| }$.

Calcola il numero di studenti che non amano né matematica né fisica, cioè $\displaystyle { |\overline{A}\cap\overline{B}| }$.