L’equivalenza massa-energia è il principio della relatività ristretta secondo cui massa ed energia sono due forme della stessa grandezza fisica. Una massa a riposo possiede energia anche quando non si muove, secondo la relazione di Einstein.
| Grandezza | Simbolo | Formula | Unità SI |
|---|---|---|---|
| Energia a riposo | J | ||
| Energia totale relativistica | J | ||
| Energia cinetica relativistica | J | ||
| Quantità di moto relativistica | kg·m/s | ||
| Relazione energia-impulso | J | ||
| Difetto di massa | kg |
L’equivalenza massa-energia, cioè l’idea che massa ed energia siano due aspetti della stessa realtà fisica, nasce per descrivere correttamente i fenomeni relativistici.
La relatività speciale mostra che la massa non è solo “materia ferma”.
Si osserva invece che ogni corpo possiede un’energia anche quando non si muove, detta energia a riposo, cioè energia legata alla sola esistenza della massa.
Per esempio, per si ottiene .
Questo valore enorme spiega perché piccole variazioni di massa possano produrre grandi quantità di energia.
La formula non dice che la massa “sparisce” sempre in energia. Dice invece che massa ed energia si possono convertire tra loro, rispettando le leggi della relatività.
[IMMAGINE: Schema con una bilancia che mette in corrispondenza massa m ed energia E₀ = mc². A sinistra un blocco di materia fermo. A destra fasci di luce o energia. Etichette: m, c, E₀.]
L’analogia utile è quella di un serbatoio chiuso. Anche se il contenuto non si muove, esso possiede una capacità energetica interna.
Nel caso della massa, questa capacità è misurata da , dove è la velocità della luce.
Per si ha .
La massa a riposo, cioè la massa misurata nel sistema in cui il corpo è fermo, è la massa che compare nelle formule relativistiche fondamentali.
In relatività, l’energia totale cresce con la velocità.
Si definisce allora l’energia totale relativistica come , dove è il fattore di Lorentz, cioè il coefficiente che misura quanto gli effetti relativistici diventano importanti.
Per esempio, se , allora .
Per e , si ottiene , cioè .
Quando , si ritrova subito .
Questa relazione mostra che l’energia totale non coincide sempre con quella cinetica. Include anche l’energia a riposo.
L’energia cinetica relativistica, cioè l’energia dovuta al moto, si ottiene sottraendo l’energia a riposo dall’energia totale.
Si definisce quindi .
Per esempio, con e , si ha e quindi .
Numericamente risulta .
Per velocità piccole rispetto a , questa espressione tende alla formula classica .
Per e , la formula classica dà .
La quantità di moto relativistica, cioè la grandezza che misura l’effetto dinamico del moto quando la velocità è vicina a quella della luce, è data da .
Per esempio, con e , si ottiene .
La relazione più importante collega energia e quantità di moto.
Per una particella ferma, e la formula diventa .
Per una particella senza massa, come il fotone, vale e si ottiene .
Per esempio, se e , si ha .
Il difetto di massa, cioè la differenza tra la massa iniziale e la massa finale di un sistema, compare nelle reazioni nucleari.
La massa finale può risultare minore perché una parte della massa si trasforma in energia di legame o in energia cinetica dei prodotti.
Per esempio, se in una reazione si misura , allora .
Questo meccanismo spiega perché fissione e fusione liberano tanta energia rispetto alle reazioni chimiche.
Nelle applicazioni moderne, l’equivalenza massa-energia è il principio che permette di interpretare il funzionamento di reattori e acceleratori.
In un reattore a fissione, la differenza di massa tra reagenti e prodotti diventa energia termica. Questa energia viene poi convertita in elettricità.
Per esempio, se una reazione produce , allora si liberano circa .
Nella fusione, il principio è analogo, ma i nuclei iniziali sono leggeri. Il Sole funziona grazie a questo processo.
Negli acceleratori di particelle, invece, si fornisce enorme energia cinetica. Questa energia si può trasformare in massa di nuove particelle create negli urti.
Si osserva così che l’energia non serve solo a far muovere la materia. Può anche diventare materia, se le condizioni fisiche lo permettono.
Si consideri una reazione con difetto di massa pari a 2 mg.
Si converte prima la massa: .
Si ottiene quindi .
L’energia liberata è enorme rispetto ai processi chimici ordinari.
Le formule relativistiche valgono quando si descrivono corpi o particelle con velocità confrontabili con , oppure quando si studiano processi ad alta energia.
Per velocità piccole, le formule classiche restano una buona approssimazione.
La differenza tra energia totale ed energia cinetica è essenziale. La prima include sempre l’energia a riposo, la seconda no.
Per esempio, per e , si ha e .
L'energia a riposo, cioè l'energia associata alla massa anche quando il corpo è fermo, si esprime con la relazione fondamentale di Einstein.
Qui è l'energia a riposo in joule cioè , è la massa in chilogrammi cioè , e è la velocità della luce in m/s cioè .
La relazione mostra che massa ed energia sono due aspetti della stessa realtà fisica. Una massa piccola corrisponde comunque a un'energia enorme.
Calcolare l'energia a riposo di un corpo con massa .
Si ottiene . Questo valore è enorme rispetto alle energie ordinarie.
L'energia totale relativistica, cioè l'energia complessiva di un corpo in moto, include sia il contributo di riposo sia quello dovuto al moto.
Il fattore è il fattore di Lorentz, cioè il numero che aumenta quando la velocità si avvicina a . è la velocità in m/s cioè .
Per velocità piccole rispetto a , si ha , quindi l'energia totale coincide quasi con l'energia a riposo.
Si consideri un elettrone con e .
Si ricava . La dipendenza da rende l'effetto relativistico molto importante.
L'energia cinetica relativistica, cioè l'energia dovuta solo al moto, si ottiene sottraendo l'energia a riposo dall'energia totale.
Qui è misurata in . La formula vale quando le velocità non sono trascurabili rispetto a .
Per velocità molto piccole, si ottiene il limite classico . Questa approssimazione non è più valida vicino alla luce.
Calcolare l’energia a riposo di un elettrone usando la formula di Einstein .
[IMMAGINE: Schema con un elettrone fermo al centro. Accanto si indicano massa m, velocità v = 0, energia a riposo E₀ e formula E₀ = mc².]
Si conoscono la massa dell’elettrone e la velocità della luce. La massa vale . Si cerca .
Il metodo consiste nell’applicare direttamente . Si usa .
Si ottiene . Questo valore corrisponde all’energia contenuta nella sola massa a riposo.
Il risultato finale è .
Errore comune: dimenticare di elevare al quadrato la velocità della luce.
Calcolare l’energia cinetica relativistica di un protone con velocità .
[IMMAGINE: Diagramma di un protone che si muove lungo una linea orizzontale. Sono indicati v = 0,80c, p, E totale, E₀ e K.]
Si conoscono la velocità e la massa del protone. La massa è . Si cerca .
Si calcola prima il fattore di Lorentz . Con si ha .
Sostituendo i dati si ottiene .
Il calcolo fornisce . L’energia cresce più della formula classica quando la velocità è elevata.
Il risultato finale è .
Errore comune: usare direttamente anche quando è una frazione grande di .
Si usa la formula relativistica perché la velocità non è trascurabile rispetto a .
In questo caso l’approssimazione classica sottostimerebbe l’energia cinetica.
Determinare l’energia liberata da un difetto di massa .
[IMMAGINE: Rappresentazione di due nuclei iniziali e dei prodotti finali. Tra i due stati si mostra Δm che si trasforma in energia ΔE.]
Si conosce il difetto di massa, cioè la massa che manca tra stato iniziale e finale. Si cerca l’energia .
Il metodo è l’equivalenza massa-energia, cioè . Questa relazione spiega perché una piccola massa può produrre molta energia.
Si ottiene . Nelle reazioni nucleari il guadagno energetico nasce proprio da questo calo di massa.
Il risultato finale è .
Errore comune: scambiare il difetto di massa con la massa totale dei nuclei.
Si deve usare solo , non la massa complessiva.
In fisica nucleare il valore della massa persa si trasforma in energia del sistema.
Verificare l’energia totale di una particella con massa e quantità di moto .
[IMMAGINE: Piano cartesiano con una particella relativistica. Sono indicati E, p, mc² e la relazione E² = (pc)² + (mc²)².]
Si conoscono la massa e la quantità di moto. Si cerca l’energia totale .
Si applica la relazione . Questa formula collega energia, massa e quantità di moto.
Calcolando i termini si ottiene prima e poi .
Si ricava quindi . L’energia totale non coincide con la sola energia cinetica.
Il risultato finale è .
Errore comune: pensare che sia sempre uguale a .
L’energia totale comprende anche l’energia a riposo.
Credere che valga solo per i corpi “fermi” e che descriva soltanto il calore liberato.
indica l’energia a riposo, cioè l’energia associata alla massa anche quando il corpo non si muove.
L’errore nasce dal confondere la formula con le sole trasformazioni energetiche visibili. In realtà la massa è già una forma di energia. Per evitarlo, si distingue sempre tra energia a riposo e altre forme di energia.
Pensare che la massa a riposo sia la massa “normale” misurata in qualunque situazione, senza dipendere dal sistema di riferimento.
La massa a riposo è la massa propria, cioè la massa misurata nel sistema in cui il corpo è fermo.
Nel linguaggio scolastico si usa spesso solo “massa”, ma in relatività il riferimento conta. La massa a riposo non cambia con la velocità dell’osservatore. Per questo si parla di grandezza intrinseca del corpo.
Calcolare l’energia di una particella usando solo anche quando la velocità è vicina a .
Per velocità elevate si usa e, per l’energia cinetica, .
La formula classica vale solo per velocità molto minori di . In regime relativistico il fattore modifica il risultato in modo decisivo. L’errore si evita controllando sempre se la velocità è confrontabile con quella della luce.
Dire che la fissione libera energia perché “crea” energia dal nulla.
La fissione libera energia perché la massa finale dei prodotti è minore della massa iniziale, e il difetto di massa diventa energia secondo .
Non si crea energia. Si trasforma una parte della massa iniziale in energia di legame, energia cinetica e radiazione. L’idea corretta è il bilancio massa-energia del sistema.
Confondere energia totale ed energia cinetica relativistica, trattandole come la stessa grandezza.
L’energia totale è , mentre l’energia cinetica relativistica è .
L’energia totale include anche l’energia a riposo. L’energia cinetica è solo la parte dovuta al moto. Se si sottrae da , si ottiene proprio .
Usare la relazione senza distinguere il caso da quello con massa diversa da zero.
La relazione è generale, ma per una particella con massa nulla diventa .
L’equazione energia-quantità di moto unifica casi diversi. Per una particella massiva entrambe le parti contano. Per un fotone, invece, il termine è nullo e la formula si semplifica.
Significa che massa ed energia sono equivalenti.La massa di un sistema può trasformarsi in energia, e l’energia può contribuire alla massa totale.
Si tratta dell’energia a riposo, cioè l’energia posseduta anche quando il corpo è fermo.Per esempio, per una massa di si ottiene .
La massa a riposo è la massa misurata nel sistema in cui il corpo è fermo.È una proprietà intrinseca della particella o dell’oggetto.
Per esempio, una particella con massa a riposo ha energia a riposo .
L’energia di una particella si calcola con l’energia totale relativistica.Dipende dalla massa a riposo e dalla velocità.
Per esempio, se e , allora e si ottiene .
La fissione libera energia perché i prodotti finali hanno massa totale minore dei nuclei iniziali.La differenza di massa si trasforma in energia.
Per esempio, se il difetto di massa è , si ottiene .
L’energia totale include anche l’energia a riposo, mentre l’energia cinetica relativistica è solo la parte dovuta al moto.
Per esempio, se e , allora e .
La relazione fondamentale lega energia, quantità di moto e massa a riposo in un unico legame relativistico.
Per esempio, per una particella con e , si ottiene un valore di energia determinato da questa relazione.
No, l’energia a riposo non si definisce per i fotoni, perché la loro massa a riposo è nulla.
Per un fotone si usa invece l’energia associata alla frequenza o alla quantità di moto.Il caso del fotone mostra che energia e massa non coincidono sempre in modo diretto.
