Equazioni irrazionali

Cosa sono?

Un'equazione irrazionale è un'equazione in cui l'incognita compare dentro una radice.

Esempi di equazioni irrazionali sono:

• $\displaystyle { \sqrt{x+1} = 2 }$

• $\displaystyle { \sqrt{x-1}=x-3 }$

• $\displaystyle { \sqrt{x} - \sqrt{x+5} = -2 }$

• $\displaystyle { \sqrt[3]{x} = -8 }$

• $\displaystyle { \sqrt[4]{x+3} = -2 }$

Mentre non sono equazioni irrazionali le seguenti:

• $\displaystyle { x+2 = 7 }$ perché non appare nessuna radice.

• $\displaystyle { \sqrt{2}x+1 = 7 }$ perché non compare alcuna incognita dentro la radice. $\displaystyle { \sqrt{2} }$ è infatti soltanto una costante.

• $\displaystyle { \sqrt{x+1-x} + 2x + 1 = 0 }$ perché nella radice le incognite si semplificano e si tratta in realtà di $\displaystyle { \sqrt{1}. }$

Iniziamo studiando un caso più semplice:

Equazioni irrazionali del tipo $\sqrt[n]{f(x)} = k$

Iniziamo con le equazioni irrazionali dove abbiamo soltanto una radice da un lato ed una costante dall'altro, per esempio:

$\displaystyle { \sqrt{x+2}=2 }$

Per semplificare la radice vorremmo elevare entrambi i lati al quadrato, ma non sempre possiamo farlo.

Vediamo un esempio per capire perché:

$\displaystyle { 3=-3 }$

Quest'equazione è ovviamente falsa perché $\displaystyle { 3 }$ è diverso da $\displaystyle { -3, }$ ma se eleviamo entrambi i lati al quadrato otteniamo:

$\displaystyle { (3)^2 = (-3)^2 }$

$\displaystyle { 9=9 }$

Adesso però l'equazione è diventata vera. Se elevare al quadrato può cambiare la veridicità dell'equazione, come possiamo sapere se le soluzioni della nuova equazione sono anche soluzioni di quella vecchia?

Il fatto è che l'elevamento al quadrato non preserva i segni. Cioè se elevi un numero negativo al quadrato, esso diventa positivo, quindi gli hai cambiato segno.

Infatti nell'esempio di prima, $\displaystyle { 3 }$ era diverso da $\displaystyle { -3 }$ solo per via del suo segno ed elevandoli al quadrato li abbiamo resi entrambi positivi, per questo abbiamo ottenuto l'uguaglianza.

Dunque, prima di elevare al quadrato, dobbiamo supporre la concordanza dei segni, cioè i due lati dell'equazione devono avere lo stesso segno.

Se la costante fosse negativa, infatti, l'equazione sarebbe impossibile, perché una radice pari è sempre positiva e dunque non potrà mai essere uguale ad un numero negativo.

Nell'esempio di prima, avevamo:

$\displaystyle { \sqrt{x+2} = 2 }$

Ricordiamoci che una radice quadrata è sempre positiva, quindi il lato sinistro è positivo. Anche il lato destro è positivo, possiamo quindi elevare al quadrato?

Ancora no. Dobbiamo infatti suppore anche che la radice esista. Ricordiamo infatti che la radice di indice pari di un numero negativo non esiste nei numeri reali, quindi dobbiamo suppore che il suo radicando sia maggiore o uguale a $\displaystyle { 0. }$

Nel nostro caso dovremo quindi supporre che:

$\displaystyle { x+2\geq 0 }$

$\displaystyle { x\geq -2 }$

Ora possiamo finalmente elevare entrambi i lati al quadrato ed ottenere:

$\displaystyle { (\sqrt{x+2})^2=2^2 }$

$\displaystyle { x+2=4 }$

$\displaystyle { x=2 }$

la soluzione soddisfa le condizioni che abbiamo trovato prima? Dovevamo avere $\displaystyle { x\geq -2, }$ che è ovviamente verificata, dunque $\displaystyle { x=2 }$ è una soluzione accettabile.

Se la radice dell'equazione ha indice dispari, siccome esse non hanno problemi di esistenza ed elevare ad una potenza dispari preserva i segni, possiamo direttamente elevare alla potenza richiesta. Se ad esempio abbiamo:

$\displaystyle { \sqrt[3]{x+1} = 3 }$

Possiamo direttamente elevare al cubo ed ottenere:

$\displaystyle { x+1 = 27 }$

$\displaystyle { x = 26 }$

Mentre se la radice ha l'indice pari e l'equazione è del seguente tipo:

$\displaystyle { \sqrt[n]{f(x)} = k }$

Possiamo mettere le condizioni e l'equazione a sistema per ottenere:

Abbiamo messo tutto a sistema per indicare che le condizioni devono essere verificate.

Equazioni irrazionali del tipo $\sqrt[n]{f(x)} = g(x)$

Come abbiamo visto prima, se l'indice della radice è dispari non ci sono problemi né di esistenza né di cambiamenti del segno, dunque possiamo elevare entrambi i lati alla $\displaystyle { n }$ ed ottenere:

$\displaystyle { f(x) = [g(x)]^n }$

Se ad esempio abbiamo:

• $\displaystyle { \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 8x - 7} = x-1 }$

Possiamo direttamente elevare tutto al cubo ed ottenere:

$\displaystyle { x^3 - 3x^2 + 8x -7 = (x-1)^3 }$

$\displaystyle { x^3 - 3x^2 + 8x - 7 = x^3 - 3x^2 + 3x -1 }$

$\displaystyle { 8x-7=3x-1 }$

$\displaystyle { 5x=6 }$

$\displaystyle { x={5\over 6} }$

E abbiamo risolto l'equazione.

Se però l'indice della radice è pari, dobbiamo, come prima, stare attenti alla condizione di esistenza della radice e alla concordanza dei segni.

Per la prima, ci basta supporre $\displaystyle { f(x) \geq 0. }$

Siccome una radice di indice pari è sempre positiva, il lato sinistro sarà positivo. Quindi per la concordanza dei segni dobbiamo avere che anche il lato destro dovrà essere positivo, ovvero $\displaystyle { g(x) \geq 0. }$

Fatto questo, possiamo elevare alla $\displaystyle { n }$ entrambi i lati ed ottenere:

$\displaystyle { f(x) = [g(x)]^n }$

Mettiamo a sistema l'equazione ottenuta con le condizioni per indicare che quest'ultime devono essere verificate ottenendo:

Vediamo un esempio.

Risolviamo l'equazione irrazionale:

$\displaystyle { \sqrt{x^2 -1} = x+4 }$

Il nostro sistema diventa quindi:

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 1\geq 0 \\ x+4\geq 0\\ x^2 -1= (x+4)^2 \end{array} \right. }$

Ovvero:

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} x^2 \geq 1 \\ x\geq -4\\ x^2 -1= x^2 + 8x + 16 \end{array} \right. }$

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} x\leq -1 \vee x\geq 1 \\ x\geq -4\\ -1= 8x + 16 \end{array} \right. }$

Mettendo insieme le prime due condizioni otteniamo $\displaystyle { -4\leq x\leq -1 \vee x \geq 1: }$

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} -4\leq x \leq -1 \vee x \geq 1 \\ 8x= -17 \end{array} \right. }$

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} -4\leq x\leq -1 \vee x\geq 1\\ x={-17\over 8} \end{array} \right. }$

$\displaystyle { -17\over 8 }$ è compreso tra $\displaystyle { -4 }$ e $\displaystyle { -1 }$ quindi la soluzione è accettabile.

Equazioni irrazionali con più radici

Possiamo anche trovare equazioni irrazionali in cui compaiono più radici, per esempio:

• $\displaystyle { \sqrt{x+3} + \sqrt{x-1} = 2 }$

Per risolverla, isoliamo una delle radici:

$\displaystyle { \sqrt{x+3} = 2 - \sqrt{x-1} }$

Prima di elevare al quadrato dobbiamo controllare le condizioni di esistenza delle radici e la concordanza dei segni.

Per la prima, dobbiamo avere $\displaystyle { x+3\geq 0 }$ e $\displaystyle { x-1\geq 0 }$ che mettendole insieme diventano $\displaystyle { x\geq 1. }$

Per la concordanza dei segni, il lato sinistro è positivo in quanto si tratta soltanto di una radice, quindi anche il lato destro dovrà essere positivo.

Dobbiamo quindi avere $\displaystyle { 2-\sqrt{x-1} \geq 0, }$ ovvero $\displaystyle { \sqrt{x-1} \leq 2. }$ Si tratta di una disequazione irrazionale.

Siccome entrambi i lati sono positivi e abbiamo già supposto che la radice esista, possiamo elevare entrambi i lati ed ottenere:

$\displaystyle { x-1\leq 4 }$

$\displaystyle { x \leq 5 }$

Quindi la condizione per elevare al quadrato sarà $\displaystyle { 1\leq x \leq 5. }$

Fatto questo, possiamo effettivamente elevare al quadrato ed ottenere:

$\displaystyle { (\sqrt{x+3})^2 = (2-\sqrt{x-1}) }$

$\displaystyle { x+3 = 4 -2\sqrt{x-1} + x-1 }$

$\displaystyle { 3 = 3 - 2\sqrt{x-1} }$

$\displaystyle { 0 = -2 \sqrt{x-1} }$

$\displaystyle { 0=\sqrt{x-1} }$

Affinché una radice sia uguale a $\displaystyle { 0, }$ il suo radicando deve essere uguale a $\displaystyle { 0 }$ ed otteniamo quindi:

$\displaystyle { x-1 = 0 }$

$\displaystyle { x =1 }$

La condizione era $\displaystyle { -1\leq x \leq 5 }$ e dunque $\displaystyle { x=1 }$ è una soluzione accettabile.

Quindi, in generale, quando avete un'equazione con più radici, solitamente conviene isolarne una, controllare tutte le condizioni per elevare al quadrato o qualsivoglia potenza se necessaria, quindi elevare e semplificare.

In questo modo dovreste ottenere un'equazione più facile da risolvere, anche se spesso ci sarà bisogno di elevare un'altra volta entrambi i lati.