Un'equazione differenziale, cioè un'equazione che coinvolge una funzione incognita e le sue derivate, descrive un fenomeno variabile nel tempo o nello spazio. La soluzione è una funzione che rende vera l'equazione e, nel problema di Cauchy, soddisfa anche una condizione iniziale.
| Formula / proprietà | Significato | Condizioni / note |
|---|---|---|
| Equazione differenziale: l’incognita è una funzione e compare almeno una derivata. | L’ordine è dato dalla derivata di ordine più alto. Esempio: ha ordine 1. | |
| Equazione differenziale lineare del primo ordine: la funzione incognita compare in modo lineare. | Si risolve con fattore integrante. Esempio: è lineare. | |
| Equazione a variabili separabili: si possono separare le variabili ai due membri. | Si integra . Esempio: . | |
| Problema di Cauchy: si impone una condizione iniziale per fissare una soluzione particolare. | La soluzione deve soddisfare anche l’equazione differenziale. Esempio: , . | |
| Oscillatore armonico: descrive moti periodici senza attrito. | La soluzione generale è . Esempio: . | |
| Crescita esponenziale | Modello con variazione proporzionale alla quantità presente. | Si scrive . Esempio: per , . |
| Raffreddamento di Newton | La variazione di temperatura è proporzionale alla differenza con l’ambiente. | Si scrive . Esempio: , . |
| Circuito RC | Condensatore e resistore in un circuito del primo ordine. | La carica o la tensione segue un’equazione lineare del primo ordine. Esempio: in carica. |
Un'equazione differenziale, cioè un'equazione che lega una funzione sconosciuta alle sue derivate, nasce quando si vuole descrivere un fenomeno che cambia nel tempo o nello spazio.
Si osserva una grandezza che non resta fissa. Poi si cerca una funzione che ne riproduca l'evoluzione.
Questo approccio è utile perché, in molti problemi, non si conosce subito la funzione finale. Si conosce invece una legge di variazione.
Per esempio, la relazione dice che la derivata della funzione è proporzionale al valore della funzione stessa.
Se in si ha , allora la pendenza iniziale vale . Il dato sulla variazione iniziale diventa immediato.
L'ordine di un'equazione differenziale, cioè il grado della derivata più alta presente, indica quante derivate compaiono nel modello.
In questa equazione compare la derivata seconda. L'ordine è quindi .
Se , la legge diventa . La derivata massima presente resta la seconda.
Il grado è cioè la potenza della derivata di ordine massimo, quando l'equazione è scritta in forma polinomiale rispetto alle derivate.
Qui il grado è , perché la derivata seconda compare al quadrato.
Se si scrive , il grado non si definisce in modo classico, perché la derivata non compare come polinomio.
Un'equazione a variabili separabili, cioè un'equazione in cui le variabili possono essere portate in lati diversi, è una delle forme più gestibili.
L'idea è separare ciò che dipende da da ciò che dipende da . Poi si integra ogni parte separatamente.
Se per esempio , si separano i fattori dividendo per e moltiplicando per .
Con e , si ottiene un controllo rapido: diventa una relazione tra incrementi separati.
Questa forma si ottiene integrando i due membri dopo la separazione. In pratica, si ricostruisce la funzione cercando una primitiva per ciascun lato.
Si risolva .
Si separano le variabili: .
Si ottiene .
Si ricava quindi . Se , allora .
La soluzione particolare è .
La formula finale verifica la legge iniziale. Per esempio, in , si ha .
[IMMAGINE: Grafico nel piano cartesiano con la curva y = Ce^{x^3}, assi x e y, un punto iniziale segnato in (0,2), frecce che indicano la crescita rapida per x > 0]
Un'equazione lineare del primo ordine, cioè un'equazione in cui la funzione e la sua derivata compaiono solo al primo grado, ha forma molto regolare.
Si tratta di una legge adatta ai processi con variazione controllata. La struttura lineare permette una procedura generale di risoluzione.
Per esempio, è lineare. Il coefficiente di dipende solo da , e il termine noto è costante.
La strategia consiste nel moltiplicare per un fattore integrante, cioè una funzione che rende il membro sinistro una derivata di prodotto.
Se , allora . Questo fattore trasforma l'equazione in una forma integrabile.
Moltiplicando tutta l'equazione per , si riconosce la derivata di un prodotto. Poi si integra.
Si consideri .
Il fattore integrante è .
Si integra: .
Si divide per e si ottiene .
Se la condizione iniziale è , allora , quindi .
La soluzione particolare è .
In , il valore è .
[IMMAGINE: Schema con l'equazione y' + P(x)y = Q(x), freccia verso il fattore integrante mu(x), poi verso la derivata di prodotto (mu(x)y)' e infine verso la soluzione integrata]
Il problema di Cauchy, cioè un'equazione differenziale con una condizione iniziale assegnata, serve a scegliere una sola soluzione tra tutte quelle possibili.
La condizione iniziale fissa il punto di partenza del moto o del fenomeno. Senza di essa, la soluzione resta generale e contiene una costante arbitraria.
Per esempio, se e , si ottiene una soluzione unica tra tutte le esponenziali possibili.
La soluzione generale, cioè l'insieme di tutte le soluzioni ottenute variando una costante, è . La condizione iniziale determina poi .
Se , allora , quindi la soluzione particolare è .
Questa idea è centrale nei modelli fisici. Si individua prima la famiglia delle soluzioni. Poi si seleziona quella compatibile con il dato iniziale.
Si risolva con .
La soluzione generale è .
Imponendo il dato iniziale, si ha .
La soluzione particolare diventa .
Se e , allora ^{1}.
Il valore ottenuto è circa .
Questo mostra come il dato iniziale blocchi una sola curva tra tutte quelle possibili.
[IMMAGINE: Diagramma con una famiglia di curve esponenziali y = Ce^{kx} e una sola curva evidenziata che passa per il punto iniziale (0,10)]
L'equazione descrive un moto armonico semplice, cioè un'oscillazione regolare attorno a una posizione di equilibrio.
Si incontra in fisica per molle, pendoli per piccoli angoli e segnali periodici. La forza di richiamo è proporzionale allo spostamento.
La soluzione generale è combinazione di seni e coseni, perché queste funzioni mantengono la periodicità.
Se , allora .
Per esempio, con e , si ha .
In , si ottiene e . I coefficienti iniziali determinano ampiezza e fase.
Questa equazione mostra un caso in cui la soluzione non cresce senza limite. Oscilla invece in modo regolare.
[IMMAGINE: Grafico di una sinusoide y = A cos(ωx) + B sin(ωx) con asse x, asse y, ampiezza evidenziata, periodo segnato e punto iniziale etichettato]
Un'equazione differenziale, cioè un'equazione che contiene una funzione incognita e una o più derivate, si scrive in forma generale come relazione tra , , , fino a .
L'ordine, cioè il grado massimo di derivazione presente, è . Per esempio, ha ordine perché compare la derivata seconda.
Si consideri .
La derivata di ordine più alto è , quindi l'ordine è .
Non compare alcuna derivata di ordine superiore alla seconda. La classificazione è dunque immediata.
Un'equazione a variabili separabili, cioè un'equazione in cui i termini con e quelli con si possono separare, si trasforma integrando i due membri separati.
La forma operativa è . Questa è la regola fondamentale per ottenere la soluzione implicita.
Si risolva .
Si separano le variabili: .
Segue . Per esempio, con si ottiene .
Un'equazione lineare del primo ordine, cioè un'equazione in cui la funzione incognita compare solo al primo grado, ha la forma .
La funzione è il coefficiente di , mentre è il termine noto. Un esempio numerico è .
Si consideri .
Qui si riconosce e .
La struttura è lineare perché compaiono solo e al primo grado. In un esercizio numerico si possono poi applicare il fattore integrante e le condizioni iniziali.
Il problema di Cauchy, cioè una equazione differenziale con una condizione iniziale assegnata, richiede una soluzione che passi per un punto dato.
La condizione iniziale è scritta come . Per esempio, se e , la soluzione deve soddisfare .
Si consideri con .
La soluzione generale è .
Imponendo la condizione iniziale, si ha . Quindi la soluzione particolare è .
L'equazione dell'oscillatore armonico, cioè il modello matematico del moto periodico ideale, descrive il moto senza attrito e senza forzanti.
La grandezza è la pulsazione, cioè una frequenza angolare misurata in . Un esempio fisico è quando il periodo vale .
Si consideri .
Si riconosce , quindi .
La soluzione generale è . Se e , allora .
Nel modello di crescita esponenziale, cioè un processo in cui la variazione è proporzionale alla quantità presente, si usa una costante positiva o negativa.
La variabile indipendente è spesso il tempo , misurato in . La quantità ha unità di .
Si consideri .
All'istante si ottiene .
Dopo si ha , valore che risulta circa .
Nel circuito RC, cioè un circuito con resistenza e condensatore, la carica o la tensione decresce esponenzialmente.
Le grandezze sono in , in e in .
Si consideri .
Qui si può leggere e .
Per si ottiene , cioè circa volt.
Risolvere l'equazione differenziale del primo ordine e trovare la soluzione generale.
Si riconoscono le variabili separabili, cioè i termini in e si possono portare su lati opposti.
L'incognita è la funzione e il metodo consiste nel separare e integrare entrambi i membri.
Si riscrive , assumendo .
Si ottiene , dove è una costante arbitraria.
La soluzione generale è quindi .
Errore comune: dimenticare la costante di integrazione dopo l'integrazione dei due membri.
Risolvere il problema di Cauchy con condizione iniziale .
Si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine, cioè della forma .
L'obiettivo è trovare prima la soluzione generale e poi imporre la condizione iniziale.
Si calcola il fattore integrante .
Il primo membro diventa la derivata di un prodotto: .
Si ottiene .
Imponendo si ha , quindi .
La soluzione del problema di Cauchy è .
Errore comune: applicare male il fattore integrante e dimenticare di moltiplicare entrambi i membri.
Un modello di crescita soddisfa con e .
Si riconosce una equazione a variabili separabili, cioè si separa da .
Si cerca la legge temporale della quantità e poi si usa il dato iniziale.
Si separano le variabili: .
Si ottiene e quindi .
Con la condizione iniziale si ricava .
La soluzione particolare è , quindi la quantità cresce esponenzialmente nel tempo.
Errore comune: scrivere la soluzione senza usare il valore iniziale per fissare la costante.
Risolvere l'equazione nel caso .
L'equazione è del secondo ordine, cioè compare la derivata seconda della funzione incognita.
Il modello descrive il moto armonico, cioè un'oscillazione periodica attorno all'equilibrio.
Si cerca una soluzione del tipo e si ottiene l'equazione caratteristica .
Le soluzioni reali sono .
La soluzione generale descrive tutte le oscillazioni possibili del sistema.
Errore comune: dimenticare che le costanti devono essere due, perché l'equazione è di secondo ordine.
La temperatura di un corpo soddisfa , con ambiente a temperatura costante .
Si tratta di un modello applicativo di equazione differenziale lineare del primo ordine.
Si vuole capire come varia la temperatura in funzione del tempo.
Si pone e si ottiene .
Si ricava , quindi .
Con il dato iniziale si determina la costante , che dipende dalla temperatura iniziale.
La soluzione mostra che la temperatura tende a con andamento esponenziale.
Errore comune: confondere la temperatura dell'ambiente con la temperatura del corpo.
Si pensa che un'equazione differenziale sia un'equazione algebrica con la sola incognita .
Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione, e compaiono una o più sue derivate.
L'errore nasce quando si confonde la variabile indipendente con l'incognita. È utile cercare subito la funzione sconosciuta, per esempio , e non il solo numero da determinare.
Si separano i termini senza isolare correttamente le variabili, per esempio scrivendo .
Nelle equazioni a variabili separabili si porta tutto ciò che dipende da con e tutto ciò che dipende da con , poi si integra.
La separazione deve produrre due integrali distinti, del tipo . Se i fattori restano mescolati, la procedura non è corretta.
Si considera una sola soluzione trovata con le costanti già fissate come soluzione generale.
La soluzione generale contiene una costante arbitraria, perché rappresenta una famiglia di soluzioni.
La soluzione particolare si ottiene solo dopo aver imposto una condizione iniziale. Senza quella condizione, la costante non può essere determinata.
Si crede che il problema di Cauchy sia solo la risoluzione dell'equazione differenziale.
Il problema di Cauchy richiede sia l'equazione differenziale sia una condizione iniziale, per esempio .
L'errore avviene quando si dimentica il dato iniziale. Quel dato serve a selezionare una sola soluzione tra tutte quelle della soluzione generale.
Nell'equazione lineare del primo ordine si ignora il termine oppure si tratta come una semplice somma separabile.
Un'equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma e si risolve con il fattore integrante.
La presenza contemporanea di e impedisce la separazione diretta. Il fattore integrante trasforma il membro sinistro nella derivata di un prodotto.
Si confonde il moto armonico con un'equazione qualunque e si dimentica il significato di .
L'equazione descrive un moto armonico, cioè un'oscillazione periodica senza smorzamento.
Il segno e la struttura dell'equazione determinano il tipo di soluzione. È importante riconoscere il modello prima di applicare formule memorizzate.
Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione e compaiono una o più sue derivate.
La derivata, cioè la misura della variazione istantanea di una funzione, permette di descrivere fenomeni dinamici.
Per esempio, l'equazione descrive una crescita proporzionale al valore della funzione.
Si risolve separando le variabili e integrando i due membri.
Le equazioni a variabili separabili, cioè quelle scrivibili nella forma , si portano a .
La soluzione generale è l'insieme di tutte le soluzioni ottenute introducendo una costante arbitraria.
La costante, cioè un parametro libero, compare perché l'integrazione produce una famiglia di funzioni.
Per esempio, dall'equazione si ottiene .
Il problema di Cauchy è un'equazione differenziale con una condizione iniziale assegnata.
La condizione iniziale, cioè il valore della soluzione in un punto fissato, seleziona una soluzione particolare tra tutte quelle possibili.
Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è un'equazione del tipo .
Si dice lineare, cioè costruita con la funzione e la sua derivata al primo grado, perché non compaiono prodotti né potenze di o .
Un esempio è , che modella un'evoluzione con termine forzante.
L'equazione descrive il moto armonico semplice.
Il moto armonico, cioè un'oscillazione periodica attorno a una posizione di equilibrio, compare in molle, pendoli e segnali ondulatori.
Sono modelli applicativi descritti da equazioni differenziali del primo ordine.
La crescita esponenziale, cioè un aumento proporzionale alla quantità presente, si modella con ; il raffreddamento segue una legge simile.
Nei circuiti RC, cioè resistore-condensatore, si descrive l'evoluzione della carica o della tensione nel tempo.
