Le equazioni di Maxwell sono quattro leggi del campo elettromagnetico, cioè del sistema formato da campo elettrico e campo magnetico. Descrivono come cariche, correnti e campi variabili nel tempo si generano a vicenda.
| Formula / proprietà | Significato | Condizioni / note |
|---|---|---|
| Il flusso del campo elettrico dipende dalla carica racchiusa. | Legge di Gauss elettrica; descrive le sorgenti del campo . | |
| Il campo magnetico non ha sorgenti isolate. | Non esistono monopoli magnetici osservati. | |
| Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico vorticoso. | Legge di Faraday; vale per campi dipendenti dal tempo. | |
| La corrente elettrica e la variazione del campo elettrico generano campo magnetico. | Legge di Ampère-Maxwell; il termine è la corrente di spostamento. | |
| Le equazioni di Maxwell prevedono onde elettromagnetiche che viaggiano nel vuoto. | Velocità della luce nel vuoto; collega elettricità, magnetismo e onde EM. |
Le equazioni di Maxwell, cioè quattro leggi che collegano campi elettrici, campi magnetici, cariche e correnti, servono a descrivere in modo unitario il campo elettromagnetico, cioè l'insieme dei fenomeni elettrici e magnetici nello spazio e nel tempo.
Si introducono perché elettricità e magnetismo non sono due argomenti separati. Si osserva invece che agiscono come due aspetti della stessa realtà fisica.
Il problema di fondo è capire come una carica produce campo, come una corrente produce campo magnetico e come variazioni nel tempo generano nuovi effetti.
Le quattro leggi rispondono a questa domanda in modo completo. La prima e la seconda parlano delle sorgenti dei campi. La terza e la quarta spiegano le variazioni temporali.
[IMMAGINE: Schema del campo elettromagnetico con una carica positiva al centro, linee di campo elettrico uscenti, linee di campo magnetico chiuse, una spira con corrente, frecce che mostrano campi variabili nel tempo e etichette E, B, rho, J]
In forma sintetica, si può pensare al campo elettrico come a un effetto prodotto dalle cariche. Si può pensare al campo magnetico come a un effetto legato a correnti e variazioni elettriche.
Le quattro equazioni di Maxwell sono quindi una teoria completa del comportamento classico dell'elettromagnetismo. Esse valgono nel vuoto e nei mezzi, con le opportune grandezze macroscopiche.
La legge di Gauss elettrica, cioè la relazione tra flusso del campo elettrico e carica racchiusa, dice che le cariche sono le sorgenti o i pozzi del campo elettrico.
L'idea fisica è semplice. Se una superficie chiusa abbraccia più carica positiva, le linee di campo elettrico escono in maggiore quantità. Se abbraccia carica negativa, le linee entrano.
Questa scrittura locale significa che la divergenza di misura quanta sorgente elettrica è presente in un punto. La grandezza è la densità di carica, cioè carica per unità di volume.
Per esempio, se in una regione si ha e , allora si ottiene .
La forma integrale aiuta a visualizzare il significato geometrico. Il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa dipende solo dalla carica interna.
Se una sfera racchiude , il flusso vale .
Questa legge spiega perché una carica puntiforme genera campi radiali. Le linee di campo non nascono dal nulla e non si chiudono su sé stesse in assenza di altre sorgenti.
La legge di Gauss magnetica, cioè la proprietà del campo magnetico di non avere sorgenti isolate, afferma che non esistono monopoli magnetici osservati sperimentalmente.
L'analogia utile è quella di un filo ad anello chiuso. Le linee del campo magnetico si dispongono in circuiti chiusi, senza inizio e senza fine.
Questa equazione significa che il campo non ha sorgenti né pozzi. La divergenza nulla indica solo linee chiuse o linee che si estendono senza origine magnetica isolata.
Per esempio, vicino a un filo rettilineo percorso da corrente, il campo magnetico circola attorno al filo. Non compare alcun punto da cui il campo sembri uscire radialmente.
Se si considera un volume qualunque, il flusso magnetico netto attraverso la sua superficie chiusa è sempre nullo.
Per esempio, una superficie chiusa immersa in un campo magnetico uniforme riceve tanto flusso entrante quanto flusso uscente. Il bilancio totale risulta nullo.
Questa legge è fondamentale perché separa il magnetismo dall'elettricità. Le cariche elettriche esistono isolate, mentre i poli magnetici isolati non sono stati rilevati.
La legge di Faraday, cioè la relazione tra variazione del campo magnetico e nascita di campo elettrico, spiega l'induzione elettromagnetica.
L'idea fisica è che un campo magnetico variabile nel tempo non resta passivo. Esso genera un campo elettrico che tende a circolare nello spazio.
Il rotore di misura la tendenza del campo elettrico a formare linee chiuse. Il segno meno esprime la legge di Lenz, cioè l'opposizione alla variazione che la produce.
Per esempio, se il campo magnetico cresce di , allora il campo elettrico indotto non può avere verso arbitrario. Il suo verso si dispone per opporsi alla crescita del flusso magnetico.
In forma integrale si ottiene una legge più intuitiva. La circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa dipende dalla variazione del flusso magnetico concatenato.
Per esempio, se il flusso magnetico attraverso una spira diminuisce di in , la circuitazione vale .
Questa è la base dei generatori elettrici e dei trasformatori. La variazione di flusso magnetico diventa una sorgente di tensione indotta.
La legge di Ampère-Maxwell, cioè la relazione tra corrente, variazione del campo elettrico e campo magnetico, completa il quadro classico.
Prima di Maxwell, la corrente elettrica sembrava l'unica sorgente del campo magnetico. Maxwell aggiunge un termine nuovo per rendere coerente la teoria anche nei casi variabili nel tempo.
Qui è la densità di corrente, cioè carica in movimento per unità di area. Il secondo termine contiene la variazione temporale di .
La seconda parte si chiama corrente di spostamento, cioè un termine equivalente a una corrente che compare quando il campo elettrico cambia nel tempo.
L'intuizione di Maxwell è che tra le armature di un condensatore in carica il campo elettrico varia. Anche se lì non scorrono cariche materiali, il campo magnetico deve essere continuo e coerente con la circuitazione.
Questo termine non descrive un trasporto reale di elettroni nello spazio vuoto. Esso rappresenta invece l'effetto dinamico di un campo elettrico variabile.
Per esempio, se il flusso elettrico aumenta di in , si ottiene una corrente di spostamento pari a .
La forma integrale mostra l'estensione della legge di Ampère. Il campo magnetico circola sia per la corrente reale sia per la corrente di spostamento.
Per esempio, se e il termine di spostamento equivale a , allora la corrente efficace totale è pari a .
Questa correzione rende la teoria simmetrica. Un campo elettrico variabile genera campo magnetico, e un campo magnetico variabile genera campo elettrico.
Le equazioni di Maxwell prevedono spontaneamente le onde elettromagnetiche, cioè disturbi propaganti in cui i campi e si sostengono a vicenda nel tempo.
L'idea è questa. Un campo elettrico variabile crea un campo magnetico variabile. Quest'ultimo crea a sua volta un campo elettrico variabile. Il processo si autoalimenta e si propaga.
Nel vuoto, combinando le equazioni di Maxwell si ottiene l'equazione delle onde per ciascun campo.
Una relazione analoga vale per . Questa forma mostra che il campo si propaga con velocità fissata dalle costanti del vuoto.
Per esempio, usando i valori numerici delle costanti del vuoto, si ottiene . Il risultato coincide con la velocità della luce.
Questo è un punto storico decisivo. La luce si riconosce come un'onda elettromagnetica, cioè un'oscillazione accoppiata di campi elettrici e magnetici.
Di conseguenza, le equazioni di Maxwell non descrivono solo circuiti e magneti. Esse spiegano anche la natura della radiazione elettromagnetica, dalle onde radio alla luce visibile.
Si osserva quindi una conclusione unificante: un unico sistema di equazioni descrive cariche, correnti, induzione e propagazione delle onde.
Le equazioni di Maxwell, cioè il sistema di quattro leggi che descrive il campo elettromagnetico, collegano cariche, correnti, campo elettrico e campo magnetico.
Esse si scrivono in forma locale con derivate spaziali e temporali. In questa forma, il comportamento del campo si legge punto per punto nello spazio.
Questa è la legge di Gauss elettrica, cioè la legge che lega il flusso del campo elettrico alla carica presente.
Qui è il campo elettrico, in o . La densità di carica si misura in , mentre è la costante dielettrica del vuoto, in .
Si consideri una regione con densità di carica uniforme .
Il valore del divergente del campo elettrico vale .
Un valore positivo indica sorgenti di campo elettrico. La carica genera quindi un flusso uscente.
Questa è la legge di Gauss per il magnetismo, cioè la legge che afferma l'assenza di monopoli magnetici osservati.
Il campo magnetico si misura in , cioè tesla. Il valore nullo del divergente indica che le linee di sono chiuse.
Si considera il campo di un magnete a barra. Non esiste un polo nord isolato.
La proprietà locale si scrive .
Il flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa risulta nullo. Le linee entrano ed escono in ugual misura.
Questa è la legge di Faraday, cioè la legge che descrive l'induzione elettromagnetica.
Il rotore misura la tendenza a far ruotare il campo. La variazione temporale di genera un campo elettrico non conservativo, in .
Si immagini un campo magnetico uniforme che aumenta da a in .
La variazione di induce un campo elettrico. Il segno meno indica opposizione alla variazione.
L'induzione cresce con la rapidità della variazione magnetica. Questo principio è alla base degli alternatori.
Questa è la legge di Ampère-Maxwell, cioè la legge che collega il campo magnetico alle correnti e alla variazione del campo elettrico.
Qui è la densità di corrente, in . è la permeabilità magnetica del vuoto, in . Il termine rappresenta la corrente di spostamento, cioè il contributo equivalente generato da un campo elettrico variabile.
In un circuito, si consideri una densità di corrente e una variazione del campo elettrico.
Il campo magnetico dipende sia da sia da .
Il contributo di Maxwell rende la legge valida anche in presenza di condensatori in carica.
Dalle equazioni di Maxwell si ricava la velocità delle onde elettromagnetiche. In vuoto, essa coincide con la velocità della luce.
Qui si misura in , mentre e sono le costanti del vuoto già introdotte.
Si usano i valori e .
Si ottiene una velocità molto grande, pari a quella della luce nel vuoto.
Questo risultato mostra che la luce è un'onda elettromagnetica.
In sintesi, le quattro equazioni spiegano come le cariche producono , come i poli magnetici non compaiono isolati, come una variazione di genera , e come correnti e campi variabili generano .
Le onde elettromagnetiche, cioè le oscillazioni auto-sostenute di e , emergono proprio da queste relazioni differenziali.
Le formule locali sono equivalenti, nelle condizioni opportune, alle forme integrali studiate nei problemi di flusso e circuitazione.
Si consideri un cubo di lato immerso in un campo elettrico uniforme diretto lungo una normale alla faccia superiore. Si calcoli il flusso totale e si interpreti la legge di Gauss elettrica, cioè il legame tra flusso e carica interna.
[IMMAGINE: Cubo nel piano tridimensionale con vettori del campo elettrico E entranti da una faccia e uscenti dall'altra; indicare le sei facce, la normale uscente e il flusso totale ΦE.]
Dati: campo uniforme di modulo ; lato del cubo . Si cerca il flusso attraverso la superficie chiusa.
Il metodo consiste nel sommare i contributi delle sei facce. Il flusso su una faccia vale , con area .
Le due facce perpendicolari al campo danno contributi opposti. Sulle altre quattro facce il coseno vale zero.
Il risultato mostra che il flusso totale è nullo. Questo accade perché non c'è carica interna nel cubo.
Errore comune: sommare tutti i moduli dei flussi senza considerare il segno delle facce opposte.
In un condensatore piano si ha una corrente di conduzione uguale a . Si stimi la contribuzione della corrente di spostamento nella legge di Ampere-Maxwell, cioè il termine che sostituisce la corrente nel vuoto tra le armature.
[IMMAGINE: Condensatore piano con due armature parallele, corrente I nel circuito esterno, campo elettrico E tra le piastre e superficie amperiana che attraversa la regione tra le armature.]
Dati: corrente nel circuito ; si assume condensatore in carica. Si cerca la corrente di spostamento tra le piastre.
Nel regime di carica, la corrente di spostamento ha lo stesso valore della corrente di conduzione che alimenta il condensatore. Questa è la correzione di Maxwell che rende coerente il rotore di con la conservazione della carica.
Perciò il termine di spostamento vale e produce un campo magnetico anche nella regione tra le piastre.
Il risultato essenziale è che la corrente di spostamento non è una corrente di cariche libere. È una variazione temporale del campo elettrico.
Errore comune: pensare che tra le piastre debba passare corrente di conduzione per ottenere campo magnetico.
Si consideri un’onda elettromagnetica nel vuoto con campo elettrico sinusoidale di ampiezza = . Si determini l’ampiezza del campo magnetico e si verifichi il legame con la velocità della luce.
[IMMAGINE: Onda elettromagnetica nel vuoto con vettori E e B perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione; indicare E0, B0 e c.]
Dati: ; nel vuoto si usa . Si cerca e il controllo della relazione tra i due campi.
Per un’onda EM nel vuoto vale . Questa relazione deriva dalle equazioni di Maxwell, cioè dalla reciproca induzione tra campo elettrico e magnetico.
Si ottiene quindi un campo magnetico di ampiezza molto piccola. Ciò è tipico delle onde elettromagnetiche nel vuoto.
Il punto chiave è che le equazioni di Maxwell prevedono onde auto-sostenute. Il campo variabile genera variabile, e viceversa.
Errore comune: usare la formula E_0 = B_0 senza il fattore c.
Si analizza un volume in cui la densità di carica è diversa da zero, ma la distribuzione magnetica non presenta sorgenti isolate. Si individua quale equazione di Maxwell è compatibile con questa situazione.
[IMMAGINE: Regione di spazio con carica positiva distribuita in un volume, linee di E che escono radialmente, linee di B chiuse senza inizio né fine, e una spira che evidenzia la variazione di flusso magnetico.]
Dati: presenza di carica ; assenza di monopoli magnetici. Si cercano le equazioni coinvolte e il significato fisico.
La legge di Gauss elettrica collega la divergenza di alla carica. La legge di Gauss magnetica impone invece , cioè linee di campo chiuse.
Se è positiva, il campo elettrico esce dal volume. Se non esistono monopoli magnetici, il campo magnetico non ha sorgenti isolate.
Il risultato è che le due leggi di Gauss hanno ruoli diversi. La prima descrive sorgenti elettriche, la seconda impone l’assenza di sorgenti magnetiche.
Errore comune: attribuire al campo magnetico un flusso netto diverso da zero in presenza di un magnete, confondendo un dipolo con una sorgente isolata.
Le equazioni di Maxwell sono solo tre, perché il magnetismo e l’elettricità si trattano separatamente.
Le equazioni di Maxwell sono quattro, cioè quattro leggi che descrivono insieme il campo elettromagnetico.
L’errore nasce perché si ricordano solo Gauss, Faraday e Ampère. Maxwell aggiunge il termine di corrente di spostamento, che completa il quadro e rende coerente la teoria.
La legge di Gauss per dice che il campo elettrico è sempre uguale alla carica presente.
La legge di Gauss per dice che il flusso di attraverso una superficie chiusa dipende dalla carica racchiusa.
Non si confonde il campo con la carica. La relazione corretta è integrale e riguarda il flusso, non il valore del campo in ogni punto.
Se in una regione non c’è corrente, allora nella legge di Ampère il campo magnetico non può avere rotazione.
Nella legge di Ampère-Maxwell conta anche la corrente di spostamento, cioè il termine .
L’errore nasce quando si pensa alla sola corrente di conduzione. Maxwell mostra che un campo elettrico variabile produce effetto magnetico anche senza portatori di carica che attraversano il vuoto.
La corrente di spostamento è una corrente reale di cariche che attraversano il vuoto tra le armature.
La corrente di spostamento è un termine efficace, cioè una grandezza introdotta da Maxwell per descrivere un campo elettrico variabile.
Non si tratta di cariche che si muovono nel vuoto come in un filo. Serve a mantenere la continuità della legge di Ampère e a salvare la simmetria tra e .
Le onde elettromagnetiche sono previste solo da Faraday, perché basta un campo magnetico variabile.
Le onde EM emergono dall’insieme delle quattro equazioni, soprattutto dall’accoppiamento tra Faraday e Ampère-Maxwell.
Un campo magnetico variabile genera campo elettrico, e un campo elettrico variabile genera campo magnetico. Questa retroazione reciproca permette la propagazione dell’onda nel vuoto.
La velocità delle onde EM dipende dal mezzo e non è una costante fondamentale.
Nel vuoto la velocità vale , cioè la velocità della luce.
L’errore nasce se si pensa alle sole onde meccaniche. Per il campo elettromagnetico nel vuoto la teoria prevede una velocità fissata dalle costanti del vuoto, non dalla sorgente.
Le equazioni di Maxwell sono quattro leggi che descrivono completamente il campo elettromagnetico, cioè l’insieme di campo elettrico e campo magnetico.
Esse collegano cariche, correnti e variazioni nel tempo dei campi.
Le equazioni di Maxwell sono quattro.
La prima riguarda il campo elettrico, la seconda il campo magnetico, la terza l’induzione elettromagnetica, cioè la nascita di un campo elettrico da un campo magnetico variabile, e la quarta l’effetto delle correnti sul campo magnetico.
La legge di Gauss elettrica dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa dipende dalla carica racchiusa.
Se dentro la superficie si trova una carica positiva, il flusso risulta positivo; se la carica è nulla, il flusso totale è nullo.
La corrente di spostamento è un termine introdotto da Maxwell per rendere simmetrica la legge di Ampère e descrivere campi magnetici anche dove non scorre carica.
Essa è proporzionale alla variazione temporale del campo elettrico.
Le equazioni di Maxwell descrivono le onde elettromagnetiche, cioè variazioni accoppiate di campo elettrico e magnetico che si propagano nello spazio.
Una variazione di genera e una variazione di genera . In questo modo l’onda si auto-sostiene.
Nella teoria di Maxwell non esistono monopoli magnetici, cioè cariche magnetiche isolate.
Questo significa che le linee di campo magnetico non iniziano né finiscono in un punto, ma formano sempre anelli chiusi.
La forma locale della legge di Ampère-Maxwell collega la circuitazione del campo magnetico alle correnti di conduzione e alla corrente di spostamento.
Il termine con è essenziale per descrivere correttamente condensatori e onde elettromagnetiche.
