Energia meccanica e conservazione dell'energia

Energia meccanica e conservazione dell'energia

L’energia meccanica, cioè la somma dell’energia di movimento e di posizione, serve a descrivere quanto un sistema può compiere lavoro grazie al suo stato di moto e di configurazione.

Si usa questo concetto perché, in molti problemi, la forza non va analizzata istante per istante. Risulta più utile seguire come l’energia si trasforma.

Quando agiscono solo forze conservative, cioè forze come gravità ed elastica che non disperdono energia, la somma totale resta invariata.

Per esempio, se un corpo possiede $K = 18\ \text{J}$ e $U = 12\ \text{J}$, allora $E = 30\ \text{J}$.

L’idea centrale è che l’energia non si crea e non si distrugge. Si trasforma da una forma all’altra, oppure si trasferisce tra sistema e ambiente.

[IMMAGINE: Schema di un corpo che scende da un punto alto a un punto basso. Indicare energia potenziale U alta in alto, energia cinetica K alta in basso, frecce di trasformazione, e scritta E = K + U costante.]

Energia cinetica e energia potenziale

L’energia cinetica, cioè l’energia legata al moto, aumenta quando la velocità cresce. L’energia potenziale, cioè l’energia legata alla posizione, aumenta quando il sistema viene sollevato o deformato.

Per la parte meccanica più comune si considera l’energia potenziale gravitazionale. Essa dipende dall’altezza rispetto a un livello scelto come riferimento.

Se $m = 2\ \text{kg}$ e $v = 3\ \text{m/s}$, allora $K = 9\ \text{J}$.

Se $m = 2\ \text{kg}$, $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ e $h = 5\ \text{m}$, allora $U_g = 98\ \text{J}$.

L’energia potenziale elastica compare quando una molla viene compressa o allungata. Anche in questo caso l’energia non sparisce. Si accumula nella deformazione.

Se $k = 200\ \text{N/m}$ e $x = 0{,}10\ \text{m}$, allora $U_e = 1\ \text{J}$.

La formula totale va quindi letta come un bilancio. Se una parte cresce, l’altra può diminuire senza che il totale cambi.

Forze conservative e dissipative

Le forze conservative, cioè forze il cui lavoro dipende solo da posizione iniziale e finale, permettono di definire un’energia potenziale associata.

La gravità è conservativa. Lo stesso vale, in condizioni ideali, per la forza elastica della molla. Il percorso seguito non cambia il lavoro totale.

Se un corpo perde $20\ \text{J}$ di energia potenziale gravitazionale, il lavoro della gravità vale $20\ \text{J}$ in valore assoluto.

Le forze dissipative, cioè forze che trasformano parte dell’energia meccanica in forme non meccaniche, come il calore, non conservano l’energia meccanica.

Se l’attrito compie un lavoro di $-5\ \text{J}$, allora l’energia meccanica diminuisce di $5\ \text{J}$.

Il significato fisico è semplice. Le parti del sistema sfregano tra loro e l’energia organizzata del moto diventa agitazione microscopica delle particelle.

Quando si conserva l'energia meccanica

L’energia meccanica si conserva quando il sistema è soggetto solo a forze conservative. In questo caso il totale resta costante durante il moto.

Se all’inizio $E_i = 50\ \text{J}$, allora alla fine deve risultare ancora $E_f = 50\ \text{J}$.

• assenza di attrito significativo
• assenza di resistenza dell’aria
• presenza solo di gravità o forza elastica

Si osserva che queste condizioni sono ideali. Nei problemi scolastici si assumono spesso per semplificare i calcoli e mettere in evidenza le trasformazioni energetiche.

Per un corpo che cade senza attrito, l’energia potenziale diminuisce mentre l’energia cinetica aumenta della stessa quantità.

Se $m = 1\ \text{kg}$, $h_i = 4\ \text{m}$, $v_i = 0\ \text{m/s}$ e il corpo arriva a $h_f = 1\ \text{m}$, allora la perdita di energia potenziale è $29{,}4\ \text{J}$.

L'effetto dell'attrito

L’attrito modifica il bilancio energetico perché parte dell’energia meccanica viene trasformata in calore. Il totale dell’energia complessiva resta però conservato.

Se l’energia dissipata è $8\ \text{J}$ e l’energia iniziale è $30\ \text{J}$, allora l’energia meccanica finale vale $22\ \text{J}$.

Il calore prodotto non è energia perduta in senso assoluto. È energia trasferita in una forma meno utile per il moto del sistema.

Per questo motivo il moto rallenta. Una parte dell’energia iniziale non torna più tutta nella forma meccanica originaria.

Esempi: caduta libera, pendolo e piano inclinato

Gli esempi servono a vedere che la conservazione non è una formula astratta. È un modo compatto per seguire il passaggio tra forme diverse della stessa energia.

Nella caduta libera, cioè il moto sotto la sola azione della gravità, l’energia potenziale diminuisce e l’energia cinetica aumenta.

Se un corpo parte da fermo da $h_i = 5\ \text{m}$ e arriva a $h_f = 0\ \text{m}$, allora si ottiene $v_f \approx 9{,}9\ \text{m/s}$.

Nel pendolo, cioè un corpo sospeso che oscilla avanti e indietro, l’energia alterna continuamente tra potenziale e cinetica.

Se al punto più alto si ha quasi tutta energia potenziale, al punto più basso si ha quasi tutta energia cinetica.

Per esempio, con un dislivello di $0{,}20\ \text{m}$, la velocità al punto basso vale circa $2\ \text{m/s}$.

Sul piano inclinato, cioè una superficie piana disposta con un’inclinazione rispetto all’orizzontale, si può studiare il moto sia senza attrito sia con attrito.

Se il corpo scende da $h = 2\ \text{m}$ senza attrito, si ottiene $v \approx 6{,}3\ \text{m/s}$.

Con attrito, invece, la velocità finale è minore. La differenza va in calore e deformazioni microscopiche.

Derivazione operativa del bilancio energetico

Il bilancio energetico si ricava collegando il lavoro delle forze al cambiamento di energia. Questa relazione rende il metodo molto pratico nei problemi.

Se il lavoro totale è $15\ \text{J}$, allora l’energia cinetica aumenta di $15\ \text{J}$.

Per le forze conservative si usa $W_c = -\Delta U$. Sostituendo, si ottiene la forma generale del bilancio.

Quando $W_{nc} = 0$, si arriva alla conservazione dell’energia meccanica. Se invece il termine non nullo rappresenta attrito o altre perdite, il totale meccanico cambia.

Questa è la forma più utile nei problemi reali. Si confrontano stato iniziale, stato finale e lavoro delle forze non conservative.

[IMMAGINE: Diagramma di un blocco su piano inclinato con frecce: forza peso, reazione normale, attrito, energia potenziale in alto, energia cinetica in basso, e riquadro con bilancio E_i = E_f - energia dissipata.]

Formule e proprietà

L’energia meccanica cioè la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, si indica con $E$ e si usa per descrivere il moto in sistemi semplici.

Nel Sistema Internazionale si misura in joule cioè $J$. L’energia cinetica si misura in $J$ e anche l’energia potenziale si misura in $J$.

• La $K$ è l’energia cinetica, cioè l’energia dovuta al moto.
• La $U$ è l’energia potenziale, cioè l’energia legata alla posizione o alla deformazione.
• La $E$ è la somma totale delle due energie.

Il principio di conservazione dell’energia meccanica cioè la proprietà per cui l’energia meccanica resta costante, vale quando agiscono solo forze conservative.

In assenza di forze dissipative, cioè di forze che trasformano energia meccanica in calore, si ha $E_i = E_f$.Questa è la condizione essenziale da ricordare.

Le forze conservative cioè le forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, comprendono la gravità e la forza elastica.

Nella formula dell’energia potenziale gravitazionale, $m$ è la massa in $kg$, $g$ è l’accelerazione di gravità in $\text{m/s}^2$ e $h$ è l’altezza in $m$.

Con l’attrito cioè una forza dissipativa che oppone resistenza al moto, una parte di $E$ si trasforma in calore.

Qui $E_{\text{diss}}$ rappresenta l’energia dissipata, cioè l’energia convertita in forme non meccaniche. Si misura in $J$.

Un caso utile è quello della forza elastica cioè la forza di una molla deformata, per la quale l’energia potenziale elastica si scrive $\displaystyle { U_e = \frac{1}{2}kx^2 }$.

Nella formula, $k$ è la costante elastica in $\text{N/m}$, mentre $x$ è la deformazione in $m$.

Le formule inverse sono spesso utili nei problemi. Se si conosce $U_g$, si ricava $\displaystyle { h = \frac{U_g}{mg} }$. Se si conosce $U_e$, si ricava $\displaystyle { x = \sqrt{\frac{2U_e}{k}} }$.

Esempi svolti