Cos'è l'ellisse

L' ellisse è una conica, esattamente come la parabola.

Se infatti prendiamo un cono e lo intersechiamo con un piano inclinato, ma meno inclinato della generatrice (il lato) e del cono, otteniamo un'ellisse:

Possiamo dunque pensare all'ellisse come ad un cerchio allungato.

Ovviamente, però, quando la studiamo dal punto di vista della geometria analitica, dobbiamo definirla come un luogo geometrico:

Un'ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti dati, detti fuochi.

Ecco un esempio di grafico di un'ellisse:

Iniziamo vedendo i due casi principali:

• I fuochi si trovano sull'asse delle $x$

oppure

• I fuochi si trovano sull'asse delle $y$

Supponiamo inoltre che in entrambi i casi i fuochi siano equidistanti dall'origine (cioè simmetrici rispetto all'asse).

Ellisse con i fuochi sull'asse delle x

Un'ellisse con i fuochi sull'asse delle $x$ e con i fuochi simmetrici rispetto all'asse delle $y$ apparirà come la seguente:

Troviamo la sua equazione!

Prendiamo quindi un generico punto $P(x,y).$

Affinché appartenga all'ellisse, la somma delle sue distanze dai fuochi deve essere uguale ad una costante che chiameremo $k.$

Quindi:

dove appunto $d(P,F_1)$ sta per "distanza tra $P$ e $F_1$ ". Quest'ultimo, stando sull'asse $x$ dovrà avere coordinate $(f,0).$

Siccome $F_2$ è simmetrico a $F_1$ rispetto all'asse delle $y,$ dovrà avere coordinate $(-f,0).$

Usiamo quindi la formula per la distanza tra due punti:

Con qualche passaggio possiamo ricondurla alla forma:

I calcoli da fare per dimostrare che sono equivalenti sono piuttosto lunghi, per questo li abbiamo spostati alla fine della lezione, così puoi decidere se soffermarti sui calcoli o proseguire con la lezione.

Questo valore $a$ è chiamato semiasse orizzontale mentre $b$ è l' asse verticale .

Dunque $2a$ è l'asse orizzontale e $2b$ è l'asse verticale.

Nel caso di un'ellisse con i fuochi sull'asse delle $x,$ $a$ viene anche detto semiasse maggiore mentre $b$ è il semiasse minore.

I vertici sono gli estremi dell'ellisse:

L'asse orizzontale congiunge i due vertici in orizzontale:

L'asse verticale congiunge i due vertici in verticale:

Il centro dell'ellisse è il punto di intersezione dei due assi:

In questo il caso il centro dell'ellisse coincide con l'origine del piano cartesiano.

L' asse focale $2c$ congiunge invece i due fuochi:

Quindi in realtà $c=f.$

Notiamo che $k=2a,$ perché la somma delle distanze tra vertici orizzontali e i fuochi è uguale a $2a.$

Tracciamo i segmento che congiungono il vertice in alto con i due fuochi:

Notiamo che otteniamo un triangolo isoscele che a sua volta è formato da due triangoli rettangoli.

Applicando il teorema di Pitagora otteniamo:

${k\over 2} = \sqrt{b^2 + c^2}$

${2a\over 2} = \sqrt{b^2 + c^2}$

$a = \sqrt{b^2 + c^2}$

$a^2 = b^2 + c^2$

$c = \sqrt{a^2 - b^2}$

Dunque esiste questa relazione tra il semiasse focale, il semiasse orizzontale e il semiasse verticale. :

Un'ellisse può essere più o meno schiacciata:

Questo concetto di "rotondità" viene espresso dall'eccentricità dell'ellisse, che si calcola come:

Cioè come il rapporto tra il semiasse focale e il semiasse maggiore.

Utilizzando la formula per $c$ otteniamo:

$e = {\sqrt{a^2 - b^2}\over a}$

$e = \sqrt{{a^2 -b^2\over a^2}}$

$e = \sqrt{1 - {b^2 \over a^2}}$

$e = \sqrt{1 - \left({b\over a}\right)^2}$

Siccome i fuochi sono sull'asse delle $x,$ abbiamo $a>b,$ perciò ${b\over a}< 1.$

Quindi $\sqrt{1 - \left({b\over a}\right)^2}$ deve essere compresa tra $1$ e $0.$

Nel caso in cui l'eccentricità tenda $1,$ vuole dire che $b$ tende a $0,$ quindi l'ellisse è collassa su un segmento:

Mentre se l'eccentricità è uguale a $0,$ dobbiamo avere $a = b$ e quindi l'ellisse è diventata un cerchio:

Quindi minore è l'eccentricità è più l'ellisse assomiglia ad un cerchio, cioè è rotonda, mentre più l'eccentricità tende ad $1$ e più l'ellisse è schiacciata.

Ellisse con i fuochi sull'asse delle y

Se i fuochi sono sull'asse delle $y$ e simmetrici all'asse $x,$ otteniamo sempre la stessa equazione:

Questa volta, però, sarà $b$ ad essere il semiasse maggiore:

Di conseguenza, questa volta la formula per $c$ sarà $c = \sqrt{b^2 - a^2}$ e avremo infatti $2b=k.$

Inoltre l'eccentricità questa volta si calcolerà come:

$e = {c\over b}$

e facendo gli stessi esatti passaggi di prima otteniamo:

$e = \sqrt{1 - \left({a\over b}\right)^2}$

Anche in questo caso più è minore l'eccentricità più l'ellisse è rotonda, fino a diventare un cerchio quando $a=b,$ mentre più l'eccentricità si avvicina ad $1$ e più l'ellisse è schiacciata:

Iperbole traslata

In generale possiamo traslare un'iperbole nel piano spostandola con un vettore $\left(\begin{array}{l} v_x \\v_y \end{array}\right):$

La nuova $x'$ sarà dunque uguale a $x+x_v,$ quindi $x = x'-x_v.$ Succede lo stesso per la $y.$ Dunque la nuova equazione diventa:

Una volta chiarito che è stata effettua la traslazione, richiamiamo gli assi $x'$ e $y'$ come l'asse $x$ ed $y.$

Quindi richiamiamo $x'$ come $x$ e $y'$ come $y,$ quindi l'equazione diventa:

nel nuovo piano cartesiano.

Formula di sdoppiamento

Talvolta ci può essere chiesto di trovare l'equazione della retta tangente ad un ellisse in un punto $P.$

La formula di sdoppiamento ci permette di fare proprio questo.

Se abbiamo un'ellisse con equazione:

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$

La retta tangente ad un punto $P(x_0,y_0)$ dell'ellisse sarà:

Dimostrazione dell'equazione dell'ellisse

Ecco la dimostrazione dell'equazione dell'ellisse. Riprendiamo l'equazione che avevamo ottenuto dalla definzione dell'ellisse:

$\sqrt{(x-f)^2 + y^2} + \sqrt{(x+f)^2 + y^2} = k$

Dentro le radici abbiamo somme di quadrati, che sono sempre positive, e $k$ deve essere sempre positivo per costruzione, quindi non ci sono problemi di esistenza e possiamo elevare entrambi i lati al quadrato:

$(x-f)^2 + y^2 + 2\sqrt{((x-f)^2 + y^2)((x+f)^2 + y^2)} + (x+f)^2 + y^2 = k^2$

Espandiamo e semplifichiamo:

$x^2 - 2xf + f^2 + 2\sqrt{(x^2 - 2xf + f^2 + y^2) (x^2 + 2xf + f^2 + y^2)} + x^2 + 2xf + f^2 + y^2 = k^2$

$2x^2 +2f^2 + 2y^2 + 2 \sqrt{(x^2 + f^2 + y^2 - 2xf) (x^2 + f^2 + y^2 + 2xf)} = k^2$

Notiamo che dentro la radice abbiamo una somma per differenza e possiamo dunque applicare il prodotto notevole:

$2(x^2 + f^2 + y^2) + 2\sqrt{(x^2 + y^2 + f^2)^2 - 4x^2f^2} = k^2$

Adesso isoliamo la radice ed eleviamo entrambi i lati al quadrato:

$2\sqrt{(x^2 + y^2 + f^2) - 4x^2f^2} = k^2 - 2(x^2 + f^2 + y^2)$

$4(x^2 + f^2 + y^2) - 16x^2f^2 = k^4 - 4(x^2 +f^2 + y^2)k^2 + 4(x^2 +f^2 + y^2)^2$

Semplifichiamo ed espandiamo:

$-16x^2f^2 = k^4 - 4(x^2 + f^2 + y^2)k^2$

$-16x^2f^2 = k^4 - 4x^2k^2 - 4f^2k^2 - 4y^2 k^2$

$x^2(4k^2 - 16f^2) + y^2 (4k^2) = k^4 - 4f^2 k^2$

$x^2 {4k^2 - 16f^2 \over k^4 - 4f^2k^2} + y^2{4k^2 \over k^4 - 4f^2 k^2} = 1$

$x^2 {4(k^2 - 4f^2) \over k^2 (k^2 - 4f^2)} + y^2{4k^2 \over k^2(k^2 - 4f^2)} = 1$

$x^2 {4\over k^2} + y^2 {4 \over k^2 - 4f^2} = 1$

Ora chiamiamo $k$ come $2a$ e chiamiamo ${4 \over k^2 - 4f^2}$ come ${1\over b^2}$ ottenendo:

${4x^2 \over 4a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$

Abbiamo ottenuto l'equazione ricercata.