come si calcola la distanza di un punto da una retta

Si sostituiscono le coordinate del punto nella retta e si divide il valore assoluto per la norma del vettore normale. Per esempio, con P(2,-1) e r: 3x-4y+5=0, si ottiene d=\frac{|3\cdot2-4\cdot(-1)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{15}{5}=3.

come si usa la formula d = |ax+by+c|/√(a²+b²)

Si usa sostituendo le coordinate del punto al posto di x e y nel numeratore. Se il punto è P(x_0,y_0), la scrittura corretta diventa d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. Per esempio, con P(1,3) e r: x+2y-7=0, si ha d=\frac{|1+6-7|}{\sqrt{1^2+2^2}}=0, quindi il punto appartiene alla retta.

Distanza punto-retta

Q: qual è la formula della distanza punto-retta

La formula è d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} quando la retta è scritta in forma ax+by+c=0. Si tratta della distanza, cioè della lunghezza del segmento perpendicolare che unisce il punto alla retta.

Q: cos'è la distanza di un punto dall'origine

È la distanza del punto P(0,0) dalla retta considerata, quando l'origine è il punto da verificare rispetto a una retta. Per una retta ax+by+c=0, la distanza dell'origine è d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. Per esempio, per 2x-3y+6=0, si ottiene d=\frac{|6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{6}{\sqrt{13}}.

Formula e calcolo della distanza

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Concetto chiave

Distanza di un punto da una retta

La distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento perpendicolare che unisce il punto alla retta. Si ottiene proiettando il punto sulla retta lungo la direzione ortogonale.

d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad r:ax+by+c=0

✓Formula: si sostituiscono le coordinate di $P(x_0,y_0)$ nell’equazione della retta.
✓Origine: se $P=(0,0)$ , allora $\displaystyle { d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ .
✓Parallele: la distanza tra due rette parallele si calcola con un punto su una delle due.
✓Perpendicolare: la distanza è il segmento minimo, cioè la proiezione ortogonale.
✓Applicazioni: rette equidistanti e circonferenze tangenti a una retta.

Schema rapido della distanza punto-retta

Elemento	Proprietà	Formula
Retta $r: ax+by+c=0$	Forma generale della retta nel piano cartesiano.	$ax+by+c=0$
Distanza di $P(x_0,y_0)$ da $r$	Si calcola con il valore assoluto della sostituzione delle coordinate nella retta.	$\displaystyle { d(P,r)=\dfrac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$
Punto sull'origine $O(0,0)$	È un caso particolare della formula generale.	$\displaystyle { d(O,r)=\dfrac{\|c\|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$
Rette parallele $r_1,r_2$	La distanza si ottiene scegliendo un punto di una retta e misurando la distanza dall'altra.	$\displaystyle { d(r_1,r_2)=\dfrac{\|c_2-c_1\|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ se hanno gli stessi $a,b$
Interpretazione geometrica	La distanza è il segmento perpendicolare dalla retta al punto.	Proiezione ortogonale su $r$
Applicazione: rette equidistanti	Si cercano rette con distanza fissata da una retta data.	Impostare $d(P,r)=k$ e risolvere per i coefficienti
Applicazione: cerchi tangenti a una retta	Il raggio del cerchio deve essere uguale alla distanza del centro dalla retta.	$r=d(C,\,r)$

Perché si introduce la distanza punto-retta

Si introduce la distanza, cioè la misura della separazione minima tra un punto e una retta nel piano, per trasformare un problema geometrico in un calcolo preciso.

L'idea è semplice. Si cerca il segmento più corto che unisce il punto alla retta. Quel segmento è sempre perpendicolare alla retta.

Questa idea permette di misurare quanto un punto sia lontano da un vincolo lineare. Per esempio, si controlla subito se un punto è vicino a una strada, a un bordo o a una soglia rappresentata da una retta.

Nel piano cartesiano si considera una retta in forma generale $ax+by+c=0$ . Si considera anche un punto $P(x_0,y_0)$ .

La formula finale nasce proprio da questa configurazione. Si ottiene un valore positivo o nullo, perché una distanza non può essere negativa.

d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Per esempio, con $r: 2x-y+1=0$ e $P(3,2)$ , si ha $\displaystyle { d=\frac{|2\cdot3-1\cdot2+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt5}=\sqrt5 }$ .

Idea geometrica: la perpendicolare come percorso più breve

La distanza minima tra un punto e una retta si misura lungo la perpendicolare, cioè lungo la retta che forma un angolo retto con la retta data.

Questa scelta non è arbitraria. Tra tutti i segmenti che partono da un punto e raggiungono una retta, il più corto è quello perpendicolare.

Si può pensare a una corda tesa da un punto a un binario. La corda più corta è quella che cade dritta, senza inclinazione laterale.

Si consideri la retta $r$ e il punto esterno $P$ . Si traccia da $P$ la perpendicolare a $r$ . Il piede della perpendicolare si indica con $H$ .

d(P,r)=PH

Per esempio, se la perpendicolare ha lunghezza 4 cm, allora la distanza vale 4 cm. Non serve altro, perché la distanza coincide con quel segmento.

Dimostrazione della formula con la proiezione perpendicolare

La formula si dimostra usando la proiezione perpendicolare, cioè la caduta ortogonale del punto sulla retta. Si sfrutta un triangolo rettangolo costruito con i coefficienti della retta.

Si consideri la retta $ax+by+c=0$ e il punto $P(x_0,y_0)$ . Si costruisce il vettore normale alla retta, cioè il vettore perpendicolare ad essa.

Il vettore normale è $\vec n=(a,b)$ . Per esempio, per $3x+4y-12=0$ , il vettore normale è $(3,4)$ .

Si considera un punto $Q(x_1,y_1)$ appartenente alla retta. Allora vale $ax_1+by_1+c=0$ .

a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)=ax_0+by_0+c

Il membro sinistro rappresenta il prodotto scalare tra $\vec n$ e il vettore $\overrightarrow{QP}$ .

|\overrightarrow{QP}|\cos\theta=\frac{|\vec n\cdot \overrightarrow{QP}|}{|\vec n|}

Poiché la distanza cercata è la componente di $\overrightarrow{QP}$ lungo la direzione normale, si divide per il modulo di $\vec n$ .

d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Per esempio, per $P(1,2)$ e $r:x-2y+3=0$ , si ottiene $\displaystyle { d=\frac{|1-4+3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=0 }$ . Il punto appartiene alla retta.

[IMMAGINE: Piano cartesiano con una retta obliqua r: ax+by+c=0, un punto esterno P(x0,y0), il piede della perpendicolare H sulla retta, segmento PH evidenziato come distanza, vettore normale (a,b) disegnato con freccia, assi x e y etichettati.]

Come si usa la formula nella pratica

La formula si applica sostituendo con ordine i coefficienti della retta e le coordinate del punto. Si calcola prima il numeratore e poi il denominatore.

Si scrive la retta nella forma $ax+by+c=0$
Si leggono $a$ , $b$ e $c$
Si sostituiscono le coordinate $x_0$ e $y_0$
Si divide il valore assoluto per $\sqrt{a^2+b^2}$

Per esempio, con $r: 2x+5y-10=0$ e $P(4,1)$ , si ha $\displaystyle { d=\frac{|8+5-10|}{\sqrt{29}}=\frac{3}{\sqrt{29}} }$ .

Se il punto appartiene alla retta, il numeratore diventa zero. In quel caso la distanza è nulla.

Per esempio, con lo stesso assegnamento ma con $P(0,2)$ , si ha $2\cdot0+5\cdot2-10=0$ . Quindi la distanza è $0$ .

Distanza di un punto dall'origine

La distanza dall'origine è un caso particolare della formula generale. Si pone il punto in $O(0,0)$ .

Sostituendo $x_0=0$ e $y_0=0$ , si ottiene una formula molto semplice.

d(O,r)=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Per esempio, per la retta $3x-4y+8=0$ , la distanza dall'origine vale $\displaystyle { \frac{8}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{8}{5} }$ .

Questa formula è utile quando la retta rappresenta un confine rispetto al centro del piano. L'origine diventa il punto di riferimento.

Per esempio, se si cerca una retta a distanza 2 dall'origine e con normale $(3,4)$ , si impone $\displaystyle { \frac{|c|}{5}=2 }$ . Allora $|c|=10$ .

Distanza tra due rette parallele

La distanza tra due rette parallele si calcola come distanza di un punto di una retta dall'altra retta. La logica è la stessa della distanza punto-retta.

Due rette sono parallele quando hanno gli stessi coefficienti di $x$ e $y$ , cioè la stessa direzione.

r_1: ax+by+c_1=0\qquad r_2: ax+by+c_2=0

Si sceglie un punto di una delle due rette e si usa la formula della distanza punto-retta rispetto all'altra. Si ottiene così la distanza tra le rette.

In forma compatta, la distanza tra le parallele vale $\displaystyle { d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ .

d(r_1,r_2)=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Per esempio, per $r_1: x+2y-3=0$ e $r_2: x+2y+1=0$ , si ha $\displaystyle { d=\frac{|{-3}-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt5} }$ .

Per esempio, se due rette parallele rappresentano due binari, la formula misura la distanza costante tra essi in ogni punto.

Applicazioni: rette equidistanti e cerchi tangenti

La distanza punto-retta serve anche per costruire oggetti con una posizione precisa rispetto a una retta. Le applicazioni più frequenti riguardano rette equidistanti e cerchi tangenti.

Una retta è equidistante, cioè posta alla stessa distanza da due rette parallele, quando si trova esattamente a metà tra esse.

Se le rette sono $r_1: ax+by+c_1=0$ e $r_2: ax+by+c_2=0$ , la retta centrale ha gli stessi coefficienti $a$ e $b$ , mentre il termine noto è la media dei due.

r_m: ax+by+\frac{c_1+c_2}{2}=0

Per esempio, tra $x+y-2=0$ e $x+y+4=0$ , la retta equidistante è $x+y+1=0$ .

Un cerchio è tangente a una retta quando la distanza tra centro e retta è uguale al raggio. Questa condizione lega geometria e formula della distanza.

Per esempio, se il centro è $C(2,-1)$ e la retta è $x-2y+3=0$ , la distanza del centro è $\displaystyle { \frac{|2+2+3|}{\sqrt5}=\frac{7}{\sqrt5} }$ . Questo valore sarebbe il raggio di un cerchio tangente alla retta.

Esempio — costruzione di un cerchio tangente a una retta

Si consideri il centro C(1,2) e la retta r: 2x-y+1=0.

Si calcola la distanza centro-retta: $\displaystyle { d=\frac{|2\cdot1-2+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt5} }$ .

Se si vuole un cerchio tangente a r, il raggio deve essere proprio $\displaystyle { \frac{1}{\sqrt5} }$ .

Il valore trovato è quindi la misura richiesta per il raggio.

Formule e proprietà

La distanzadi un punto da una retta, cioè la lunghezza del segmento perpendicolare che unisce il punto alla retta, si esprime con una formula unica per le rette in forma implicita.

d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad r:ax+by+c=0

Nel punto $P(x_0,y_0)$ si sostituiscono le coordinate nella retta $r$ ; il numeratore misura la distanza orientata, mentre il denominatore normalizza rispetto al vettore normale.

$a$ e $b$ sono i coefficienti di $x$ e $y$ nella retta.
$x_0$ e $y_0$ sono le coordinate del punto.
$c$ è il termine noto della retta.

Esempio — distanza di un punto da una retta

Si consideri la retta $2x-3y+6=0$ e il punto $P(1,2)$ .

d=\frac{|2\cdot 1-3\cdot 2+6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{|2-6+6|}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}

La distanza vale $\displaystyle { \frac{2}{\sqrt{13}} }$ , cioè circa $0,55$ unità di lunghezza.

La formula si usa anche quando la retta è data in forma esplicita, cioè $y=mx+q$ , perché si può riscrivere in forma implicita prima del calcolo.

y=mx+q\;\Longrightarrow\;mx-y+q=0

Si osserva che $m$ è il coefficiente angolare, cioè l’inclinazione della retta, e $q$ è l’intercetta sull’asse delle ordinate.

Esempio — retta in forma esplicita

Si consideri $y=2x-1$ e il punto $P(0,3)$ .

y=2x-1\;\Longrightarrow\;2x-y-1=0

d=\frac{|2\cdot 0-1\cdot 3-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}

Si ottiene $\displaystyle { \frac{4}{\sqrt{5}} }$ , cioè circa $1,79$ unità di lunghezza.

La distanza dall’origine, cioè dal punto $O(0,0)$ , è un caso particolare della formula generale.

d(O,r)=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Infatti si sostituiscono le coordinate $x_0=0$ e $y_0=0$ , quindi resta solo il termine noto $c$ .

Esempio — distanza dell’origine da una retta

Si consideri la retta $3x+4y-12=0$ .

d(O,r)=\frac{|-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}

La distanza dall’origine è $\displaystyle { \frac{12}{5} }$ , cioè $2,4$ unità di lunghezza.

La distanza tra due rette parallele, cioè rette con lo stesso coefficiente angolare, si calcola scegliendo un punto su una retta e misurandone la distanza dall’altra.

r_1:ax+by+c_1=0,\quad r_2:ax+by+c_2=0\quad\Rightarrow\quad d(r_1,r_2)=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Si usano gli stessi $a$ e $b$ , perché le rette parallele hanno la stessa direzione e quindi lo stesso vettore normale.

Esempio — distanza tra rette parallele

Si considerino $r_1:2x-y+1=0$ e $r_2:2x-y-5=0$ .

d(r_1,r_2)=\frac{|-5-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}

La distanza tra le due rette è $\displaystyle { \frac{6}{\sqrt{5}} }$ , cioè circa $2,68$ unità di lunghezza.

Una retta equidistante, cioè a uguale distanza da due rette parallele, si ottiene imponendo che il punto cercato abbia la stessa distanza da entrambe.

\frac{|ax_0+by_0+c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|ax_0+by_0+c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Questa condizione porta alla retta mediana, cioè la retta parallela alle due date e posta a metà distanza.

Esempio — retta mediana tra due parallele

Si considerino $2x-y+1=0$ e $2x-y-5=0$ .

2x-y-2=0

La retta mediana è $2x-y-2=0$ , perché i termini noti risultano a metà tra $1$ e $-5$ .

Un cerchio tangente a una retta, cioè un cerchio che la tocca in un solo punto, soddisfa l’uguaglianza tra raggio e distanza del centro dalla retta.

r=d(C,r)=\frac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Se il centro è $C(x_C,y_C)$ , il raggio $r$ si ottiene imponendo questa condizione di tangenza.

Esempio — cerchio tangente a una retta

Si consideri il centro $C(2,1)$ e la retta $x+y-4=0$ .

r=d(C,r)=\frac{|2+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

Il cerchio tangente alla retta ha raggio $\displaystyle { \frac{1}{\sqrt{2}} }$ , cioè circa $0,71$ unità di lunghezza.

Esempi svolti

Esempio 1 — Distanza di un punto da una retta

Calcolare la distanza del punto $P(2,3)$ dalla retta $r: 3x-4y+5=0$ .

[IMMAGINE: Piano cartesiano con il punto P(2,3) e la retta 3x-4y+5=0; traccia del segmento perpendicolare da P alla retta, con piede H evidenziato.]

I dati sono il punto $P(2,3)$ e i coefficienti $a=3$ , $b=-4$ , $c=5$ . L'incognita è la distanza perpendicolare dal punto alla retta.

Si usa la formula della distanza punto-retta, cioè la distanza minima tra il punto e la retta.

d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Sostituendo si ottiene $\displaystyle { d=\frac{|3\cdot 2+(-4)\cdot 3+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} }$ .

Si calcola il numeratore: $|6-12+5|=| -1 |=1$ .

d=\frac{1}{5}

La distanza vale $\displaystyle { \frac{1}{5} }$ unità di misura.

Risultato finale: la distanza è 1/5.

Errore comune: dimenticare il valore assoluto e ottenere una distanza negativa.

Esempio 2 — Distanza dall'origine a una retta

Determinare la distanza dell'origine $O(0,0)$ dalla retta $2x+y-6=0$ .

Si tratta di un caso particolare della formula punto-retta. Il punto è l'origine, quindi si sostituiscono $x_0=0$ e $y_0=0$ .

La formula per la distanza dall'origine è la stessa espressione, con il termine noto c al numeratore.

d(O,r)=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Nel caso dato, si ha $a=2$ , $b=1$ , $c=-6$ .

d=\frac{|-6|}{\sqrt{2^2+1^2}}

Si calcola $\displaystyle { d=\frac{6}{\sqrt{5}} }$ .

Se si vuole, si può razionalizzare il denominatore: $\displaystyle { \frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5} }$ .

Risultato finale: la distanza è 6/\sqrt{5}.

Errore comune: sostituire un punto qualsiasi senza riconoscere che l'origine ha coordinate nulle.

Esempio 3 — Distanza tra due rette parallele

Calcolare la distanza tra le rette parallele $r: x-2y+1=0$ e $s: x-2y-5=0$ .

[IMMAGINE: Due rette parallele nel piano cartesiano, etichettate r e s, con un segmento perpendicolare che le collega e misura la distanza.]

Le due rette hanno gli stessi coefficienti di $x$ e $y$ . Si riconosce quindi il caso di rette parallele.

Per trovare la distanza, si prende un punto su una delle due rette e si applica la formula punto-retta all'altra retta.

Un punto di $r$ si ottiene ponendo $x=0$ , quindi si ha $-2y+1=0$ .

y=\frac{1}{2}

Si usa il punto $\displaystyle { P\left(0,\frac{1}{2}\right) }$ e si calcola la distanza dalla retta $s: x-2y-5=0$ .

d=\frac{|0-2\cdot \frac{1}{2}-5|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}

Il numeratore diventa $|-1-5|=6$ , mentre il denominatore vale $\sqrt{5}$ .

d=\frac{6}{\sqrt{5}}

Risultato finale: la distanza tra le rette è 6/\sqrt{5}.

Errore comune: usare la formula delle rette parallele senza scegliere prima un punto di una retta.

Esempio 4 — Retta equidistante da due rette parallele

Trovare la retta parallela a $2x-y+1=0$ ed equidistante da essa e dalla retta $2x-y-7=0$ .

Le rette richieste devono avere la stessa forma generale delle due rette date. Si cerca quindi una retta del tipo $2x-y+k=0$ .

La distanza tra due rette parallele si ottiene confrontando il termine noto. La retta cercata deve stare a metà tra le due.

k=\frac{1+(-7)}{2}=-3

Il valore centrale del termine noto è $-3$ .La retta cercata è quindi $2x-y-3=0$ .

Si può verificare che la distanza di questa retta da ciascuna delle due date è la stessa.

d=\frac{|1-(-3)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}

Risultato finale: la retta equidistante è 2x-y-3=0.

Errore comune: scegliere il termine noto senza mantenere invariati i coefficienti di x e y.

Errori comuni nella distanza punto-retta

✗

Scrivere $\displaystyle { d = \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ senza valore assoluto.

✓

Scrivere $\displaystyle { d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ .

La distanza è una lunghezza, quindi non può essere negativa. Il valore assoluto elimina il segno del numeratore. Per esempio, se il numeratore vale $-6$ e il denominatore $3$ , la distanza è $2$ .

✗

Usare la formula con un punto qualsiasi della retta e non con il punto $P$ dato.

✓

Sostituire le coordinate del punto esterno $P(x_0,y_0)$ nella formula.

La formula misura la distanza di un punto specifico dalla retta. Le coordinate da inserire sono quelle del punto di cui si vuole la distanza. Per esempio, con $P(2,-1)$ e $r: x+y-3=0$ , si calcola con $x_0=2$ e $y_0=-1$ .

✗

Dimenticare il denominatore e calcolare solo $|ax_0+by_0+c|$ .

✓

Dividere sempre per $\sqrt{a^2+b^2}$ .

Il denominatore serve a normalizzare il vettore normale della retta, cioè il vettore perpendicolare alla retta. Senza questa divisione si ottiene un numero sbagliato e dipendente dai coefficienti della retta. Per esempio, con $a=3$ e $b=4$ , il fattore corretto è $\sqrt{25}=5$ .

✗

Pensare che la distanza dall'origine sia sempre uguale a $|c|$ .

✓

Usare la formula $\displaystyle { d(O,r)=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ .

La distanza dall'origine si ottiene sostituendo $x_0=0$ e $y_0=0$ nella formula generale. Quindi non basta prendere il termine noto $c$ . Per esempio, per $2x-3y+6=0$ si ha $\displaystyle { d=\frac{6}{\sqrt{13}} }$ .

✗

Confondere la distanza tra due rette parallele con la distanza tra i loro coefficienti.

✓

Prendere un punto di una retta e calcolare la distanza dall’altra retta.

La distanza tra rette parallele è geometrica, non algebrica. Si sceglie un punto di una retta e si applica la formula punto-retta all’altra. Per esempio, tra $x-2y+1=0$ e $x-2y-5=0$ si misura la distanza di un punto della prima dalla seconda.

✗

Usare la formula per rette non parallele quando si chiede la distanza tra due rette.

✓

Applicare il procedimento solo se le rette sono parallele.

Due rette incidenti hanno distanza minima nulla, perché si incontrano in un punto. La formula tra due rette serve solo quando hanno la stessa direzione. Per esempio, $y=x$ e $y=-x$ si intersecano, quindi la distanza è $0$ .

Domande frequenti

La formula è $\displaystyle { d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ quando la retta è scritta in forma $ax+by+c=0$ .

Si tratta della distanza, cioè della lunghezza del segmento perpendicolare che unisce il punto alla retta.

Si sostituiscono le coordinate del punto nella retta e si divide il valore assoluto per la norma del vettore normale.

d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Per esempio, con $P(2,-1)$ e $r: 3x-4y+5=0$ , si ottiene $\displaystyle { d=\frac{|3\cdot2-4\cdot(-1)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{15}{5}=3 }$ .

Si usa sostituendo le coordinate del punto al posto di $x$ e $y$ nel numeratore.

Se il punto è $P(x_0,y_0)$ , la scrittura corretta diventa $\displaystyle { d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ .

Per esempio, con $P(1,3)$ e $r: x+2y-7=0$ , si ha $\displaystyle { d=\frac{|1+6-7|}{\sqrt{1^2+2^2}}=0 }$ , quindi il punto appartiene alla retta.

È la distanza del punto $P(0,0)$ dalla retta considerata, quando l'origine è il punto da verificare rispetto a una retta.

Per una retta $ax+by+c=0$ , la distanza dell'origine è $\displaystyle { d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}} }$ .

Per esempio, per $2x-3y+6=0$ , si ottiene $\displaystyle { d=\frac{|6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{6}{\sqrt{13}} }$ .

La distanza tra due rette parallele è la distanza di un punto di una retta dall’altra retta.

d=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Questo vale se le rette hanno la stessa parte $ax+by$ e termini noti diversi.

Per esempio, tra $x-2y+1=0$ e $x-2y-5=0$ , si ha $\displaystyle { d=\frac{|(-5)-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}} }$ .

La distanza è sempre non negativa, cioè maggiore o uguale a zero.

Il valore assoluto nel numeratore impedisce risultati negativi.

Se il punto appartiene alla retta, allora la distanza vale $0$ .

Serve per misurare la minima separazione tra un punto e una retta nel piano cartesiano.

Si usa anche per trovare rette equidistanti, cioè rette poste alla stessa distanza da un punto o da un’altra retta.

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