Una disequazione con valore assoluto è un’inequazione in cui compare un modulo, cioè una distanza numerica sempre non negativa. Si risolve distinguendo i casi del modulo e traducendo il problema in intervalli o unioni di intervalli.
| Formula/Proprietà | Significato | Condizioni/Note |
|---|---|---|
| se , se | Il valore assoluto restituisce la distanza di un numero da . | È il ripasso di base per spezzare i casi. |
| La distanza di da è minore di . | Con equivale a . Si ottiene un’intersezione. | |
| La distanza di da non supera . | Con equivale a . Gli estremi sono inclusi. | |
| La distanza di da è maggiore di . | Con equivale a oppure . Si ottiene un’unione. | |
| La distanza di da non è minore di . | Con equivale a oppure . Gli estremi sono inclusi. | |
| La distanza tra e è minore di . | Geometricamente descrive un intervallo aperto centrato in , con raggio . | |
| La distanza tra e non supera . | Geometricamente descrive un intervallo chiuso centrato in , con raggio . | |
| Si confrontano due distanze da . | Si può elevare al quadrato dopo aver imposto entrambi i membri non negativi. | |
| Si ha una disequazione con modulo al denominatore. | Serve . Si studia prima il dominio, poi il segno dell’espressione. |
Le disequazioni con valore assoluto si usano quando interessa confrontare una quantità con la sua distanza da zero. Questa distanza non può essere negativa.
Il valore assoluto cioè la distanza di un numero dallo zero, trasforma un numero negativo nel suo opposto positivo. Per questo si lavora spesso per casi.
Si consideri ad esempio ; allora . Se invece , si ha .
L'idea centrale è semplice: una disequazione con modulo chiede di capire quanto una quantità può allontanarsi da un valore di riferimento.
Quando compare , si sta misurando la distanza di da zero. Se compare , si misura la distanza di da .
Per esempio, significa . Il numero deve stare entro distanza da .
[IMMAGINE: Retta numerica con il punto a al centro, due punti a-b e a+b evidenziati, tratto colorato tra i due estremi per illustrare |x-a| < b e la distanza sulla retta.]
Questo caso descrive una zona interna. Si cerca tutti i punti per cui la distanza da zero è minore di un limite positivo.
Se , la disequazione equivale a imporre che stia tra e .
Questa equivalenza nasce dal significato di distanza. Se il valore assoluto è minore di , allora il numero si trova dentro l'intervallo centrato in zero.
Si risolve come un'intersezione di due disequazioni. Prima si impone , poi si impone . La soluzione finale è la parte comune.
Per esempio, diventa . Sommando a tutti i membri, si ottiene . Dividendo per , si ricava .
Questo caso descrive una zona esterna. Si cercano i punti la cui distanza da zero supera una soglia positiva.
Se , la disequazione equivale a dire che è fuori dall'intervallo .
Qui compare unione di soluzioni. Il valore assoluto è maggiore di quando il numero è abbastanza a sinistra oppure abbastanza a destra.
Per esempio, significa oppure . Quindi oppure .
Si osserva che il caso non produce quasi mai un intervallo unico. Di solito produce due semirette.
Le versioni con uguale si trattano come i casi precedenti, ma gli estremi entrano nella soluzione. È un dettaglio importante.
L'interpretazione è la stessa del caso minore. Cambia solo il fatto che i punti di bordo appartengono all'insieme soluzione.
Per esempio, diventa . Invece diventa oppure .
La differenza tra e è decisiva. Nel primo caso il bordo resta escluso; nel secondo caso il bordo è incluso.
La lettura geometrica aiuta molto. Un valore assoluto rappresenta una distanza sulla retta numerica.
La disequazione significa che deve stare a meno di unità da . Geometricamente si ottiene un intervallo aperto centrato in .
Per esempio, descrive tutti i numeri compresi tra e . Il centro è e il raggio è .
Si può pensare a una zona tollerata. Tutti i valori troppo lontani dal centro vengono esclusi.
Quando compaiono due moduli, il confronto può diventare un confronto tra distanze.
Se si ha , si confrontano le distanze di due quantità da zero. Poiché i moduli sono non negativi, si può elevare al quadrato senza cambiare il verso.
Questo passaggio è utile perché elimina i moduli. Poi si fattorizza la differenza di quadrati.
Per esempio, diventa . Sviluppando, si ottiene , cioè , quindi .
In molte esercitazioni questo metodo è il più rapido. Si riduce il problema a una disequazione polinomiale.
Quando il modulo compare al denominatore, non basta risolvere la disequazione. Prima si deve imporre che il denominatore sia diverso da zero.
Per esempio, equivale a . Quindi e inoltre .
La presenza del denominatore richiede sempre un controllo in più. Il dominio non si può trascurare.
Il valore assoluto, cioè la distanza di un numero dallo zero, si scrive con le barre verticali. Il simbolo indica il numero considerato.
La formula mostra due casi. Se , il valore assoluto coincide con . Se , cambia segno e diventa .
Si consideri .
Poiché , si usa il secondo caso della definizione.
Il risultato è , cioè la distanza di dallo zero.
La disequazione si traduce in un’intersezione di due condizioni. Il simbolo deve essere positivo.
Si richiede che resti compreso tra e . Geometricamente, il punto deve stare entro distanza da zero.
Si risolva .
Si applica la regola .
La soluzione è l’intervallo . è il centro e è la distanza massima consentita.
La disequazione produce un’unione di soluzioni. Il valore di deve stare fuori dall’intervallo .
Si osserva che il risultato è doppio. Il valore assoluto è maggiore di quando il grafico si trova oltre le due soglie e .
La soluzione è l’unione degli intervalli . è il centro e è il raggio escluso.
Con gli estremi entrano nella soluzione. Si ottiene una fascia chiusa tra e .
Con , la condizione diventa . Questo è il caso limite della disuguaglianza.
Con si includono i punti di frontiera. La soluzione è esterna o coincidente con i due estremi.
Se , la disequazione diventa sempre vera per ogni tale che .
Quando compaiono due valori assoluti, si può elevare al quadrato. L’operazione è lecita perché entrambi i membri sono non negativi.
Si ottiene una disequazione senza modulo. Il passaggio richiede attenzione ai domini delle espressioni e .
[IMMAGINE: Retta numerica con il punto centrale a e due regioni colorate: intervallo interno per |x-a|<b e regioni esterne per |x-a|>b; etichette di distanza b]
La scrittura significa che la distanza tra e è minore di .
Geometricamente, si tratta di tutti i punti interni all’intervallo centrato in e di raggio . Se , l’intervallo è aperto.
[IMMAGINE: Grafico con funzione f(x) e bande orizzontali y=a e y=-a; evidenziare la regione tra le due rette per |f(x)|<a e l’esterno per |f(x)|>a]
Quando il valore assoluto compare al denominatore, si impone prima la condizione di esistenza, cioè il denominatore deve essere diverso da zero.
Si evita il valore al denominatore. Dopo questo controllo, si moltiplica per solo quando è strettamente positivo.
Si consideri .
Prima si richiede . Poi si moltiplica per positivo.
Si ottiene , con esclusione di .
Risolvere la disequazione .
Si riconosce una disequazione con valore assoluto, cioè una condizione di distanza sulla retta numerica.
L’incognita è e si applica il caso con .
Si aggiunge a tutti i membri.
L’insieme soluzione è .
La soluzione è l’intervallo aperto compreso tra -2 e 8.
Errore comune: scrivere solo x<8 e dimenticare il vincolo inferiore.
Risolvere la disequazione .
Si tratta del caso con , quindi si usa l’unione di due condizioni.
Si imposta la doppia alternativa oppure .
Nel primo caso si ottiene , quindi .
Nel secondo caso si ottiene , quindi .
La soluzione è l’unione di due intervalli esterni.
Errore comune: scrivere un intervallo centrale invece dell’unione delle due semirette.
Risolvere e interpretare il risultato geometricamente.
Il valore assoluto rappresenta una distanza, cioè la distanza di dal punto sulla retta reale.
La condizione significa che la distanza da 4 è minore di 2.
Si somma ai tre membri.
Quindi deve appartenere all’intervallo centrale tra 2 e 6.
[IMMAGINE: Retta numerica con il punto 4 evidenziato al centro, il segmento tra 2 e 6 evidenziato in blu, estremi 2 e 6 segnati con cerchi aperti]
Risolvere .
Si tratta di una disequazione con modulo al denominatore, cioè una disequazione in cui il denominatore non può annullarsi.
Poiché è positivo, si può confrontare i reciproci imponendo prima il dominio .
Si risolve quindi la disequazione equivalente .
Si somma ai tre membri e si ottiene .
Il valore è escluso perché annulla il denominatore.
Errore comune: dimenticare il vincolo di esistenza del denominatore.
Risolvere .
Si confrontano due distanze sulla retta reale, cioè la distanza di da 2 e da -1.
Poiché entrambi i membri sono non negativi, si può elevare al quadrato senza cambiare il verso.
Si sviluppano i quadrati: .
Si porta tutto a sinistra e si ottiene .
La soluzione è .
Errore comune: dimenticare che il quadrato conserva il confronto solo perché i due membri sono non negativi.
Si scrive .
Si scrive , con .
L’errore nasce dal considerare solo il lato destro della disuguaglianza. Il valore assoluto misura una distanza e quindi impone due vincoli contemporanei.
Si risolve come una sola disequazione, per esempio .
Si scrive oppure , con .
Qui serve un’unione di casi, non un’intersezione. Il valore assoluto è maggiore di quando la distanza da zero supera la soglia a sinistra o a destra.
Si tratta come se fosse sempre .
Si scrive , con estremi inclusi.
L’uguaglianza cambia il tipo di intervallo. Se il simbolo è inclusivo, anche gli estremi devono restare inclusi nella soluzione.
Si elimina il modulo al denominatore senza studiare il segno, ad esempio viene trattato come .
Si impone prima e poi si studia il segno dell’espressione al denominatore.
Il modulo al denominatore non si può semplificare in modo diretto. Prima si controllano il dominio e i punti in cui il denominatore si annulla.
Si interpreta come .
Si interpreta come distanza di da minore di , cioè , con .
Geometricamente si parla di distanza sulla retta numerica. L’errore nasce dal dimenticare il significato di distanza, cioè un valore sempre non negativo.
Si risolve con le regole di .
Si porta tutto a confronto e, quando possibile, si eleva al quadrato: .
Qui i due membri sono entrambi in valore assoluto. Serve trasformare il confronto in una disequazione algebrica, verificando le condizioni del dominio.
Si risolvono separando i casi del valore assoluto, cioè distinguendo il segno dell’espressione interna.
Prima si individua dove l’espressione dentro il modulo è non negativa, poi dove è negativa.
Si ha l’intervallo doppio quando , cioè il valore interno resta tra i due estremi.
La disequazione diventa una intersezione di due condizioni contemporanee.
Si trasforma in un’unione di due casi, cioè valori interni minori di oppure maggiori di .
La condizione richiede che il modulo superi la soglia , con .
Si impone prima che il denominatore sia diverso da zero, perché il modulo al denominatore non può annullarsi.
Poi si studia il segno del denominatore e si risolve la disequazione corrispondente nei vari intervalli.
Significa che la distanza tra e è minore di , cioè i punti stanno in un intervallo centrato in .
Sul grafico della retta numerica, la soluzione è l’intervallo aperto quando .
Cambia solo l’inclusione degli estremi, cioè si aggiungono i casi di uguaglianza.
Per si ottiene , mentre per si ottiene oppure .
Si eleva al quadrato, cioè si confrontano i quadrati delle due quantità non negative.
Poiché i moduli sono sempre maggiori o uguali a zero, il confronto mantiene il verso dopo il quadrato.
