Nella relatività ristretta, cioè la teoria di Einstein per i sistemi inerziali, il tempo e le lunghezze dipendono dallo stato di moto dell’osservatore. Un orologio in moto misura un intervallo più lungo, mentre una lunghezza misurata lungo il moto risulta più corta.
| Grandezza | Simbolo | Formula | Unità SI |
|---|---|---|---|
| Fattore di Lorentz | adimensionale | ||
| Tempo proprio | è il tempo misurato nel sistema solidale con l’orologio | s | |
| Tempo dilatato | s | ||
| Lunghezza propria | è la lunghezza misurata nel sistema in cui il corpo è fermo | m | |
| Lunghezza contratta | m | ||
| Velocità della luce | è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali | ||
| Velocità relativa | Determina quanto sono forti gli effetti relativistici | ||
| Regime non relativistico | , quindi dilatazione e contrazione sono trascurabili | adimensionale |
La relatività ristretta, cioè la teoria che descrive spazio e tempo quando le velocità sono comparabili con quella della luce, nasce per risolvere un problema preciso: la luce deve avere la stessa velocità in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Un sistema di riferimento inerziale, cioè un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme, è il contesto in cui si confrontano misure fatte da osservatori diversi.
Se si mantenesse valida l’idea classica di tempo assoluto, la velocità della luce cambierebbe da un osservatore all’altro. Questo contraddirebbe gli esperimenti.
Per esempio, la luce percorre circa metri in un secondo. Se due osservatori si muovono l’uno rispetto all’altro, ciascuno misura comunque la stessa velocità per la luce.
Il fattore di Lorentz, cioè il numero che quantifica quanto sono forti gli effetti relativistici, si indica con e dipende dalla velocità relativa rispetto a .
Questa formula mostra che . Quando , si ottiene .
Per esempio, se , allora .
Il valore di cresce quando si avvicina a . Questo indica che gli effetti relativistici diventano sempre più importanti.
La dilatazione dei tempi, cioè l’aumento dell’intervallo di tempo misurato da un osservatore rispetto a quello proprio del fenomeno, descrive il fatto che un orologio in moto scorre più lentamente.
Il tempo proprio, cioè l’intervallo misurato nel sistema in cui i due eventi avvengono nello stesso punto, è il tempo più corto tra i due.
Qui è il tempo proprio e è il tempo dilatato misurato dall’osservatore rispetto al quale l’orologio è in moto.
Per esempio, se un processo dura e il moto corrisponde a , allora .
Si consideri un orologio che, nel proprio sistema, misura un intervallo di 1,0 s.
Si assume .
L’intervallo osservato è maggiore del tempo proprio. L’orologio in moto appare più lento.
La contrazione delle lunghezze, cioè la diminuzione della lunghezza misurata lungo la direzione del moto, riguarda solo le misure parallele al moto relativo.
La lunghezza propria, cioè la lunghezza misurata nel sistema in cui il corpo è fermo, è la lunghezza massima.
Qui è la lunghezza propria e è la lunghezza misurata da chi vede il corpo in moto.
Per esempio, se e , allora .
La contrazione non riguarda l’altezza o la larghezza trasversale al moto. Riguarda solo la direzione del moto.
La simultaneità relativa, cioè il fatto che due eventi contemporanei in un sistema possano non esserlo in un altro, è una conseguenza diretta della relatività del tempo.
In relatività ristretta non esiste un “adesso” universale valido per tutti gli osservatori in moto relativo.
Questa relazione mostra che la differenza di tempo dipende anche dalla separazione spaziale . Se , allora eventi simultanei in un sistema possono avere in un altro.
Per esempio, se , e , si ottiene una differenza temporale non nulla in un altro sistema.
[IMMAGINE: Diagramma spazio-tempo con due sistemi inerziali S e S', assi ct e x, due eventi A e B, linee di simultaneità diverse nei due sistemi, freccia del moto v, orologio in moto e orologio a riposo, etichette di Δt0, Δt e L0.]
Il paradosso dei gemelli, cioè il confronto tra due gemelli in cui uno viaggia a velocità relativistica e poi torna indietro, mostra che il gemello in viaggio invecchia meno.
Non si tratta di un vero paradosso. Il motivo è che il gemello viaggiatore cambia sistema di riferimento durante il viaggio.
Il tempo proprio lungo la traiettoria del viaggiatore risulta minore. Per questo il suo orologio accumula meno tempo.
Per esempio, se un tratto del viaggio dura nel sistema esterno e si viaggia con , il tempo proprio accumulato è minore del tempo esterno.
Gli effetti relativistici sono significativi quando non è molto più piccola di . In questo caso si discosta sensibilmente da 1.
Nel limite non relativistico, cioè quando , si ha . Le formule relativistiche diventano quasi indistinguibili da quelle classiche.
Per esempio, con , si ottiene un effetto molto piccolo. Con , invece, l’effetto diventa forte e non trascurabile.
La dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze descrivono quindi la stessa idea fisica: spazio e tempo non sono indipendenti quando la velocità è elevata.
Una verifica rapida consiste nel ricordare questo criterio: se le velocità sono molto minori di , si usano le approssimazioni classiche; se no, si usano le relazioni relativistiche.
Il fattore di Lorentz, cioè il numero che misura la forza degli effetti relativistici, si definisce a partire dalla velocità relativa .
Qui è senza unità di misura, si misura in e è la velocità della luce nel vuoto, cioè circa .
Si consideri un moto con .
Il valore indica effetti relativistici già apprezzabili.
La dilatazione dei tempi, cioè l'aumento dell'intervallo di tempo misurato in un sistema in moto rispetto al tempo proprio, si esprime con questa relazione.
Il simbolo è il , mentre è il tempo proprio, cioè l'intervallo misurato dall'orologio che si muove con il fenomeno.
Si consideri un intervallo proprio e .
L'orologio in moto segna quindi un intervallo più lungo.
La contrazione delle lunghezze, cioè la diminuzione della lunghezza misurata lungo la direzione del moto, è descritta da questa formula.
Qui è la lunghezza propria, cioè la lunghezza misurata nel sistema in cui il corpo è fermo.
Si consideri una sbarra con e .
La lunghezza misurata lungo il moto risulta minore.
La simultaneità relativa, cioè il fatto che due eventi simultanei in un sistema possono non esserlo in un altro, dipende dal sistema di riferimento.
In questa relazione è la separazione spaziale, mentre è l'intervallo temporale nel sistema in moto.
Si considerino due eventi con e , per .
I due eventi non sono simultanei nel sistema in moto.
Nel limite non relativistico, cioè quando , si ottiene e gli effetti relativistici diventano trascurabili.
Questa approssimazione mostra che le correzioni crescono con e diventano importanti solo ad alte velocità.
Determinare il tempo dilatato di un processo con = 2,0 s nel sistema proprio, se il laboratorio si muove a .
[IMMAGINE: Due sistemi di riferimento inerziali. A sinistra un laboratorio fermo con un orologio. A destra lo stesso laboratorio in moto con frecce di velocità v = 0,60c. Indicare Δt0 e Δt sul disegno.]
Dati: si conoscono e . Si cerca , cioè il tempo misurato nel sistema in moto.
Metodo: si usa la relazione della dilatazione dei tempi, cioè . Il fattore di Lorentz dipende da e aumenta con la velocità.
Si calcola quindi . Il processo dura di più per l’osservatore esterno.
Il risultato finale è 2,5 s. Il moto fa scorrere più lentamente l’orologio osservato.
Errore comune: invertire il ruolo di e . Il tempo proprio è sempre il minore.
Controllo fisico: poiché , si ottiene , quindi il tempo dilatato deve essere maggiore del tempo proprio.
Calcolare la lunghezza misurata di un'astronave lunga nel sistema proprio, quando si muove a .
[IMMAGINE: Astronave in moto lungo l'asse x. Indicare la lunghezza propria L0 nel sistema dell'astronave e la lunghezza contratta L nel sistema del laboratorio. Mostrare la direzione del moto.]
Dati: si conoscono e . Si cerca , cioè la lunghezza misurata dal laboratorio.
Metodo: si applica la contrazione delle lunghezze, cioè . La contrazione riguarda solo la direzione del moto.
Si ricava . Il corpo in moto risulta più corto lungo la direzione del moto.
Il risultato finale è 72 m. La dimensione trasversale non cambia in questo modello.
Errore comune: applicare la contrazione a tutte le dimensioni del corpo. La contrazione vale solo lungo la direzione del moto.
Verifica: poiché , il valore di deve essere minore di .
Stabilire se due lampi separati da in un sistema restano simultanei in un altro sistema che si muove a .
[IMMAGINE: Due lampi su una piattaforma e un osservatore in moto. Disegnare due sistemi inerziali con assi temporali diversi, eventi A e B, e indicare che la simultaneità dipende dal sistema.]
Dati: si considerano due eventi con separazione temporale nel primo sistema. Si cerca la loro simultaneità nel secondo sistema.
Metodo: si richiama la simultaneità relativa, cioè il fatto che eventi simultanei in un sistema possono non esserlo in un altro. Si controlla anche il ruolo di .
Un intervallo temporale osservato in moto si trasforma secondo . Se , allora il tempo osservato cresce.
Si ottiene . I due eventi non risultano simultanei nel sistema in moto.
Il risultato finale è non simultanei. La simultaneità dipende dal sistema di riferimento.
Errore comune: pensare che la simultaneità sia assoluta. In relatività ristretta essa non è universale.
Osservazione: se , allora , e la differenza tra i sistemi diventa trascurabile.
Confrontare il tempo di viaggio di un gemello che percorre un tratto a per , e verificare il limite per velocità piccole.
[IMMAGINE: Schema del paradosso dei gemelli. Un gemello resta sulla Terra, l'altro viaggia e torna. Indicare il tratto di andata e ritorno, i due orologi e la differenza di età finale.]
Dati: si assume che sia il tempo proprio del viaggiatore nel tratto considerato. Si cerca il tempo misurato sulla Terra.
Metodo: si usa ancora . Il fattore di Lorentz permette di quantificare il ritardo dell’orologio in moto.
Si ottiene . Il gemello in moto invecchia meno nel tratto osservato.
Il risultato finale è 12,5 anni. Nel paradosso completo, la differenza finale nasce anche dalle inversioni di moto.
Errore comune: trattare il paradosso dei gemelli come un problema simmetrico in ogni fase. Il cambio di sistema rompe la simmetria.
Limite non-relativistico: se , allora , e i due tempi coincidono quasi perfettamente.
Si scrive che il tempo dell’orologio in moto scorre più velocemente.
La dilatazione dei tempi afferma che il tempo misurato nel sistema in cui l’orologio è in moto risulta più lungo: .
L’errore nasce dal confondere il punto di vista dell’osservatore con quello dell’orologio. Si ricordi che l’orologio in moto misura il proprio intervallo più breve, cioè il tempo proprio.
Si usa la contrazione delle lunghezze in tutte le direzioni del corpo.
La contrazione riguarda solo la direzione del moto: . Le dimensioni perpendicolari al moto non cambiano.
L’errore nasce dal trattare la contrazione come una riduzione uniforme. In relatività ristretta, la geometria dipende dalla direzione del moto rispetto alla misura effettuata.
Si dice che il tempo proprio è il tempo misurato da un osservatore esterno fermo rispetto all’evento.
Il tempo proprio è l’intervallo misurato nel sistema in cui gli eventi avvengono nello stesso punto, cioè nel sistema solidale con l’orologio.
Il termine genera confusione perché sembra indicare un tempo “più vero” in assoluto. In realtà è il tempo misurato dall’orologio che accompagna il fenomeno.
Si interpreta il fattore di Lorentz come una costante universale uguale a 1.
Il fattore di Lorentz è e dipende dalla velocità . Inoltre vale sempre .
L’errore nasce dal dimenticare che la relatività introduce un fattore variabile con il moto relativo. Quando aumenta, anche gli effetti relativistici aumentano.
Si pensa che gli effetti relativistici siano importanti solo quando .
Gli effetti diventano significativi già quando non è trascurabile rispetto a , cioè quando non è più una buona approssimazione.
Questo errore porta a sottovalutare fenomeni osservabili anche a velocità molto minori di . In pratica, la relatività si nota quando la frazione non è piccola.
Si credono simultanei in tutti i sistemi due eventi simultanei in un solo sistema inerziale.
La simultaneità è relativa: eventi simultanei in un sistema di riferimento possono non esserlo in un altro.
L’errore nasce dall’applicare l’esperienza quotidiana, valida circa per , a situazioni relativistiche. La sincronizzazione degli orologi cambia con il sistema di riferimento.
La dilatazione dei tempi è l’effetto per cui un intervallo di tempo misurato in moto risulta più lungo di quello proprio.
Per esempio, se = 2,0 s e = 3, l’intervallo misurato dall’osservatore è = 6,0 s.
La contrazione delle lunghezze è l’effetto per cui un corpo in moto appare più corto lungo la direzione del moto.
Per esempio, se = 10 m e = 2, la lunghezza misurata è = 5 m.
Il tempo proprio è l’intervallo misurato dall’orologio che si trova fermo rispetto agli eventi considerati.
Per esempio, se un orologio a bordo di un’astronave segna 4 s tra due eventi, quel valore è il tempo proprio degli eventi sull’astronave.
Il fattore di Lorentz è il numero che misura quanto sono forti gli effetti relativistici.
Per esempio, se = 0,80 , si ottiene \approx 1,67.
Gli effetti relativistici sono significativi quando la velocità è confrontabile con quella della luce.
Per esempio, a = 0,1 , il fattore di Lorentz vale circa 1,005, quindi gli effetti sono piccoli ma già misurabili.
La simultaneità è relativa, cioè due eventi simultanei in un sistema di riferimento possono non esserlo in un altro in moto relativo.
Per esempio, se = 0 ma ≠ 0, allora in generale non è nullo.
Il paradosso dei gemelli è un confronto tra due gemelli in cui quello che viaggia ad alta velocità invecchia meno.
Non c’è vera contraddizione, perché il gemello viaggiatore cambia sistema di riferimento durante il moto.
Per esempio, se uno resta sulla Terra e l’altro compie un viaggio relativistico, al ritorno il viaggiatore può aver accumulato meno tempo proprio.
