La varianza e la deviazione standard misurano la dispersione dei dati attorno alla media. La varianza è la media degli scarti al quadrato; la deviazione standard è la sua radice quadrata.
| Formula / proprietà | Significato | Condizioni / note |
|---|---|---|
| (x_i-\bar{x}) | Scarto dalla media | Misura quanto ogni dato si allontana da |
| Varianza | Media degli scarti al quadrato; descrive la dispersione | |
| Deviazione standard | Radice quadrata della varianza; ha la stessa unità dei dati | |
| Media aritmetica | Serve per calcolare scarti, varianza e deviazione standard | |
| Numero dei dati | Si usa la formula per popolazioni; per campioni si applicano varianti | |
| grande | Dispersione elevata | I dati sono più lontani dalla media |
| piccolo | Dispersione ridotta | I dati sono più vicini alla media |
La dispersione, cioè quanto i dati si allontanano tra loro e dalla media, serve per descrivere la variabilità di un insieme di valori.
La media da sola indica il centro dei dati. Non dice però se i valori sono molto vicini al centro oppure molto sparsi.
Si immagini una classe con media uguale a in due verifiche. In un caso tutti prendono tra e . In un altro caso metà classe prende e metà prende . La media è uguale, ma la situazione non è la stessa.
La varianza e la deviazione standard servono proprio a misurare questa differenza di distribuzione.
La varianza, cioè la media degli scarti quadratici dalla media, misura la dispersione con numeri al quadrato.
La deviazione standard, cioè la radice quadrata della varianza, riporta la misura nella stessa unità dei dati.
Per esempio, se la varianza vale , la deviazione standard vale . Se la varianza vale , la deviazione standard vale .
Lo scarto dalla media, cioè la differenza tra un dato e la media, indica quanto quel dato si allontana dal centro.
Per un dato e per la media , lo scarto si scrive .
Se i dati sono , , , la media è . Gli scarti sono , , .
Gli scarti positivi e negativi si compensano. Per questo la loro somma non descrive bene la dispersione.
Per ottenere una misura utile, si considerano gli scarti al quadrato. In questo modo i segni spariscono e gli allontanamenti pesano di più.
Con gli stessi dati, gli scarti quadratici sono , , . La somma è .
[IMMAGINE: Diagramma su asse numerico con i punti 2, 4, 6, la media 4 evidenziata al centro, frecce che mostrano gli scarti -2, 0, +2 e, sotto, i quadrati 4, 0, 4.]
La varianza è la media degli scarti al quadrato rispetto alla media.
Essa descrive quanto un insieme di dati è compatto oppure disperso attorno al valore medio.
Per esempio, se gli scarti quadratici sono , , , la loro media vale . Quindi la varianza è .
Se gli scarti quadratici fossero , , , la varianza sarebbe . Questo mostra una dispersione più piccola.
La varianza è sempre non negativa, perché si sommano quadrati.
Si osservi che la varianza non è ancora espressa nella stessa unità dei dati originali. Per questo si introduce la deviazione standard.
La deviazione standard è la radice quadrata della varianza.
Essa misura la dispersione con la stessa unità dei dati. Per questo è più immediata da interpretare.
Se la varianza vale , la deviazione standard vale . Se la varianza vale , la deviazione standard vale .
La deviazione standard è sempre maggiore o uguale a . Vale solo quando tutti i dati coincidono con la media.
Questo valore è utile perché si confronta direttamente con i dati osservati.
Per esempio, se la varianza è , allora la deviazione standard è circa .
Si considera il dataset . L'obiettivo è calcolare prima la media, poi la varianza e infine la deviazione standard.
Si calcola la media dei dati.
La media vale .
Si calcolano gli scarti dalla media.
Gli scarti mostrano quanto ogni valore si allontana da .
Si elevano al quadrato gli scarti.
La somma dei quadrati è .
Si divide per il numero dei dati.
La varianza vale .
Si estrae infine la radice quadrata.
La deviazione standard vale .
Il risultato indica che i dati si dispongono, in media, a circa unità dalla media.
Questo esempio mostra il procedimento completo. La media fissa il centro, gli scarti misurano gli allontanamenti, i quadrati eliminano i segni, la radice riporta l'unità originale.
La differenza principale è nella scala di misura. La varianza usa i quadrati, mentre la deviazione standard torna all'unità originale.
La varianza è più utile nei calcoli teorici. La deviazione standard è più utile nell'interpretazione pratica dei dati.
Se la varianza è , la deviazione standard è . Il numero è più immediato da leggere rispetto a .
Si può quindi dire che la deviazione standard è la forma più interpretabile della varianza.
In sintesi, entrambe descrivono la dispersione, ma lo fanno con linguaggi diversi.
A livello di lettura dei dati, la deviazione standard è spesso il numero più utile.
La deviazione standard serve a capire se i dati sono affidabili, omogenei o molto variabili.
In statistica scolastica, può descrivere voti, tempi di corsa, misure sperimentali o errori di rilevazione.
Se due gruppi hanno la stessa media, quello con deviazione standard minore è più concentrato attorno al valore medio.
Per esempio, due classi hanno media . Se una classe ha deviazione standard e l'altra , la prima è più omogenea.
Nelle scienze sperimentali, una deviazione standard piccola indica misure più concentrate. Una deviazione standard grande indica misure più disperse.
La formula della varianza, quindi, non è solo un calcolo. È uno strumento per leggere la qualità e la stabilità dei dati.
Per questa ragione, la deviazione standard compare spesso nei grafici, nei report statistici e nelle analisi dei risultati.
La varianza, cioè la misura media degli scarti al quadrato dei dati dalla media, descrive quanto i valori risultano dispersi.
Si indica con il generico dato, con la media aritmetica, cioè la somma dei dati divisa per .
La formula usa gli scarti, cioè le differenze tra ogni dato e la media, e li eleva al quadrato per evitare cancellazioni tra valori positivi e negativi.
Si consideri il dataset .
La media vale , quindi gli scarti sono .
Il risultato esprime la dispersione media quadratica dei dati. L'unità di misura della varianza è il quadrato dell'unità dei dati originali.
La deviazione standard, cioè la radice quadrata della varianza, riporta la dispersione nella stessa unità dei dati osservati.
Si indica anche come scarto quadratico medio, perché misura uno scarto medio reso confrontabile con i dati iniziali.
Si parte dalla varianza calcolata prima, pari a .
Si ottiene .
Il valore indica una dispersione tipica di circa unità rispetto alla media.
La differenza tra varianza e deviazione standard è essenziale: la prima è in unità al quadrato, la seconda è nella stessa unità dei dati.
Per un insieme di misure in , la varianza si esprime in , mentre la deviazione standard si esprime in .
Le due scritture sono equivalenti. La seconda mette in evidenza che la deviazione standard si calcola partendo direttamente dagli scarti al quadrato.
Con gli stessi dati , si calcola prima la somma degli scarti al quadrato.
La somma vale , quindi la varianza è .
La deviazione standard è , quindi la dispersione tipica è poco più di due unità.
La varianza serve a costruire indici di dispersione e a confrontare distribuzioni diverse. La deviazione standard è più leggibile, perché mantiene la stessa scala dei dati.
Nelle applicazioni statistiche si usa spesso la deviazione standard, perché un valore come si interpreta con immediatezza rispetto alla media.
Si consideri la serie di dati . Si calcolano media, scarti dalla media e varianza.
I dati sono pochi e ordinati. L’incognita è la varianza, cioè la media degli scarti al quadrato rispetto alla media.
Il metodo consiste in tre passi. Prima si calcola la media. Poi si trovano gli scarti. Infine si fa la media dei quadrati.
La media vale = .
Gli scarti sono , , , .
Il risultato finale è la varianza uguale a .
Errore comune: dimenticare di elevare al quadrato gli scarti prima di fare la media.
Si sappia che la varianza di un insieme di dati è . Si calcoli la deviazione standard.
La quantità cercata è la deviazione standard, cioè la radice quadrata della varianza.
Il metodo è immediato. Si prende la varianza e si estrae la radice quadrata.
Sostituendo si ottiene .
Il risultato finale è . La deviazione standard misura la dispersione nella stessa unità dei dati.
Errore comune: confondere la deviazione standard con la varianza e lasciare il risultato al quadrato.
Si confrontino i due insiemi e . Si vuole capire quale sia più disperso.
L’obiettivo è confrontare la dispersione. La misura adatta è la deviazione standard, perché descrive quanto i dati si allontanano dalla media.
Nel gruppo tutti i valori coincidono con la media . Quindi tutti gli scarti sono nulli.
Nel gruppo la media vale , e gli scarti non sono nulli. La dispersione è quindi maggiore.
Il risultato finale è che B è più disperso di A.
Errore comune: confrontare solo le medie e non la variabilità dei dati.
Si consideri il numero di libri letti in un mese da quattro studenti: . Si interpreta la dispersione dei dati.
L’analisi richiede prima la media e poi la deviazione standard, detta anche scarto quadratico medio, cioè la radice della varianza.
La media è .
Gli scarti sono , e i loro quadrati sono .
Il risultato finale è una deviazione standard pari a . I dati sono abbastanza concentrati intorno alla media.
Errore comune: dire che la deviazione standard è una media semplice degli scarti, senza il passaggio ai quadrati.
La deviazione standard è la media dei dati.
La deviazione standard è la radice quadrata della varianza.
L’errore nasce perché si confonde una misura di posizione con una misura di dispersione. La deviazione standard indica quanto i dati si allontanano dalla media, non il valore medio del campione.
Varianza e deviazione standard sono la stessa cosa.
La varianza è la media degli scarti al quadrato, mentre la deviazione standard è la sua radice quadrata.
Le due misure sono collegate, ma non coincidono. La varianza ha unità al quadrato, mentre la deviazione standard ha la stessa unità dei dati.
Per la varianza si calcola .
Per la varianza si calcola .
Si dimentica spesso il quadrato degli scarti. Senza il quadrato, gli scarti positivi e negativi si annullano e la dispersione non viene misurata correttamente.
Per la deviazione standard basta fare la media degli scarti assoluti.
Per la deviazione standard si calcola prima la varianza e poi si estrae la radice quadrata: .
La media degli scarti assoluti è un’altra misura, ma non è la deviazione standard. Qui si usano gli scarti quadrati proprio per evitare cancellazioni tra valori positivi e negativi.
La deviazione standard serve a trovare il valore più frequente dei dati.
La deviazione standard serve a misurare la dispersione dei dati intorno alla media.
Questa confusione nasce con la moda, cioè il valore più frequente. Lo scarto quadratico medio risponde invece alla domanda su quanto i dati siano concentrati o sparsi.
Se la varianza è grande, anche la deviazione standard cresce della stessa quantità numerica.
Se la varianza raddoppia, la deviazione standard non raddoppia: cresce con la radice quadrata.
Si dimentica che la deviazione standard è una radice. Per esempio, se la varianza passa da a , la deviazione standard passa da a .
La deviazione standard, cioè lo scarto quadratico medio, misura quanto i dati si allontanano dalla media.
Si calcola prima la varianza e poi se ne prende la radice quadrata.
La varianza misura la dispersione con gli scarti al quadrato, mentre la deviazione standard la esprime nella stessa unità dei dati.
La varianza usa i quadrati per evitare che scarti positivi e negativi si annullino.
La deviazione standard serve a capire se i dati sono concentrati vicino alla media oppure molto dispersi.
È utile per confrontare serie di dati, valutare la variabilità e interpretare misure sperimentali.
Per esempio, con media 10 e deviazione standard 2, molti valori si trovano spesso tra 8 e 12.
La formula della varianza è la media degli scarti al quadrato rispetto alla media.
Si calcola prima la media, poi gli scarti dalla media, poi i quadrati degli scarti, infine la radice quadrata della varianza.
Per esempio, con i dati 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 si ottiene media 5 e varianza 4.
Lo scarto quadratico medio è un altro nome della deviazione standard.
Indica la distanza tipica dei valori dalla media, dopo aver annullato i segni tramite il quadrato.
Per esempio, se la varianza è 9, allora lo scarto quadratico medio è 3.
