Un sistema di coordinate polari, cioè un modo di individuare un punto tramite distanza e angolo, usa un polo O e un asse polare. Ogni punto si descrive con la coppia , dove è la distanza dal polo e è l'angolo orientato.
| Elemento | Proprietà | Formula |
|---|---|---|
| Polo e asse polare | Il polo è l’origine del sistema. L’asse polare è il semiasse da cui si misura l’angolo. | — |
| Coppia polare | Un punto si descrive con la distanza dal polo e con l’angolo orientato. | |
| Da polari a cartesiane | Si ottengono le coordinate cartesiane proiettando il raggio sugli assi. | , |
| Da cartesiane a polari | Si calcola prima la distanza dal polo, poi l’angolo rispetto all’asse polare. | , |
| Cerchio | In coordinate polari un cerchio con centro nel polo ha raggio costante. | |
| Retta | Alcune rette passanti per il polo o con angolo fissato hanno equazione semplice in polari. | oppure forme algebriche in e |
| Spirale di Archimede | La distanza dal polo cresce in modo lineare con l’angolo. | |
| Cardioide | È una curva a forma di cuore, tipica delle equazioni trigonometriche in polari. | oppure |
Le coordinate polari sono un modo diverso di descrivere i punti del piano. Si usa una distanza dal polo e un angolo rispetto all’asse polare.
L’idea nasce perché alcuni problemi geometrici diventano più semplici quando si ragiona con la distanza dal centro e con la direzione. Pensala come una mappa con un punto di partenza e una rotazione.
Il polo cioè il punto di origine del sistema, si indica con . L’asse polare cioè la semiretta di riferimento, fissa da dove si misura l’angolo .
Per esempio, il punto significa che il punto si trova a distanza dal polo e forma un angolo di radianti con l’asse polare.
La conversione serve perché il piano cartesiano permette di leggere subito ascissa e ordinata. Si scompone quindi il raggio in due proiezioni ortogonali.
Se un punto ha coordinate polari , allora la sua ascissa è e la sua ordinata è .
Per esempio, se e , allora .
Nello stesso esempio, si ha . Il punto cartesiano è quindi .
Si consideri il punto P(6, \pi/2).
Il punto cartesiano è quindi .
La conversione inversa serve quando un punto è dato da e . Si cerca prima la distanza dal polo e poi l’angolo.
Per esempio, per il punto si ottiene .
Per lo stesso punto, si ha . L’angolo si sceglie nel quadrante corretto.
Il quadrante è importante perché la funzione da sola restituisce un angolo principale. Si controllano i segni di e per individuare la posizione corretta.
Si consideri il punto A(−4, 4).
Poiché il punto è nel secondo quadrante, l’angolo corretto è .
La stessa posizione nel piano può avere più descrizioni polari. Si osserva infatti che cambiare angolo di un giro completo non modifica il punto.
Per esempio, e rappresentano lo stesso punto.
Anche un raggio negativo è possibile come rappresentazione equivalente. Per esempio, coincide con .
Molte curve si descrivono in modo naturale in forma polare. Questo è utile quando la figura dipende soprattutto dalla distanza dal centro o dalla rotazione.
Se con costante, si ottiene un cerchio di centro il polo e raggio . Per esempio, descrive un cerchio di raggio .
Forme di questo tipo descrivono curve legate all’asse polare. Per esempio, genera una curva circolare nel piano.
La spirale di Archimede cioè una curva che si allontana dal polo mentre l’angolo cresce, si scrive .
La cardioide cioè una curva a forma di cuore, ha un’equazione tipica del tipo .
Per tracciare una curva polare, si scelgono diversi valori di e si calcola il corrispondente . Poi si posizionano i punti nel piano.
Per esempio, con si ottengono valori positivi e nulli di , quindi la curva resta vicina al polo su un lato dell’asse.
[IMMAGINE: Piano polare con polo O, asse polare orizzontale verso destra, raggio OP, angolo θ evidenziato; a fianco piano cartesiano con lo stesso punto P etichettato con x = r cosθ e y = r sinθ; includere un cerchio r = 3, una spirale di Archimede r = θ e una cardioide r = 1 - cosθ in mini-grafici separati]
Queste relazioni trasformano una coppia polare, cioè , in una coppia cartesiana, cioè .
Il raggio vettore, cioè la distanza del punto dal polo, si misura in unità di lunghezza. L'angolo si misura in radianti oppure in gradi.
Si consideri il punto di coordinate polari .
Il punto in coordinate cartesiane è quindi .
Queste formule permettono il passaggio inverso dalle cartesiane, cioè da alle polari .
Si osserva che non è sempre unico, perché angoli che differiscono di descrivono la stessa direzione.
Si consideri il punto .
Si calcola poi .
Le coordinate polari risultano .
L'equazione rappresenta una circonferenza di centro nel polo e raggio pari alla costante.
Per esempio, se , il luogo dei punti è il cerchio di raggio e centro nel polo.
Queste forme producono rette in coordinate cartesiane, perché sostituendo e si ottengono equazioni lineari.
Si consideri .
L'equazione cartesiana è quella di una circonferenza, cioè una curva ottenuta dalla forma polare data.
Questo mostra che la stessa equazione polare può descrivere curve diverse dopo la conversione.
La spirale di Archimede, cioè una curva che si allontana dal polo in modo proporzionale all'angolo, è descritta da .
Il parametro ha unità di misura pari a lunghezza per radiante, quindi in pratica ha dimensione di lunghezza.
Si ponga e .
Il punto si trova a distanza dal polo, quindi la spirale continua ad avvolgersi mentre cresce.
La cardioide, cioè una curva a forma di cuore con cuspide nel polo, ha spesso questa equazione polare.
Se , la curva ha una dimensione caratteristica pari a unità di lunghezza.
Si valutano alcuni valori di .
Con , si ottiene e poi .
Il grafico mostra una cuspide nel polo e una massima distanza pari a .
Determinare le coordinate polari del punto .
Si conoscono le coordinate cartesiane e . Si cercano e .
Si usa la relazione . Con i dati assegnati si ottiene .
Per l'angolo si considera . In questo caso , quindi si ha .
Il punto in coordinate polari è .
Errore comune: dimenticare che l'angolo va espresso rispetto all'asse polare scelto.
Convertire il punto di coordinate polari in coordinate cartesiane.
Si conoscono e . Si cercano e .
Si applicano le formule e .
Le coordinate cartesiane sono .
Errore comune: invertire seno e coseno nelle formule di conversione.
Studiare la curva di equazione polare .
[IMMAGINE: Sistema di assi con polo O, asse polare orizzontale, cerchio di raggio 5 centrato nell'origine, punti marcati sulla circonferenza e label r=5]
Si osserva che è costante. Questo significa che la distanza dal polo non cambia mai.
Per ogni angolo , il punto resta alla distanza dall'origine.
La curva è quindi una circonferenza di centro nell'origine e raggio 5.
Errore comune: credere che un'equazione con r costante rappresenti una retta.
Analizzare la curva polare .
[IMMAGINE: Piano polare con cardioide aperta verso destra, asse polare evidenziato, cuspide nell'origine, punti notevoli per θ=0, π/2, π, 3π/2]
Si studiano alcuni valori notevoli di . Per si ha .
Per si ottiene , quindi la curva passa per il polo.
La presenza del punto indica la cuspide della cardioide.
Il grafico risulta una cardioide simmetrica rispetto all'asse polare.
Errore comune: fermarsi a un solo valore di \theta e non studiare punti significativi della curva.
Interpretare la curva per .
Si tratta di una relazione in cui il raggio aumenta con l'angolo. La distanza dal polo cresce in modo regolare.
Si calcolano alcuni punti guida: per si ha , per si ha , per si ha .
Questi punti mostrano che la curva si avvolge attorno al polo allontanandosi progressivamente.
La curva è una spirale di Archimede.
Errore comune: pensare che tutte le curve polari siano chiuse come i cerchi.
Si pensa che una coppia polare sia sempre unica.
Lo stesso punto può avere più rappresentazioni, come e .
Nelle coordinate polari, cioè in un sistema che descrive un punto con distanza dal polo e angolo, la periodicità dell'angolo crea più scritture. Si deve controllare anche l’eventuale segno negativo di .
Si usa sempre senza verificare il quadrante.
Si determina prima il quadrante e poi si sceglie l’angolo corretto, spesso usando anche il segno di e .
La funzione arctan restituisce valori limitati, cioè non distingue da sola tutti i quadranti. L’errore si evita controllando il segno delle coordinate cartesiane e, se serve, aggiungendo .
Si scrive e .
Si usa e .
La formula dipende dalla definizione dell’asse polare, cioè l’asse di riferimento da cui si misura l’angolo. Invertire seno e coseno ruota il punto in modo errato.
Si calcola come .
Si calcola .
Il raggio polare, cioè la distanza del punto dal polo, si ottiene con il teorema di Pitagora. La somma non rappresenta una distanza e può anche essere negativa.
Si pensa che le coordinate polari siano utili solo per i cerchi.
Si usano soprattutto per curve con simmetria rispetto al polo o all’asse polare, come spirali, cardioidi e alcune rette.
Le coordinate polari, cioè un modo di descrivere i punti tramite raggio e angolo, semplificano molte curve non comode in cartesiane. Sono particolarmente efficaci quando la relazione tra e è semplice.
Si legge una retta in polari come se fosse sempre .
Una retta può avere forme diverse, ad esempio oppure un’equazione che lega e .
In polari, cioè nel piano descritto da raggio e angolo, non tutte le rette hanno la stessa forma. Si deve distinguere tra rette passanti per il polo e rette generiche.
Un sistema di coordinate polari, cioè un modo per individuare un punto tramite distanza e angolo, usa la coppia invece di .
Il punto è descritto dal raggio , cioè la distanza dal polo, e dall'angolo , cioè l'angolo misurato sull'asse polare.
Per esempio, il punto con e è un punto posto a distanza 5 dal polo e ruotato di 30°.
La conversione da cartesiane a polari, cioè il passaggio da a , si fa calcolando prima la distanza dal polo e poi l'angolo.
Per esempio, per e si ottiene e un angolo compatibile con il punto nel primo quadrante.
La conversione da polari a cartesiane, cioè il passaggio da a , si ottiene proiettando il raggio sugli assi.
Per esempio, se e , si ha e .
Le coordinate polari si usano quando la figura o l'equazione dipendono in modo naturale dalla distanza dal centro o dall'angolo.
Sono utili per cerchi, spirali, cardioidi e per problemi con simmetria rispetto a un punto.
Si usano anche quando una curva è più semplice da scrivere in funzione di e che in funzione di e .
Un'equazione in coordinate polari, cioè una relazione tra e , descrive i punti della curva direttamente nel piano polare.
Un cerchio con centro nel polo si scrive con costante, mentre una spirale di Archimede lega e in modo lineare.
Per esempio, rappresenta tutti i punti a distanza 3 dal polo.
Lo stesso punto può avere più coppie polari, cioè più descrizioni equivalenti, perché l'angolo può aumentare di multipli di e il raggio può cambiare segno.
Per esempio, il punto descritto da coincide con .
