Continuità e punti di discontinuità

Continuità e punti di discontinuità

La continuità, cioè la proprietà di una funzione di essere descrivibile senza interruzioni nel suo grafico, nasce per distinguere i comportamenti regolari da quelli anomali.

In pratica, si studia se un grafico può essere tracciato senza sollevare idealmente la matita. Questa idea guida l'analisi dei punti critici di una funzione.

La motivazione è concreta. Molti fenomeni fisici e geometrici cambiano in modo graduale. In tali casi si cerca una funzione che non presenti strappi, salti o buchi.

Si osserva però che non tutte le funzioni si comportano allo stesso modo. Alcune sono regolari in ogni punto del loro dominio. Altre presentano interruzioni localizzate.

📌 [IMMAGINE: Grafico cartesiano con una curva continua tracciata senza interruzioni, accanto a una curva con salto e a una curva con buco. Etichette: 'senza staccare la matita', 'salto', 'discontinuità eliminabile'.]

Definizione intuitiva e formale di funzione continua

Una funzione continua, cioè una funzione senza rotture nel punto considerato, si interpreta prima con l'intuizione e poi con i limiti.

L'intuizione dice che il grafico non deve interrompersi vicino al punto. La definizione formale richiede che il valore della funzione coincida con il valore verso cui la funzione tende.

Si consideri $\displaystyle { f(x)=x^2 }$ e $\displaystyle { x_0=3 }$. Si ha $\displaystyle { \lim_{x\to 3}x^2=9 }$ e anche $\displaystyle { f(3)=9 }$. La continuità in 3 è verificata.

Per essere continua in un punto, una funzione deve essere definita in quel punto, deve esistere il limite e i due valori devono coincidere.

Non basta che il limite esista. È necessario anche che il punto appartenga al dominio e che il valore calcolato coincida con il limite.

Si nota quindi che la continuità è una verifica locale. Si controlla un punto alla volta, ma l'idea si ripete su tutto il dominio.

Punti di discontinuità: idea generale

Un punto di discontinuità, cioè un punto in cui la funzione non è continua, segnala una rottura del comportamento regolare.

Il punto può essere un salto, un buco oppure un comportamento che diverge. La classificazione dipende dal modo in cui fallisce la continuità.

Si osserva il grafico vicino al punto. Se i valori si avvicinano a due posizioni diverse, oppure esplodono, allora si ha una discontinuità.

Il fatto importante è questo: la discontinuità non descrive un unico fenomeno. Esistono casi diversi, con conseguenze diverse sul grafico e sui limiti.

Discontinuità di prima specie: il salto

La discontinuità di prima specie, cioè la discontinuità con limiti laterali finiti ma diversi, corrisponde a un salto del grafico.

Si guarda il limite da sinistra e il limite da destra. Se esistono entrambi ma non coincidono, la funzione salta da un livello a un altro.

Si consideri la funzione definita da $\displaystyle { f(x)=1 }$ per $\displaystyle { x<0 }$ e $\displaystyle { f(x)=2 }$ per $\displaystyle { x\ge 0 }$. Si ha salto in $\displaystyle { x_0=0 }$.

Infatti, il limite sinistro vale $\displaystyle { 1 }$, mentre il limite destro vale $\displaystyle { 2 }$. I due valori non coincidono.

La discontinuità di prima specie si riconosce perché il grafico resta limitato, ma cambia valore in modo netto.

Non si deve confondere il salto con il buco. Nel salto i due lati arrivano a valori diversi; nel buco tendono allo stesso valore, ma il punto manca o è assegnato male.

Discontinuità di seconda specie

La discontinuità di seconda specie, cioè la discontinuità in cui almeno un limite laterale non è finito o non esiste, indica un comportamento più grave.

In questo caso il grafico può impennarsi verso $\displaystyle { +\infty }$ oppure verso $\displaystyle { -\infty }$. Oppure può oscillare senza avvicinarsi a un valore preciso.

Si consideri $\displaystyle { f(x)=\frac{1}{x} }$ in $\displaystyle { x_0=0 }$. Per valori positivi vicini a zero, la funzione cresce senza limite. Per valori negativi, scende senza limite.

Si ottengono dunque due comportamenti divergenti. La continuità è impossibile, perché il limite non è un numero reale finito.

Un altro esempio è $\displaystyle { f(x)=\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) }$ in $\displaystyle { x_0=0 }$. Qui la funzione oscilla sempre più rapidamente e il limite non esiste.

In questi casi non si parla di semplice salto. Il problema riguarda proprio l'assenza di un limite laterale finito o di un limite in generale.

Discontinuità di terza specie: eliminabile

La discontinuità eliminabile, cioè una discontinuità in cui il limite esiste ma il valore della funzione è diverso o manca, corrisponde a un buco nel grafico.

Il termine eliminabile indica che il difetto può essere corretto assegnando il valore giusto nel punto.

Si consideri $\displaystyle { f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} }$ per $\displaystyle { x\neq 1 }$. Si semplifica in $\displaystyle { f(x)=x+1 }$ per $\displaystyle { x\neq 1 }$.

Si calcola il limite in $\displaystyle { x_0=1 }$. Si ottiene $\displaystyle { \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2 }$. Il punto però non è definito nella forma iniziale.

Se si definisce $\displaystyle { f(1)=2 }$, la discontinuità scompare. Il buco viene chiuso con il valore corretto.

Non si deve confondere la discontinuità eliminabile con quella di prima specie. Nel caso eliminabile, i limiti laterali coincidono. Nel salto, invece, sono diversi.

Questo tipo è molto importante nello studio di funzione. Permette di capire se un grafico può essere corretto con una semplice definizione nel punto.

Funzioni continue per natura

Alcune funzioni sono continue nel loro dominio per costruzione. Tra queste ci sono i polinomi, le funzioni seno e coseno, e le esponenziali.

Un polinomio, cioè un'espressione formata da somme di potenze di $\displaystyle { x }$ con coefficienti reali, non presenta interruzioni nel proprio dominio.

Si consideri $\displaystyle { p(x)=x^3-2x+1 }$. Per $\displaystyle { x=2 }$ si ha $\displaystyle { p(2)=8-4+1=5 }$. Il calcolo mostra che il valore esiste senza problemi.

Anche le funzioni sin e cos, cioè le funzioni trigonometriche fondamentali, sono continue su tutto il loro dominio.

Per esempio, $\displaystyle { \sin(\pi/2)=1 }$ e $\displaystyle { \cos(0)=1 }$. Il valore si calcola direttamente, senza singolarità.

Anche l'esponenziale $\displaystyle { e^x }$ è continua per ogni numero reale. In $\displaystyle { x=0 }$ si ottiene $\displaystyle { e^0=1 }$.

Il risultato generale è utile nello studio di funzione. Se una funzione nasce da queste funzioni continue, e le operazioni sono lecite, la continuità spesso si conserva.

Questo non significa che ogni espressione composta sia continua ovunque. La presenza di denominatori, logaritmi o radici impone sempre un controllo del dominio.

In sintesi, la continuità si riconosce con tre idee. Si verifica il limite, si controlla il valore nel punto e si osserva il grafico vicino al punto.

Formule e proprietà

Una funzione continuacioè una funzione senza interruzioni nel grafico, soddisfa una condizione di uguaglianza tra valore e limite nel punto.

Si indicano con $\displaystyle { x_0 }$ il punto di verifica e con $\displaystyle { f(x_0) }$ il valore della funzione nel punto. Il limite descrive il comportamento di $\displaystyle { f(x) }$ vicino a $\displaystyle { x_0 }$.

La discontinuità di prima speciecioè una rottura con salto, si presenta quando i limiti laterali esistono ma sono diversi.

Si indica con $\displaystyle { x_0^- }$ l'avvicinamento da sinistra e con $\displaystyle { x_0^+ }$ l'avvicinamento da destra. La differenza tra i due limiti misura il salto.

La discontinuità di seconda speciecioè una discontinuità grave, compare quando almeno un limite laterale è infinito o non esiste.

In questo caso il grafico presenta un comportamento non limitato vicino a $\displaystyle { x_0 }$. Non si parla di semplice salto, ma di una rottura più forte.

La discontinuità eliminabilecioè una discontinuità correggibile, si ha quando il limite esiste ma il valore della funzione è assente o diverso.

Se si ridefinisce la funzione nel punto con il valore del limite, la discontinuità scompare. Per questo si parla di terza specie.

I polinomicioè espressioni somma di potenze di $\displaystyle { x }$ con coefficienti reali, sono continui in tutto il loro dominio.

Per esempio, se $\displaystyle { p(x)=2x^3-x+1 }$ e $\displaystyle { x_0=2 }$, si ottiene $\displaystyle { p(2)=15 }$, e il limite coincide con questo valore.

Anche le funzioni sin e coscioè seno e coseno, sono continue in tutto il loro dominio reale.

Per esempio, in $\displaystyle { x_0=0 }$ i valori sono finiti e il comportamento locale non mostra interruzioni.

Le funzioni esponenziali cioè funzioni del tipo $\displaystyle { a^x }$ con $\displaystyle { a>0 }$ e $\displaystyle { a\neq 1 }$, sono continue nel loro dominio.

Per esempio, se $\displaystyle { g(x)=2^x }$ e $\displaystyle { x_0=3 }$, si ottiene $\displaystyle { g(3)=8 }$.

Esempi svolti