Una funzione è continua se il suo grafico si può tracciare senza staccare la matita. Formalmente, è continua in se il limite per coincide con il valore della funzione.
| Caso | Condizione | Risultato / comportamento |
|---|---|---|
| Continuità in | è definita, esiste e vale | La funzione è continua in e il grafico si traccia senza interruzioni |
| Discontinuità di prima specie | Esistono i limiti destro e sinistro, ma | Si ha un salto nel grafico |
| Discontinuità di seconda specie | Almeno un limite laterale è infinito oppure un limite laterale non esiste | Il comportamento vicino a è irregolare o non limitato |
| Discontinuità di terza specie, cioè eliminabile | Esiste , ma non esiste oppure | La discontinuità si elimina definendo o correggendo il valore in |
| Polinomi | Sono definiti per ogni | Sono continui in tutto il loro dominio |
| , | Sono definiti per ogni | Sono continui in tutto il loro dominio |
| Esponenziali | La funzione è definita per ogni se | Sono continue in tutto il loro dominio |
La continuità, cioè il fatto che il grafico di una funzione non presenti interruzioni in un intorno del punto, serve a descrivere un comportamento regolare.
Si usa questo concetto quando si vuole capire se una grandezza cambia senza salti improvvisi.
L'idea intuitiva è semplice: una funzione continua si può disegnare senza staccare la matita dal foglio.
Questa immagine aiuta a distinguere i casi regolari da quelli con buchi, salti o valori isolati.
Per esempio, se e , si ha e anche .
Il limite coincide con il valore della funzione, quindi il grafico non presenta interruzioni in .
Una funzione è continua in un punto quando si verifica una corrispondenza perfetta tra il valore della funzione e il comportamento del grafico vicino al punto.
Si considera un punto del dominio, cioè un valore per cui la funzione è definita.
Queste tre condizioni sono necessarie tutte insieme.
Per esempio, con e , la funzione non è definita in quel punto, anche se il limite esiste.
Si ottiene per .
Quindi mentre il valore in manca.
La discontinuità di prima specie, cioè la discontinuità con salto, compare quando i limiti laterali esistono ma sono diversi.
Si immagina il grafico come un cammino spezzato in cui i due lati arrivano a quote diverse.
Per esempio, per la funzione definita da se e da se , il punto mostra un salto.
Infatti, il limite sinistro vale e il limite destro vale .
La funzione non è continua, perché il passaggio da un lato all'altro non è uniforme.
La discontinuità di seconda specie, cioè la discontinuità più grave, si ha quando almeno un limite laterale non esiste oppure è infinito.
Qui il grafico non mostra un semplice salto, ma un comportamento che scappa verso valori sempre più grandi in modulo.
Per esempio, la funzione ha in una discontinuità di seconda specie.
Se , allora .
Se , allora .
I due lati non si avvicinano a un numero finito comune.
La discontinuità di terza specie, cioè la discontinuità eliminabile, si ha quando il limite esiste finito ma il valore della funzione manca oppure non coincide.
Si pensa a un grafico con un buco in un punto preciso.
Per esempio, la funzione per coincide con .
Si ottiene , ma il punto non è definito nella forma data.
La discontinuità si elimina assegnando .
In questo caso, il grafico diventa continuo dopo una sola correzione del valore nel punto.
Molte funzioni sono continue nel loro dominio, cioè nell'insieme dei punti in cui sono definite.
Si tratta di famiglie di funzioni che non presentano rotture interne nelle formule di base.
Per esempio, è continua per ogni valore reale di .
Se , si calcola .
Allo stesso modo, e non presentano interruzioni nel loro dominio.
[IMMAGINE: Grafico cartesiano con tre situazioni: un salto tra due semirette, un asintoto verticale, e un buco su una curva. Etichette: continuità, discontinuità di prima specie, discontinuità di seconda specie, discontinuità eliminabile.]
La continuità, cioè la proprietà per cui il grafico si traccia senza stacchi, si esprime con un confronto tra limite e valore della funzione.
Si legge così: il valore che assume quando si avvicina a deve coincidere con il valore della funzione nel punto.
Si osservi che deve appartenere al dominio, cioè all'insieme dei valori per cui la funzione è definita.
Si consideri e il punto .
Si calcola .
Poiché limite e valore coincidono, la funzione è continua in .
Una funzione è continua nel suo dominio quando è continua in ogni punto in cui è definita.
La forma pratica è semplice: si controlla prima il dominio, poi il limite, infine il valore nel punto.
Si prenda .
Nel dominio la funzione è definita e non presenta salti.
In si ha anche .
La discontinuità di prima specie, cioè la discontinuità a salto, si presenta quando i limiti laterali esistono e sono finiti, ma non coincidono.
I due valori laterali misurano l'andamento della funzione da sinistra e da destra.
Il salto è la differenza tra i due limiti laterali, ed è la causa dello stacco nel grafico.
Si consideri una funzione definita da due tratti: per e per .
Poiché i limiti laterali sono diversi, in c'è una discontinuità di prima specie.
La discontinuità di seconda specie, cioè la discontinuità essenziale, si ha quando almeno un limite laterale vale oppure non esiste.
In questo caso il grafico non presenta un semplice salto. Presenta un comportamento più grave.
Non si parla di valore mancante. Si parla di impossibilità di assegnare un limite finito nel punto.
Verificare se la funzione è continua nel punto .
[IMMAGINE: Piano cartesiano con la parabola y = x^2 - 1, punto P(2,3) evidenziato e asse verticale tratteggiato in x = 2.]
Si osserva che il problema richiede di confrontare valore della funzione e limite nel punto dato. La funzione è un polinomio, cioè un'espressione algebrica con potenze intere non negative.
Il punto da controllare è . Si calcola prima il valore della funzione.
Si calcola poi il limite. Per i polinomi il limite coincide con il valore ottenuto per sostituzione.
Poiché il limite e il valore della funzione coincidono, il grafico non presenta interruzioni in quel punto.
La funzione è continua in .
Errore comune: dimenticare di calcolare sia il valore della funzione sia il limite.
Studiare la continuità della funzione nel punto .
[IMMAGINE: Grafico con la curva razionalizzata g(x) = x + 1 e un pallino vuoto in (1,2), con indicazione del punto x = 1.]
Si tratta di una funzione razionale, cioè un quoziente di polinomi. Nel punto il denominatore si annulla.
Il valore della funzione non esiste in , quindi si studia il limite per capire se il difetto è eliminabile.
Si semplifica il fattore comune , ma solo per .
Il limite esiste ed è finito, ma la funzione non è definita nel punto. Si ha quindi una discontinuità eliminabile, cioè un buco nel grafico.
La discontinuità è eliminabile in .
Errore comune: cancellare il denominatore anche nel punto in cui si annulla senza precisare che la semplificazione vale solo fuori dal punto.
Determinare il tipo di discontinuità della funzione a tratti nel punto .
[IMMAGINE: Grafico a gradino con tratto orizzontale y = 1 per x < 0 e tratto orizzontale y = 3 per x ≥ 0, con evidenza del salto in x = 0.]
La funzione è definita in modo diverso a sinistra e a destra di . Occorre confrontare i limiti laterali.
Per il valore resta 1. Per il valore resta 3.
I due limiti laterali esistono, ma non coincidono. Si ha quindi un salto nel grafico.
La funzione presenta una discontinuità di prima specie in .
Errore comune: pensare che la presenza di valori definiti sui due lati garantisca la continuità.
Studiare la funzione nel punto .
[IMMAGINE: Grafico dell'iperbole y = 1/(x - 2) con asintoto verticale x = 2 e due rami separati.]
La funzione è razionale. Il denominatore si annulla in , quindi si analizza il comportamento laterale.
Quando , il denominatore è negativo e molto piccolo. Quando , il denominatore è positivo e molto piccolo.
Almeno un limite laterale è infinito. Per definizione, la discontinuità è di seconda specie.
La funzione ha una discontinuità di seconda specie in .
Errore comune: confondere una discontinuità a salto con un asintoto verticale.
Dire che una funzione continua è solo una funzione disegnabile senza staccare la matita.
Una funzione continua è una funzione senza interruzioni nel grafico e, in un punto, soddisfa .
L’idea della matita aiuta, ma non basta per la definizione formale. Se si usa solo l’intuizione, si rischia di scambiare un grafico regolare con una funzione continua anche dove manca il valore nel punto.
Credere che una funzione sia continua in un punto appena il limite esiste.
Una funzione è continua in solo se esiste il limite, il valore è definito e i due coincidono.
La continuità in un punto richiede tre condizioni insieme. L’errore nasce spesso dal controllare solo il limite e dimenticare il valore della funzione nel punto.
Confondere le discontinuità di prima, seconda e terza specie.
La discontinuità di prima specie è un salto, con limiti laterali finiti ma diversi. La seconda specie ha almeno un limite infinito o inesistente. La terza specie, detta eliminabile, ha limite finito esistente ma valore della funzione diverso o assente.
Le specie si distinguono guardando prima i limiti laterali e poi il comportamento del limite nel punto. Conviene chiedersi in ordine: i limiti laterali esistono? Sono finiti? Coincidono?
Chiamare eliminabile qualsiasi discontinuità in cui la funzione non è definita.
La discontinuità eliminabile si ha solo quando il limite esiste ed è finito, ma manca oppure non coincide con quel limite.
Non basta che il punto sia ‘vuoto’. Se il limite non esiste, la discontinuità non è eliminabile. Si può eliminare solo ‘riempiendo il buco’ con il valore giusto.
Pensare che, se i limiti laterali sono diversi, si tratti di una discontinuità eliminabile.
Se , la discontinuità è di prima specie, cioè di salto.
La presenza di due valori laterali diversi indica un salto del grafico. In questo caso non basta assegnare un valore al punto per rendere continua la funzione.
Dimenticare che polinomi, , ed esponenziali sono continue solo nel loro dominio.
Polinomi, , ed esponenziali sono funzioni continue nel loro dominio di definizione.
Queste funzioni sono continue per natura, ma sempre dove sono definite. L’errore tipico è ignorare il dominio e applicare la continuità anche dove la funzione non esiste.
Una funzione continua è una funzione il cui grafico si può tracciare senza staccare la matita.
In termini intuitivi, non si osservano salti, buchi o interruzioni nel tratto considerato.
Una funzione è continua in un punto quando il limite nel punto esiste e coincide con il valore della funzione.
Servono tre condizioni: la funzione deve essere definita in , il limite deve esistere e deve valere .
La differenza dipende da come si comportano i limiti laterali e il valore della funzione nel punto.
Nella discontinuità di prima specie c'è un salto, perché il limite destro e il limite sinistro sono finiti ma diversi.
Nella seconda specie almeno un limite laterale è infinito oppure non esiste.
Nella terza specie il limite esiste, ma non coincide con il valore della funzione.
Una discontinuità eliminabile è una discontinuità di terza specie in cui il limite esiste, ma il valore della funzione nel punto è diverso oppure non è definito.
Si può eliminare ridefinendo il valore della funzione nel punto con il limite trovato.
Sono continue nel loro dominio i polinomi, le funzioni seno e coseno, e le funzioni esponenziali.
La continuità vale in ogni punto in cui queste funzioni sono definite.
Per esempio, è continua per ogni reale.
Un punto di discontinuità si riconosce quando manca almeno una delle condizioni della continuità.
Si controllano il valore della funzione, il limite destro e il limite sinistro.
Se il grafico presenta un salto, un buco o un comportamento infinito, il punto è di discontinuità.
