Circuito RC

Q: cosa succede a t=\tau in un circuito RC

A t=\tau il condensatore ha raggiunto circa il 63% del valore finale in carica, oppure è sceso al 37% in scarica.Questo è il significato fisico della costante di tempo. Per esempio, se C\varepsilon=10\,\text{C}, allora a t=\tau si ottengono circa 6.3\,\text{C}.

Carica, scarica e costante di tempo

Altre opzioni

Simula interrogazione Risolutore esercizi Correggi compiti

Concetto chiave

Circuito RC

Il circuito RC, cioè un circuito con resistenza e condensatore in serie alimentati da un generatore, descrive un transitorio di carica o scarica. La sua evoluzione nel tempo è regolata da un'equazione differenziale e dalla costante di tempo $\tau=RC$ .

\tau = RC

✓Carica: il condensatore accumula carica secondo $q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)$ .
✓Scarica: la carica diminuisce esponenzialmente secondo $q(t)=q_0 e^{-t/RC}$ .
✓Costante di tempo: a $t=\tau$ si raggiunge circa il 63% della carica finale.
✓Tensione: sul condensatore vale $V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ in carica e $V_C(t)=V_0 e^{-t/\tau}$ in scarica.
✓Applicazioni: temporizzatori, filtri elettronici e flash fotografici.

Schema rapido del circuito RC

Formula/Proprietà	Significato	Condizioni/Note
$\tau = RC$	Costante di tempo, cioè il tempo caratteristico del transitorio.	Si misura in secondi; con $R=2\,\text{k}\Omega$ e $C=500\,\mu\text{F}$ si ha $\tau=1\,\text{s}$ .
$q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)$	Legge di carica del condensatore, cioè la carica cresce in modo esponenziale.	Vale per un circuito serie con generatore, resistenza e condensatore; con $t=RC$ si ha $q\approx0{,}63\,C\varepsilon$ .
$V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)$	Tensione sul condensatore durante la carica, cioè la differenza di potenziale ai suoi capi.	Con $t=\tau$ si ottiene $V_C\approx0{,}63\,\varepsilon$ ; con $\varepsilon=12\,\text{V}$ si ha $V_C\approx7{,}6\,\text{V}$ .
$q(t)=q_0e^{-t/RC}$	Legge di scarica del condensatore, cioè la carica diminuisce esponenzialmente.	Vale quando il generatore è assente; con $q_0=10\,\mu\text{C}$ e $t=RC$ si ha $q\approx3{,}7\,\mu\text{C}$ .
$V_C(t)=V_0e^{-t/\tau}$	Tensione sul condensatore durante la scarica, cioè il potenziale si riduce nel tempo.	Con $t=\tau$ resta circa il $37\%$ del valore iniziale; con $V_0=9\,\text{V}$ si ottiene $V_C\approx3{,}3\,\text{V}$ .
$\displaystyle { R\,\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{C}=\varepsilon }$	Equazione differenziale, cioè l’equazione che descrive il transitorio del circuito.	Si usa per ricavare carica e tensione; con $R=1\,\text{k}\Omega$ , $C=100\,\mu\text{F}$ , $\varepsilon=5\,\text{V}$ si studia il passaggio al regime.
$E=\tfrac12CV^2$	Energia immagazzinata nel condensatore, cioè l’energia elettrica accumulata nel campo.	Con $C=2\,\mu\text{F}$ e $V=10\,\text{V}$ si ha $E=1{,}0\times10^{-4}\,\text{J}$ .
Circuito RC in serie	Generatore, resistenza e condensatore collegati in serie.	Si usa per temporizzatori, filtri elettronici e flash fotografici; il comportamento dipende da $\tau=RC$ .

Circuito RC: perché il condensatore non cambia stato subito

Un circuito RC, cioè un circuito formato da resistenza e condensatore in serie con un generatore, serve a descrivere un cambiamento non istantaneo della carica elettrica.

Si osserva che il condensatore non raggiunge subito la carica finale. La resistenza limita la corrente, quindi l'energia entra nel sistema con gradualità.

L'idea fisica è simile a un serbatoio che si riempie attraverso un tubo stretto. Il tubo stretto rallenta il flusso, e qui la resistenza svolge lo stesso ruolo.

R\,\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\varepsilon

L'equazione differenziale, cioè un'equazione che lega una funzione e la sua derivata, esprime il bilancio delle tensioni nel circuito.

Essa dice che la f.e.m. del generatore si divide tra la caduta sulla resistenza e la tensione del condensatore.

Per esempio, con $R=2.0\,\text{k}\Omega$ , $C=100\,\mu\text{F}$ ed $\varepsilon=12\,\text{V}$ , la tensione non compare tutta in un istante, ma cresce nel tempo.

Fase di carica: come cresce la carica nel tempo

Nella fase di carica si collega il generatore al circuito scarico. All'inizio il condensatore si comporta quasi come un filo, perché la sua tensione è nulla.

Per questo la corrente iniziale è massima. Poi la carica accumulata aumenta, la tensione sul condensatore cresce e la corrente diminuisce.

La legge della carica, cioè l'espressione che descrive la carica del condensatore nel tempo, è

q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)

La stessa legge si può scrivere per la tensione sul condensatore.

V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)

Qui $\tau$ indica la costante di tempo, cioè il tempo caratteristico con cui il sistema evolve.

Per esempio, con $R=2.0\,\text{k}\Omega$ e $C=100\,\mu\text{F}$ , si ha $\tau=RC=0.20\,\text{s}$ .

Se $t=0.20\,\text{s}$ , allora $V_C=\varepsilon(1-e^{-1})\approx0.63\,\varepsilon$ .

Con $\varepsilon=12\,\text{V}$ , si ottiene circa $7.6\,\text{V}$ .

Costante di tempo: significato fisico di τ = RC

La costante di tempo, cioè il parametro che misura la rapidità del transitorio, dipende solo da resistenza e capacità.

$Se$ $R$ aumenta, la corrente si riduce e il processo diventa più lento. Se $C$ aumenta, serve più carica per cambiare la tensione, quindi il processo rallenta ancora.

Per questo $\tau$ è il tempo in cui il circuito compie un passo significativo verso l'equilibrio.

Un calcolo utile è il seguente. Con $R=5.0\,\text{k}\Omega$ e $C=40\,\mu\text{F}$ , si ottiene $\tau=0.20\,\text{s}$ .

Dopo un tempo pari a $\tau$ , la carica raggiunge circa il $63\%$ del valore finale. Questo valore deriva da $1-e^{-1}\approx0.632$ .

Fase di scarica: come si svuota il condensatore

Nella scarica il generatore viene escluso. Il condensatore fornisce energia al circuito e la sua carica diminuisce nel tempo.

L'andamento è esponenziale, cioè si riduce rapidamente all'inizio e sempre più lentamente in seguito.

q(t)=q_0e^{-t/RC}

V_C(t)=V_0e^{-t/\tau}

La tensione iniziale $V_0$ coincide con la tensione presente sul condensatore all'inizio della scarica.

Per esempio, se $V_0=10\,\text{V}$ e $\tau=2.0\,\text{s}$ , dopo $2.0\,\text{s}$ si ha $V_C=10e^{-1}\approx3.7\,\text{V}$ .

Questo mostra che il condensatore non si svuota in modo lineare. Il processo è governato dalla legge esponenziale.

Energia immagazzinata nel condensatore

Il condensatore immagazzina energia nel campo elettrico tra le armature. Questa energia cresce mentre la carica si accumula.

E=\frac{1}{2}CV^2

La formula collega l'energia alla capacità e al quadrato della tensione. La dipendenza da $V^2$ rende molto efficace l'aumento di tensione.

Per esempio, con $C=100\,\mu\text{F}$ e $V=12\,\text{V}$ , si ottiene $E=\frac12\cdot100\cdot10^{-6}\cdot12^2\approx7.2\cdot10^{-3}\,\text{J}$ .

Questa energia è piccola in valore assoluto, ma può essere rilasciata molto rapidamente in dispositivi come il flash fotografico.

Interpretazione grafica e applicazioni del circuito RC

[IMMAGINE: Grafico cartesiano con asse orizzontale t e asse verticale V_C. Due curve esponenziali: carica che sale da 0 a ε e scarica che scende da V_0 a 0. Evidenziare τ con una linea verticale e il punto 63% in carica. A lato, schema del circuito con generatore, resistore R e condensatore C in serie, con etichette su corrente i(t), carica q(t) e tensione V_C(t).]

Il grafico della carica è una curva crescente che si appiattisce. Il grafico della scarica è una curva decrescente che si avvicina a zero senza toccarlo subito.

Questa forma esponenziale si ritrova in molti dispositivi. Si usano circuiti RC nei temporizzatori, nei filtri elettronici e nei flash fotografici.

Nel temporizzatore si sfrutta il ritardo introdotto da $\tau$ .
Nel filtro passa-basso si lascia passare meglio il segnale lento.
Nel flash si accumula energia e la si libera in un tempo molto breve.

In sintesi, il circuito RC è un modello essenziale dei processi lenti di accumulo e di rilascio di carica.

Formule e proprietà del circuito RC

Il circuito RC, cioè un circuito con resistenza e condensatore in serie alimentati da un generatore, presenta un comportamento transitorio.

Nel transitorio, cioè nella fase in cui carica o scarica non sono ancora concluse, si descrive l'evoluzione di carica, tensione ed energia nel tempo.

R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\varepsilon

Questa è l'equazione differenziale, cioè la relazione che lega carica istantanea e variazione temporale nel circuito.

Si indica con $R$ la resistenza, in $\Omega$ , con $C$ la capacità, in $\text{F}$ , con $q$ la carica, in $\text{C}$ e con $\varepsilon$ la forza elettromotrice, in $\text{V}$ .

Esempio — Verifica dell'equazione del circuito

Si consideri R = 2,0 kΩ, C = 500 μF ed ε = 12 V.

Si controlla la coerenza dimensionale del termine $\displaystyle { R\frac{dq}{dt} }$ e del termine $\displaystyle { \frac{q}{C} }$ .

Entrambi hanno unità di $volt$ , quindi possono sommarsi a $\varepsilon$ .

La relazione descrive correttamente un bilancio di tensioni nel circuito.

\tau=RC

La costante di tempo, cioè il tempo caratteristico del circuito, misura la rapidità del processo di carica o scarica.

Si misura in $s$ , perché $\tau$ è il prodotto di $R$ in $\Omega$ e $C$ in $\text{F}$ .

Esempio — Calcolo della costante di tempo

Si considerino R = 4,7 kΩ e C = 220 μF.

\tau=RC=(4{,}7\times10^3)(220\times10^{-6})\approx1{,}03\ \text{s}

La costante di tempo vale circa $1,03 s$ .

Il processo è quindi dell'ordine del secondo.

q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)

Questa è la legge di carica, cioè l'andamento della carica del condensatore quando il generatore è collegato.

Si ha $q$ in $\text{C}$ , $C$ in $\text{F}$ , $\varepsilon$ in $\text{V}$ e $t$ in $\text{s}$ .

Esempio — Carica del condensatore

Si considerino C = 100 μF, ε = 9 V e t = RC.

q(RC)=C\varepsilon\left(1-e^{-1}\right)

Numericamente si ottiene $q(RC)\approx0{,}632\,C\varepsilon$ .

Con questi dati, la carica vale circa $5,69 mC$ .

V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)

La tensione sul condensatore, cioè la differenza di potenziale ai suoi capi, cresce con la stessa legge della carica.

Si usa $V_C$ in $\text{V}$ , mentre $\tau$ entra come tempo di riferimento per il decadimento esponenziale.

Esempio — Tensione durante la carica

Si considerino ε = 12 V e t = 2τ.

V_C(2\tau)=12\left(1-e^{-2}\right)

Si ottiene $V_C(2\tau)\approx10{,}38\ \text{V}$ .

La tensione è già prossima al valore finale del generatore.

q(t)=q_0e^{-t/RC}

Questa è la legge di scarica, cioè la diminuzione esponenziale della carica quando il generatore è scollegato.

Si indica con $q_0$ la carica iniziale, in $\text{C}$ , e con $t$ il tempo, in $\text{s}$ .

V_C(t)=V_0e^{-t/\tau}

La tensione segue la stessa dipendenza esponenziale, perché sul condensatore vale $V_C=q/C$ .

Esempio — Scarica del condensatore

Si considerino V_0 = 8,0 V e t = τ.

V_C(\tau)=8{,}0e^{-1}\ \text{V}

Numericamente si ottiene $V_C(\tau)\approx2{,}94\ \text{V}$ .

La tensione si è ridotta a circa il 37% del valore iniziale.

E=\frac{1}{2}CV^2

L'energia immagazzinata, cioè l'energia elettrica accumulata nel campo del condensatore, dipende quadraticamente dalla tensione.

Si misura in $J$ , con $C$ in $\text{F}$ e $V$ in $\text{V}$ .

Esempio — Energia nel condensatore

Si considerino C = 470 μF e V = 12 V.

E=\frac{1}{2}\cdot470\times10^{-6}\cdot12^2\ \text{J}

Si ottiene $E\approx3{,}38\times10^{-2}\ \text{J}$ .

L'energia cresce con il quadrato della tensione.

A $t=\tau$ si ha carica pari a circa il 63% del valore finale.
A $t=\tau$ in scarica resta circa il 37% della carica iniziale.
Per tempi molto maggiori di $\tau$ la carica in carica tende a $C\varepsilon$ .
Per tempi molto maggiori di $\tau$ in scarica la carica tende a zero.

Le applicazioni del circuito RC, cioè dei suoi tempi caratteristici, includono temporizzatori, filtri elettronici e flash fotografici.

In un filtro RC, cioè un circuito che seleziona frequenze diverse, la risposta dipende dal confronto tra il periodo del segnale e $\tau$ .

Esempio — Scelta di un filtro RC

Si consideri un segnale con periodo 0,01 s e un circuito con τ = 0,1 s.

Poiché il periodo è molto minore di $\tau$ , il condensatore non riesce a seguire rapidamente le variazioni.

Il circuito attenua quindi le componenti veloci del segnale.

Questa proprietà è sfruttata nei filtri passa-basso.

Esempi svolti

Esempio 1 — Carica del condensatore con generatore continuo

Calcolare la tensione sul condensatore in un circuito RC in carica, con $\varepsilon$ = 12 V, $R$ = 3,0 kΩ, $C$ = 2,0 mF e $t$ = 6,0 s.

[IMMAGINE: Schema di circuito RC in carica con generatore continuo, resistenza in serie, condensatore, corrente indicata da frecce, tensione sul condensatore V_C(t) etichettata]

I dati noti sono $\varepsilon$ = 12 V, $R$ = 3,0 kΩ, $C$ = 2,0 mF e $t$ = 6,0 s.

L'incognita è la tensione $V_C(t)$ ai capi del condensatore durante la carica.

Si usa la legge di carica $V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)$ . Prima si calcola la costante di tempo $\tau=RC$ .

\tau = RC = 3,0\times 10^3 \cdot 2,0\times 10^{-3} = 6,0\ \text{s}

Si sostituisce il valore di $\tau$ nella formula di carica.

V_C(6,0\ \text{s}) = 12\left(1-e^{-6,0/6,0}\right)

Si ottiene $V_C(6,0\ \text{s}) = 12\left(1-e^{-1}\right)$ .

V_C(6,0\ \text{s}) \approx 12(1-0,368) \approx 7,58\ \text{V}

Il valore finale è 7,6 V circa.

Errore comune: usare la formula di scarica al posto di quella di carica.

Esempio 2 — Scarica di un condensatore da una tensione iniziale

Determinare la carica residua dopo $t$ = 9,0 s in un condensatore che si scarica da $q_0$ = 24 μC con $R$ = 1,5 kΩ e $C$ = 4,0 mF.

[IMMAGINE: Schema di circuito RC in scarica con condensatore inizialmente carico, resistenza in serie, frecce della corrente di scarica, indicazione di q0 e q(t)]

I dati noti sono $q_0$ = 24 μC, $R$ = 1,5 kΩ, $C$ = 4,0 mF e $t$ = 9,0 s.

L'incognita è la carica $q(t)$ dopo il transitorio di scarica.

Si applica la legge di scarica $q(t)=q_0e^{-t/RC}$ . Si calcola prima $\tau=RC$ .

\tau = RC = 1,5\times 10^3 \cdot 4,0\times 10^{-3} = 6,0\ \text{s}

Si sostituisce il tempo nella legge esponenziale.

q(9,0\ \text{s}) = 24\,\mu\text{C}\, e^{-9,0/6,0}

Si ottiene $q(9,0\ \text{s}) = 24\,\mu\text{C}\, e^{-1,5}$ .

q(9,0\ \text{s}) \approx 24\cdot 0,223 = 5,35\,\mu\text{C}

Il risultato è 5,4 μC, circa.

Errore comune: dimenticare che in scarica la grandezza iniziale decresce esponenzialmente.

Esempio 3 — Significato fisico della costante di tempo

Interpretare il significato di $\tau$ in un circuito RC con $R$ = 8,0 kΩ e $C$ = 500 μF.

[IMMAGINE: Grafico della carica del condensatore V_C(t) con evidenziato il punto t = tau e il valore 63% del valore finale]

I dati sono $R$ = 8,0 kΩ e $C$ = 500 μF.

L'obiettivo è calcolare $\tau$ e verificare il valore della tensione al tempo $t=\tau$ .

Si usa la definizione $\tau=RC$ . La costante di tempo è il tempo caratteristico del transitorio.

\tau = RC = 8,0\times 10^3 \cdot 500\times 10^{-6} = 4,0\ \text{s}

Per la carica, al tempo $t=\tau$ si ha $V_C(\tau)=\varepsilon(1-e^{-1})$ .

1-e^{-1} \approx 1-0,368 = 0,632

Questo significa che il condensatore raggiunge circa il 63% del valore finale.

Errore comune: confondere la costante di tempo con il tempo totale di carica completa.

Esempio 4 — Energia immagazzinata in un condensatore

Calcolare l'energia immagazzinata in un condensatore carico con $C$ = 220 μF e $V$ = 18 V.

[IMMAGINE: Condensatore carico con indicazione delle armature, della tensione V e della formula dell'energia E = 1/2 CV^2]

I dati noti sono $C$ = 220 μF e $V$ = 18 V.

L'incognita è l'energia $E$ immagazzinata nel campo elettrico del condensatore.

Si applica la formula $E=\tfrac12 CV^2$ . Prima si converte la capacità in farad.

C = 220\times 10^{-6}\ \text{F}

E = \frac12 \cdot 220\times 10^{-6} \cdot 18^2

E = 0,5 \cdot 220\times 10^{-6} \cdot 324 \approx 3,56\times 10^{-2}\ \text{J}

L'energia vale 3,6×10^-2 J, cioè circa 36 mJ.

Errore comune: usare la capacità in microfarad senza convertirla in farad.

Errori comuni

✗

La costante di tempo è la durata totale della carica o della scarica.

✓

La costante di tempo è $\tau = RC$ , cioè il tempo caratteristico del transitorio.

Non indica il tempo finale del processo. Dopo un solo $\tau$ , il condensatore ha solo raggiunto una frazione del valore finale.

✗

In carica la tensione sul condensatore cresce linearmente nel tempo.

✓

In carica la tensione segue $V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ , cioè cresce in modo esponenziale.

La crescita è rapida all’inizio e poi rallenta. L’andamento lineare confonde il transitorio RC con un moto uniforme.

✗

In scarica il condensatore perde carica in modo costante, quindi la pendenza resta uguale.

✓

In scarica la carica segue $q(t)=q_0 e^{-t/RC}$ , cioè diminuisce esponenzialmente.

La diminuzione è più veloce all’inizio e poi si attenua. Il tasso di variazione dipende dalla carica residua presente nel condensatore.

✗

A $t=\tau$ il condensatore è già completamente carico.

✓

A $t=\tau$ il condensatore ha raggiunto circa il $63\%$ del valore finale in carica.

Si usa la relazione esponenziale, non un passaggio istantaneo al valore massimo. Dopo un solo $\tau$ , resta ancora circa il $37\%$ da completare.

✗

La tensione sul condensatore si calcola sempre con $V=IR$ , anche nel circuito RC transitorio.

✓

Nel transitorio si usa la tensione del condensatore, per esempio $V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ in carica.

La legge di Ohm vale per il resistore, non direttamente per il condensatore. La tensione sul condensatore cambia nel tempo e va ricavata dalla legge temporale del circuito.

✗

La costante di tempo dipende dalla carica iniziale del condensatore.

✓

La costante di tempo dipende solo da $R$ e $C$ , cioè da resistenza e capacità.

Il valore iniziale cambia la forma della curva, ma non il tempo caratteristico del circuito. Per confrontare i transitori, si guarda sempre a $\tau=RC$ .

Domande frequenti sul circuito RC

La costante di tempo di un circuito RC, cioè il tempo caratteristico del transitorio, è $\tau = RC$ e si misura in secondi.

Un condensatore si carica quando è collegato a un generatore tramite una resistenza.La carica cresce in modo esponenziale fino al valore finale.

q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)

La tensione ai capi del condensatore cresce con la stessa legge e tende a $\varepsilon$ .

Un condensatore si scarica quando il generatore viene escluso e la resistenza chiude il circuito.La carica diminuisce esponenzialmente nel tempo.

q(t)=q_0 e^{-t/RC}

Anche la tensione decresce con la stessa costante di tempo e diventa sempre più piccola.

A $t=\tau$ il condensatore ha raggiunto circa il 63% del valore finale in carica, oppure è sceso al 37% in scarica.Questo è il significato fisico della costante di tempo.

q(\tau)=C\varepsilon\left(1-e^{-1}\right)\approx 0.63\,C\varepsilon

Per esempio, se $C\varepsilon=10\,\text{C}$ , allora a $t=\tau$ si ottengono circa $6.3\,\text{C}$ .

La tensione sul condensatore si calcola dividendo la carica per la capacità.Si usa poi la legge temporale del circuito in carica o in scarica.

V_C(t)=\frac{q(t)}{C}

V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)\quad\text{in carica},\qquad V_C(t)=V_0 e^{-t/RC}\quad\text{in scarica}

Per esempio, con $\varepsilon=12\,\text{V}$ e $t=RC$ , in carica si ha $V_C\approx 7.6\,\text{V}$ .

Il circuito RC è importante perché descrive fenomeni transitori e filtraggio dei segnali.Compare in temporizzatori, filtri elettronici e flash fotografici.

L’energia immagazzinata nel condensatore è $\displaystyle { E=\frac{1}{2}CV^2 }$ e cresce o diminuisce insieme alla tensione.

#Elettrostatica #Circuiti elettrici 🎓 5º Scientifico 🎓 5º Classico

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Carica, scarica e costante di tempo

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Circuito RC

\tau = RC

✓Carica: il condensatore accumula carica secondo $q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)$ .
✓Scarica: la carica diminuisce esponenzialmente secondo $q(t)=q_0 e^{-t/RC}$ .
✓Costante di tempo: a $t=\tau$ si raggiunge circa il 63% della carica finale.
✓Tensione: sul condensatore vale $V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ in carica e $V_C(t)=V_0 e^{-t/\tau}$ in scarica.
✓Applicazioni: temporizzatori, filtri elettronici e flash fotografici.

Schema rapido del circuito RC

Formula/Proprietà	Significato	Condizioni/Note
$\tau = RC$	Costante di tempo, cioè il tempo caratteristico del transitorio.	Si misura in secondi; con $R=2\,\text{k}\Omega$ e $C=500\,\mu\text{F}$ si ha $\tau=1\,\text{s}$ .
$q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)$	Legge di carica del condensatore, cioè la carica cresce in modo esponenziale.	Vale per un circuito serie con generatore, resistenza e condensatore; con $t=RC$ si ha $q\approx0{,}63\,C\varepsilon$ .
$V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)$	Tensione sul condensatore durante la carica, cioè la differenza di potenziale ai suoi capi.	Con $t=\tau$ si ottiene $V_C\approx0{,}63\,\varepsilon$ ; con $\varepsilon=12\,\text{V}$ si ha $V_C\approx7{,}6\,\text{V}$ .
$q(t)=q_0e^{-t/RC}$	Legge di scarica del condensatore, cioè la carica diminuisce esponenzialmente.	Vale quando il generatore è assente; con $q_0=10\,\mu\text{C}$ e $t=RC$ si ha $q\approx3{,}7\,\mu\text{C}$ .
$V_C(t)=V_0e^{-t/\tau}$	Tensione sul condensatore durante la scarica, cioè il potenziale si riduce nel tempo.	Con $t=\tau$ resta circa il $37\%$ del valore iniziale; con $V_0=9\,\text{V}$ si ottiene $V_C\approx3{,}3\,\text{V}$ .
$\displaystyle { R\,\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{C}=\varepsilon }$	Equazione differenziale, cioè l’equazione che descrive il transitorio del circuito.	Si usa per ricavare carica e tensione; con $R=1\,\text{k}\Omega$ , $C=100\,\mu\text{F}$ , $\varepsilon=5\,\text{V}$ si studia il passaggio al regime.
$E=\tfrac12CV^2$	Energia immagazzinata nel condensatore, cioè l’energia elettrica accumulata nel campo.	Con $C=2\,\mu\text{F}$ e $V=10\,\text{V}$ si ha $E=1{,}0\times10^{-4}\,\text{J}$ .
Circuito RC in serie	Generatore, resistenza e condensatore collegati in serie.	Si usa per temporizzatori, filtri elettronici e flash fotografici; il comportamento dipende da $\tau=RC$ .

Circuito RC: perché il condensatore non cambia stato subito

Un circuito RC, cioè un circuito formato da resistenza e condensatore in serie con un generatore, serve a descrivere un cambiamento non istantaneo della carica elettrica.

Si osserva che il condensatore non raggiunge subito la carica finale. La resistenza limita la corrente, quindi l'energia entra nel sistema con gradualità.

L'idea fisica è simile a un serbatoio che si riempie attraverso un tubo stretto. Il tubo stretto rallenta il flusso, e qui la resistenza svolge lo stesso ruolo.

R\,\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\varepsilon

L'equazione differenziale, cioè un'equazione che lega una funzione e la sua derivata, esprime il bilancio delle tensioni nel circuito.

Essa dice che la f.e.m. del generatore si divide tra la caduta sulla resistenza e la tensione del condensatore.

Per esempio, con $R=2.0\,\text{k}\Omega$ , $C=100\,\mu\text{F}$ ed $\varepsilon=12\,\text{V}$ , la tensione non compare tutta in un istante, ma cresce nel tempo.

Fase di carica: come cresce la carica nel tempo

Nella fase di carica si collega il generatore al circuito scarico. All'inizio il condensatore si comporta quasi come un filo, perché la sua tensione è nulla.

Per questo la corrente iniziale è massima. Poi la carica accumulata aumenta, la tensione sul condensatore cresce e la corrente diminuisce.

La legge della carica, cioè l'espressione che descrive la carica del condensatore nel tempo, è

q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)

La stessa legge si può scrivere per la tensione sul condensatore.

V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)

Qui $\tau$ indica la costante di tempo, cioè il tempo caratteristico con cui il sistema evolve.

Per esempio, con $R=2.0\,\text{k}\Omega$ e $C=100\,\mu\text{F}$ , si ha $\tau=RC=0.20\,\text{s}$ .

Se $t=0.20\,\text{s}$ , allora $V_C=\varepsilon(1-e^{-1})\approx0.63\,\varepsilon$ .

Con $\varepsilon=12\,\text{V}$ , si ottiene circa $7.6\,\text{V}$ .

Costante di tempo: significato fisico di τ = RC

La costante di tempo, cioè il parametro che misura la rapidità del transitorio, dipende solo da resistenza e capacità.

$Se$ $R$ aumenta, la corrente si riduce e il processo diventa più lento. Se $C$ aumenta, serve più carica per cambiare la tensione, quindi il processo rallenta ancora.

Per questo $\tau$ è il tempo in cui il circuito compie un passo significativo verso l'equilibrio.

Un calcolo utile è il seguente. Con $R=5.0\,\text{k}\Omega$ e $C=40\,\mu\text{F}$ , si ottiene $\tau=0.20\,\text{s}$ .

Dopo un tempo pari a $\tau$ , la carica raggiunge circa il $63\%$ del valore finale. Questo valore deriva da $1-e^{-1}\approx0.632$ .

Fase di scarica: come si svuota il condensatore

Nella scarica il generatore viene escluso. Il condensatore fornisce energia al circuito e la sua carica diminuisce nel tempo.

L'andamento è esponenziale, cioè si riduce rapidamente all'inizio e sempre più lentamente in seguito.

q(t)=q_0e^{-t/RC}

V_C(t)=V_0e^{-t/\tau}

La tensione iniziale $V_0$ coincide con la tensione presente sul condensatore all'inizio della scarica.

Per esempio, se $V_0=10\,\text{V}$ e $\tau=2.0\,\text{s}$ , dopo $2.0\,\text{s}$ si ha $V_C=10e^{-1}\approx3.7\,\text{V}$ .

Questo mostra che il condensatore non si svuota in modo lineare. Il processo è governato dalla legge esponenziale.

Energia immagazzinata nel condensatore

Il condensatore immagazzina energia nel campo elettrico tra le armature. Questa energia cresce mentre la carica si accumula.

E=\frac{1}{2}CV^2

La formula collega l'energia alla capacità e al quadrato della tensione. La dipendenza da $V^2$ rende molto efficace l'aumento di tensione.

Per esempio, con $C=100\,\mu\text{F}$ e $V=12\,\text{V}$ , si ottiene $E=\frac12\cdot100\cdot10^{-6}\cdot12^2\approx7.2\cdot10^{-3}\,\text{J}$ .

Questa energia è piccola in valore assoluto, ma può essere rilasciata molto rapidamente in dispositivi come il flash fotografico.

Interpretazione grafica e applicazioni del circuito RC

Il grafico della carica è una curva crescente che si appiattisce. Il grafico della scarica è una curva decrescente che si avvicina a zero senza toccarlo subito.

Questa forma esponenziale si ritrova in molti dispositivi. Si usano circuiti RC nei temporizzatori, nei filtri elettronici e nei flash fotografici.

Nel temporizzatore si sfrutta il ritardo introdotto da $\tau$ .
Nel filtro passa-basso si lascia passare meglio il segnale lento.
Nel flash si accumula energia e la si libera in un tempo molto breve.

In sintesi, il circuito RC è un modello essenziale dei processi lenti di accumulo e di rilascio di carica.

Formule e proprietà del circuito RC

Il circuito RC, cioè un circuito con resistenza e condensatore in serie alimentati da un generatore, presenta un comportamento transitorio.

Nel transitorio, cioè nella fase in cui carica o scarica non sono ancora concluse, si descrive l'evoluzione di carica, tensione ed energia nel tempo.

R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\varepsilon

Questa è l'equazione differenziale, cioè la relazione che lega carica istantanea e variazione temporale nel circuito.

Si indica con $R$ la resistenza, in $\Omega$ , con $C$ la capacità, in $\text{F}$ , con $q$ la carica, in $\text{C}$ e con $\varepsilon$ la forza elettromotrice, in $\text{V}$ .

Esempio — Verifica dell'equazione del circuito

Si consideri R = 2,0 kΩ, C = 500 μF ed ε = 12 V.

Si controlla la coerenza dimensionale del termine $\displaystyle { R\frac{dq}{dt} }$ e del termine $\displaystyle { \frac{q}{C} }$ .

Entrambi hanno unità di $volt$ , quindi possono sommarsi a $\varepsilon$ .

La relazione descrive correttamente un bilancio di tensioni nel circuito.

\tau=RC

La costante di tempo, cioè il tempo caratteristico del circuito, misura la rapidità del processo di carica o scarica.

Si misura in $s$ , perché $\tau$ è il prodotto di $R$ in $\Omega$ e $C$ in $\text{F}$ .

Esempio — Calcolo della costante di tempo

Si considerino R = 4,7 kΩ e C = 220 μF.

\tau=RC=(4{,}7\times10^3)(220\times10^{-6})\approx1{,}03\ \text{s}

La costante di tempo vale circa $1,03 s$ .

Il processo è quindi dell'ordine del secondo.

q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)

Questa è la legge di carica, cioè l'andamento della carica del condensatore quando il generatore è collegato.

Si ha $q$ in $\text{C}$ , $C$ in $\text{F}$ , $\varepsilon$ in $\text{V}$ e $t$ in $\text{s}$ .

Esempio — Carica del condensatore

Si considerino C = 100 μF, ε = 9 V e t = RC.

q(RC)=C\varepsilon\left(1-e^{-1}\right)

Numericamente si ottiene $q(RC)\approx0{,}632\,C\varepsilon$ .

Con questi dati, la carica vale circa $5,69 mC$ .

V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)

La tensione sul condensatore, cioè la differenza di potenziale ai suoi capi, cresce con la stessa legge della carica.

Si usa $V_C$ in $\text{V}$ , mentre $\tau$ entra come tempo di riferimento per il decadimento esponenziale.

Esempio — Tensione durante la carica

Si considerino ε = 12 V e t = 2τ.

V_C(2\tau)=12\left(1-e^{-2}\right)

Si ottiene $V_C(2\tau)\approx10{,}38\ \text{V}$ .

La tensione è già prossima al valore finale del generatore.

q(t)=q_0e^{-t/RC}

Questa è la legge di scarica, cioè la diminuzione esponenziale della carica quando il generatore è scollegato.

Si indica con $q_0$ la carica iniziale, in $\text{C}$ , e con $t$ il tempo, in $\text{s}$ .

V_C(t)=V_0e^{-t/\tau}

La tensione segue la stessa dipendenza esponenziale, perché sul condensatore vale $V_C=q/C$ .

Esempio — Scarica del condensatore

Si considerino V_0 = 8,0 V e t = τ.

V_C(\tau)=8{,}0e^{-1}\ \text{V}

Numericamente si ottiene $V_C(\tau)\approx2{,}94\ \text{V}$ .

La tensione si è ridotta a circa il 37% del valore iniziale.

E=\frac{1}{2}CV^2

L'energia immagazzinata, cioè l'energia elettrica accumulata nel campo del condensatore, dipende quadraticamente dalla tensione.

Si misura in $J$ , con $C$ in $\text{F}$ e $V$ in $\text{V}$ .

Esempio — Energia nel condensatore

Si considerino C = 470 μF e V = 12 V.

E=\frac{1}{2}\cdot470\times10^{-6}\cdot12^2\ \text{J}

Si ottiene $E\approx3{,}38\times10^{-2}\ \text{J}$ .

L'energia cresce con il quadrato della tensione.

A $t=\tau$ si ha carica pari a circa il 63% del valore finale.
A $t=\tau$ in scarica resta circa il 37% della carica iniziale.
Per tempi molto maggiori di $\tau$ la carica in carica tende a $C\varepsilon$ .
Per tempi molto maggiori di $\tau$ in scarica la carica tende a zero.

Le applicazioni del circuito RC, cioè dei suoi tempi caratteristici, includono temporizzatori, filtri elettronici e flash fotografici.

In un filtro RC, cioè un circuito che seleziona frequenze diverse, la risposta dipende dal confronto tra il periodo del segnale e $\tau$ .

Esempio — Scelta di un filtro RC

Si consideri un segnale con periodo 0,01 s e un circuito con τ = 0,1 s.

Poiché il periodo è molto minore di $\tau$ , il condensatore non riesce a seguire rapidamente le variazioni.

Il circuito attenua quindi le componenti veloci del segnale.

Questa proprietà è sfruttata nei filtri passa-basso.

Esempi svolti

Esempio 1 — Carica del condensatore con generatore continuo

Calcolare la tensione sul condensatore in un circuito RC in carica, con $\varepsilon$ = 12 V, $R$ = 3,0 kΩ, $C$ = 2,0 mF e $t$ = 6,0 s.

[IMMAGINE: Schema di circuito RC in carica con generatore continuo, resistenza in serie, condensatore, corrente indicata da frecce, tensione sul condensatore V_C(t) etichettata]

I dati noti sono $\varepsilon$ = 12 V, $R$ = 3,0 kΩ, $C$ = 2,0 mF e $t$ = 6,0 s.

L'incognita è la tensione $V_C(t)$ ai capi del condensatore durante la carica.

Si usa la legge di carica $V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)$ . Prima si calcola la costante di tempo $\tau=RC$ .

\tau = RC = 3,0\times 10^3 \cdot 2,0\times 10^{-3} = 6,0\ \text{s}

Si sostituisce il valore di $\tau$ nella formula di carica.

V_C(6,0\ \text{s}) = 12\left(1-e^{-6,0/6,0}\right)

Si ottiene $V_C(6,0\ \text{s}) = 12\left(1-e^{-1}\right)$ .

V_C(6,0\ \text{s}) \approx 12(1-0,368) \approx 7,58\ \text{V}

Il valore finale è 7,6 V circa.

Errore comune: usare la formula di scarica al posto di quella di carica.

Esempio 2 — Scarica di un condensatore da una tensione iniziale

Determinare la carica residua dopo $t$ = 9,0 s in un condensatore che si scarica da $q_0$ = 24 μC con $R$ = 1,5 kΩ e $C$ = 4,0 mF.

[IMMAGINE: Schema di circuito RC in scarica con condensatore inizialmente carico, resistenza in serie, frecce della corrente di scarica, indicazione di q0 e q(t)]

I dati noti sono $q_0$ = 24 μC, $R$ = 1,5 kΩ, $C$ = 4,0 mF e $t$ = 9,0 s.

L'incognita è la carica $q(t)$ dopo il transitorio di scarica.

Si applica la legge di scarica $q(t)=q_0e^{-t/RC}$ . Si calcola prima $\tau=RC$ .

\tau = RC = 1,5\times 10^3 \cdot 4,0\times 10^{-3} = 6,0\ \text{s}

Si sostituisce il tempo nella legge esponenziale.

q(9,0\ \text{s}) = 24\,\mu\text{C}\, e^{-9,0/6,0}

Si ottiene $q(9,0\ \text{s}) = 24\,\mu\text{C}\, e^{-1,5}$ .

q(9,0\ \text{s}) \approx 24\cdot 0,223 = 5,35\,\mu\text{C}

Il risultato è 5,4 μC, circa.

Errore comune: dimenticare che in scarica la grandezza iniziale decresce esponenzialmente.

Esempio 3 — Significato fisico della costante di tempo

Interpretare il significato di $\tau$ in un circuito RC con $R$ = 8,0 kΩ e $C$ = 500 μF.

[IMMAGINE: Grafico della carica del condensatore V_C(t) con evidenziato il punto t = tau e il valore 63% del valore finale]

I dati sono $R$ = 8,0 kΩ e $C$ = 500 μF.

L'obiettivo è calcolare $\tau$ e verificare il valore della tensione al tempo $t=\tau$ .

Si usa la definizione $\tau=RC$ . La costante di tempo è il tempo caratteristico del transitorio.

\tau = RC = 8,0\times 10^3 \cdot 500\times 10^{-6} = 4,0\ \text{s}

Per la carica, al tempo $t=\tau$ si ha $V_C(\tau)=\varepsilon(1-e^{-1})$ .

1-e^{-1} \approx 1-0,368 = 0,632

Questo significa che il condensatore raggiunge circa il 63% del valore finale.

Errore comune: confondere la costante di tempo con il tempo totale di carica completa.

Esempio 4 — Energia immagazzinata in un condensatore

Calcolare l'energia immagazzinata in un condensatore carico con $C$ = 220 μF e $V$ = 18 V.

[IMMAGINE: Condensatore carico con indicazione delle armature, della tensione V e della formula dell'energia E = 1/2 CV^2]

I dati noti sono $C$ = 220 μF e $V$ = 18 V.

L'incognita è l'energia $E$ immagazzinata nel campo elettrico del condensatore.

Si applica la formula $E=\tfrac12 CV^2$ . Prima si converte la capacità in farad.

C = 220\times 10^{-6}\ \text{F}

E = \frac12 \cdot 220\times 10^{-6} \cdot 18^2

E = 0,5 \cdot 220\times 10^{-6} \cdot 324 \approx 3,56\times 10^{-2}\ \text{J}

L'energia vale 3,6×10^-2 J, cioè circa 36 mJ.

Errore comune: usare la capacità in microfarad senza convertirla in farad.

Errori comuni

✗

La costante di tempo è la durata totale della carica o della scarica.

✓

La costante di tempo è $\tau = RC$ , cioè il tempo caratteristico del transitorio.

Non indica il tempo finale del processo. Dopo un solo $\tau$ , il condensatore ha solo raggiunto una frazione del valore finale.

✗

In carica la tensione sul condensatore cresce linearmente nel tempo.

✓

In carica la tensione segue $V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ , cioè cresce in modo esponenziale.

La crescita è rapida all’inizio e poi rallenta. L’andamento lineare confonde il transitorio RC con un moto uniforme.

✗

In scarica il condensatore perde carica in modo costante, quindi la pendenza resta uguale.

✓

In scarica la carica segue $q(t)=q_0 e^{-t/RC}$ , cioè diminuisce esponenzialmente.

La diminuzione è più veloce all’inizio e poi si attenua. Il tasso di variazione dipende dalla carica residua presente nel condensatore.

✗

A $t=\tau$ il condensatore è già completamente carico.

✓

A $t=\tau$ il condensatore ha raggiunto circa il $63\%$ del valore finale in carica.

Si usa la relazione esponenziale, non un passaggio istantaneo al valore massimo. Dopo un solo $\tau$ , resta ancora circa il $37\%$ da completare.

✗

La tensione sul condensatore si calcola sempre con $V=IR$ , anche nel circuito RC transitorio.

✓

Nel transitorio si usa la tensione del condensatore, per esempio $V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ in carica.

La legge di Ohm vale per il resistore, non direttamente per il condensatore. La tensione sul condensatore cambia nel tempo e va ricavata dalla legge temporale del circuito.

✗

La costante di tempo dipende dalla carica iniziale del condensatore.

✓

La costante di tempo dipende solo da $R$ e $C$ , cioè da resistenza e capacità.

Il valore iniziale cambia la forma della curva, ma non il tempo caratteristico del circuito. Per confrontare i transitori, si guarda sempre a $\tau=RC$ .

Domande frequenti sul circuito RC

La costante di tempo di un circuito RC, cioè il tempo caratteristico del transitorio, è $\tau = RC$ e si misura in secondi.

Un condensatore si carica quando è collegato a un generatore tramite una resistenza.La carica cresce in modo esponenziale fino al valore finale.

q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)

La tensione ai capi del condensatore cresce con la stessa legge e tende a $\varepsilon$ .

Un condensatore si scarica quando il generatore viene escluso e la resistenza chiude il circuito.La carica diminuisce esponenzialmente nel tempo.

q(t)=q_0 e^{-t/RC}

Anche la tensione decresce con la stessa costante di tempo e diventa sempre più piccola.

A $t=\tau$ il condensatore ha raggiunto circa il 63% del valore finale in carica, oppure è sceso al 37% in scarica.Questo è il significato fisico della costante di tempo.

q(\tau)=C\varepsilon\left(1-e^{-1}\right)\approx 0.63\,C\varepsilon

Per esempio, se $C\varepsilon=10\,\text{C}$ , allora a $t=\tau$ si ottengono circa $6.3\,\text{C}$ .

La tensione sul condensatore si calcola dividendo la carica per la capacità.Si usa poi la legge temporale del circuito in carica o in scarica.

V_C(t)=\frac{q(t)}{C}

V_C(t)=\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)\quad\text{in carica},\qquad V_C(t)=V_0 e^{-t/RC}\quad\text{in scarica}

Per esempio, con $\varepsilon=12\,\text{V}$ e $t=RC$ , in carica si ha $V_C\approx 7.6\,\text{V}$ .

Il circuito RC è importante perché descrive fenomeni transitori e filtraggio dei segnali.Compare in temporizzatori, filtri elettronici e flash fotografici.

L’energia immagazzinata nel condensatore è $\displaystyle { E=\frac{1}{2}CV^2 }$ e cresce o diminuisce insieme alla tensione.

#Elettrostatica #Circuiti elettrici 🎓 5º Scientifico 🎓 5º Classico

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