Il calcolo combinatorio è la parte della matematica che conta in quanti modi si possono scegliere, ordinare o distribuire oggetti. Si usano regole di conteggio come principio del prodotto, fattoriale, permutazioni, disposizioni e combinazioni.
| Formula / proprietà | Significato | Condizioni / note |
|---|---|---|
| Principio del prodotto | Si moltiplicano le scelte successive. | Se una scelta avviene in modi e la successiva in modi, i casi totali sono . Esempio: . |
| Fattoriale | Prodotto di tutti i numeri da a . | Si definisce per . Esempio: . |
| Permutazioni semplici | Riordinamenti di tutti gli elementi. | Conta l’ordine e non si ripete nessun elemento. Esempio: con elementi, . |
| Permutazioni con ripetizione | Riordinamenti con elementi uguali. | Se alcuni elementi sono indistinguibili. Formula: . Esempio: . |
| Disposizioni semplici | Scelte ordinate di elementi tra . | Conta l’ordine, non si ripete. Esempio: . |
| Disposizioni con ripetizione | Scelte ordinate con ripetizione ammessa. | Conta l’ordine e si possono ripetere elementi. Esempio: . |
| Combinazioni | Scelte di elementi tra senza ordine. | Non conta l’ordine, non si ripete. Esempio: . |
| Coefficiente binomiale | Numero di modi di scegliere elementi da . | Vale . Esempio: . |
| Quando usare cosa | Si sceglie la formula in base a ordine e ripetizione. | Se l’ordine conta, usare disposizioni o permutazioni. Se non conta, usare combinazioni. Se si ripete, usare le versioni con ripetizione. Esempio: codice PIN disposizioni con ripetizione. |
Il calcolo combinatorio, cioè lo studio dei modi in cui si possono formare gruppi o sequenze con elementi dati, serve quando si vuole contare senza elencare tutti i casi.
Si osserva che il problema non riguarda il valore degli oggetti, ma il numero di scelte possibili.
L'idea di fondo è simile a un percorso con più bivi consecutivi. Se a ogni bivio ci sono più scelte, il totale si ottiene moltiplicando.
Per esempio, se si scelgono prima 3 magliette e poi 4 pantaloni, le possibilità complessive sono .
Questo principio è la base di quasi tutte le formule del conteggio combinatorio.
Il principio del prodotto, cioè la regola per contare scelte successive indipendenti, dice che il numero totale di possibilità si ottiene moltiplicando i numeri di scelta di ogni fase.
Si usa quando una scelta non elimina le alternative delle altre fasi, ma le accompagna.
Per esempio, se si scelgono primi piatti, poi secondi e infine dolci, le combinazioni possibili sono perché .
Il metodo si applica anche quando le fasi sono più di due.
[IMMAGINE: Schema a blocchi con tre fasi consecutive: scelta 1 con 2 opzioni, scelta 2 con 3 opzioni, scelta 3 con 4 opzioni; frecce verso il prodotto finale 24.]
Il fattoriale, cioè il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 fino a un certo numero, serve a contare ordinamenti completi e strutture in cui si usano tutti gli elementi.
Si definisce per un numero naturale come prodotto decrescente.
Per esempio, .
In modo coerente, si pone anche , perché questa scelta rende valide molte formule di conteggio.
Per esempio, i modi di ordinare oggetti sono , cioè il modo vuoto.
Si calcola per vedere come funziona la definizione.
Si ottiene . Questo numero indica i modi di ordinare 4 oggetti distinti.
Una permutazione, cioè un ordinamento di tutti gli elementi disponibili, risponde alla domanda: in quanti modi si possono disporre tutti gli oggetti?
Quando gli oggetti sono tutti distinti, l'ordine delle posizioni genera tutte le possibilità.
Per esempio, con libri distinti, gli ordinamenti sono .
Se alcuni elementi si ripetono, molti ordinamenti coincidono tra loro.
Per esempio, nella parola ci sono lettere, con M e A. Le permutazioni distinte sono .
La divisione elimina i duplicati prodotti da lettere uguali.
Una disposizione, cioè una scelta ordinata di alcuni elementi tra i disponibili, si usa quando conta l'ordine ma non si prendono tutti gli oggetti.
Qui si scelgono elementi tra , e le posizioni contano.
Per esempio, scegliendo studenti tra per i ruoli di presidente e vicepresidente, si ha .
Con ripetizione, ogni posizione può essere occupata anche dallo stesso elemento.
Per esempio, con cifre e posizioni, le sequenze possibili sono .
Si nota che l'ordine cambia il risultato, perché ABC e CBA sono sequenze diverse.
Una combinazione, cioè una scelta di elementi senza considerare l'ordine, si usa quando interessa solo quali oggetti sono presenti.
Se si scelgono elementi tra , le scelte uguali in ordine diverso non si contano due volte.
Per esempio, scegliendo studenti tra per una squadra, si ha .
La stessa coppia di studenti viene contata una sola volta, anche se si cambia l'ordine della scrittura.
Il coefficiente binomiale, cioè il numero di combinazioni di elementi scelti tra , compare anche nello sviluppo di .
Per esempio, per , si ottiene .
Si devono scegliere rappresentanti tra studenti.
Se i ruoli sono distinti, si usano le disposizioni: .
Se conta solo la coppia di studenti, si usano le combinazioni: .
Il risultato è diverso perché nell'un caso l'ordine dei ruoli conta, nell'altro no.
La scelta della formula dipende da due domande: l'ordine conta e si possono ripetere elementi?
Questa classificazione evita confusione tra casi che sembrano simili ma producono numeri diversi.
Per esempio, scegliere una commissione di 3 studenti da 10 richiede combinazioni. Ordinare 3 studenti in ruoli diversi richiede disposizioni.
Nel lavoro svolto si procede sempre con la stessa sequenza mentale: capire il tipo di scelta, controllare l'ordine, controllare le ripetizioni, poi applicare la formula giusta.
Il principio del prodotto, cioè la regola per contare scelte successive moltiplicando i casi, si usa quando le decisioni sono indipendenti in sequenza.
Si indicano con , , …, , cioè i numeri di possibilità in ogni scelta successiva.
Se la prima scelta ha possibilità e la seconda ha , il totale è .
Calcolare quante coppie ordinate si formano scegliendo una maglia tra e un pantalone tra .
Le coppie possibili sono , perché ogni maglia si combina con ogni pantalone.
Il fattoriale, cioè il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 a un dato numero, serve a contare ordinamenti completi.
Si legge n fattoriale. Per convenzione, , perché il numero delle disposizioni vuote deve valere 1.
Per si ottiene .
Calcolare .
Il risultato è . Si tratta del numero di modi per ordinare 4 oggetti distinti.
Le permutazioni semplici, cioè gli ordinamenti di tutti gli elementi disponibili, si usano quando si impiegano tutti gli oggetti e l'ordine conta.
Se gli elementi sono , il numero di permutazioni è proprio .
Per , si ha .
Ordinare le lettere , , , .
Gli ordinamenti possibili sono .
Le disposizioni semplici, cioè gli arrangiamenti di elementi scelti tra , si usano quando l'ordine conta e non si ripete un elemento.
Si scelgono elementi distinti da un insieme di elementi. Il denominatore elimina gli ordinamenti non utilizzati.
Per , si ottiene .
Scegliere e ordinare 2 numeri tra 5 disponibili.
Le coppie ordinate possibili sono .
Le disposizioni con ripetizione, cioè gli arrangiamenti ordinati in cui uno stesso elemento può ricomparire, si contano con una potenza.
Ogni posizione ha possibilità, e le posizioni sono indipendenti.
Con e , si ha .
Formare codici di 4 cifre usando 3 simboli disponibili.
I codici possibili sono , perché ogni cifra può ripetersi.
Le combinazioni, cioè le scelte di elementi senza considerare l'ordine, si usano quando conta solo il gruppo scelto.
Il coefficiente binomiale, cioè il numero di sottoinsiemi di ampiezza scelti tra , coincide con le combinazioni.
Per , si ottiene .
Scegliere 2 studenti tra 5, senza ordine.
Le scelte possibili sono .
La differenza tra disposizioni e combinazioni è questa: nelle disposizioni l'ordine conta, nelle combinazioni l'ordine non conta.
In sintesi, si sceglie la formula guardando due domande: l'ordine conta e un elemento può ripetersi.
Un controllo rapido è utile nei problemi di calcolo combinatorio: prima si stabilisce il tipo di scelta, poi si applica la formula corretta.
Scegliere 3 libri tra 8, senza ordine e senza ripetizione.
Si usa la combinazione, non la disposizione, perché l'ordine non cambia il gruppo scelto.
Se si usa una formula, è importante controllare i significati di e , cioè totale degli elementi e numero di elementi scelti.
Nelle formule di probabilità, questi conteggi entrano spesso come fattori nel numero di casi favorevoli e possibili.
Per esempio, con , si contano 15 coppie non ordinate tra 6 elementi.
Da 6 studenti si formano coppie senza ordine.
Il valore rappresenta le coppie distinte possibili.
Si dispone di 6 studenti e si devono scegliere un delegato e un vice tra persone diverse.
Si tratta di un caso di disposizioni semplici cioè scelte ordinate senza ripetizione.
L’incognita è il numero di modi possibili. Il metodo corretto è il principio del prodotto con ordine rilevante.
Per il primo incarico si hanno possibilità. Per il secondo ne restano .
Si ottengono quindi assegnazioni diverse.
Il risultato finale è 30 modi.
Errore comune: contare anche la coppia invertita come uguale.
Si scelgono 3 libri tra 5 disponibili, senza considerare l’ordine.
Si tratta di combinazioni cioè gruppi in cui l’ordine non conta.
L’incognita è il numero dei gruppi possibili. Il metodo usa il coefficiente binomiale.
Si calcola e .
Esistono quindi scelte possibili.
Il risultato finale è 10 combinazioni.
Errore comune: moltiplicare ancora per l’ordine interno dei libri.
Si vuole formare un codice di 4 cifre usando le cifre 1, 2, 3 e 4, con ripetizione ammessa.
Si tratta di disposizioni con ripetizione cioè scelte ordinate in cui lo stesso elemento può comparire più volte.
L’incognita è il numero dei codici possibili. Il metodo è il prodotto di 4 scelte indipendenti.
Per ogni posizione ci sono possibilità.
Si calcola .
Il risultato finale è 256 codici.
Errore comune: usare il fattoriale al posto della potenza.
Si considerino le lettere della parola ANNA.
Si tratta di una permutazione con ripetizione cioè un riordinamento con elementi uguali.
L’incognita è il numero di anagrammi distinti. Il metodo divide il fattoriale totale per i fattoriali delle ripetizioni.
Si calcola e .
Si ottengono quindi anagrammi distinti.
Il risultato finale è 12 permutazioni diverse.
Errore comune: considerare diverse le due N identiche.
Usare le combinazioni anche quando l’ordine delle scelte cambia il risultato.
Usare le disposizioni quando l’ordine conta, e le combinazioni quando l’ordine non conta.
La differenza tra disposizioni e combinazioni dipende dall’ordine. Se due selezioni con gli stessi elementi ma in ordine diverso sono diverse, si usano le disposizioni.
Scrivere come se significasse oppure .
Definire il fattoriale come .
Il fattoriale, cioè il prodotto di tutti i numeri interi positivi fino a , non è una potenza. Serve per contare permutazioni e altre disposizioni complete.
Applicare sempre la formula con fattoriali senza chiedersi se si ripete un elemento.
Controllare prima se gli elementi sono tutti distinti oppure se ci sono ripetizioni.
Nelle permutazioni con ripetizione si divide per i fattoriali delle ripetizioni. Ignorare questo passaggio porta a conteggi troppo grandi.
Pensare che l’ordine conti sempre nel calcolo combinatorio.
Verificare ogni volta se il problema richiede solo la scelta degli elementi oppure anche la loro disposizione.
L’ordine conta nelle disposizioni e nelle permutazioni. Nelle combinazioni conta solo il gruppo scelto, non la posizione interna.
Confondere il coefficiente binomiale con una formula generica qualsiasi e usarlo senza significato.
Usare come numero di modi per scegliere elementi tra senza ordine.
Il coefficiente binomiale, cioè il numero di sottoinsiemi di ampiezza , descrive una scelta non ordinata. È il simbolo giusto quando si selezionano elementi senza distinguerne la posizione.
Moltiplicare i fattori in modo errato nel principio del prodotto, ad esempio sommando le possibilità di scelte successive.
Moltiplicare il numero di possibilità di ogni scelta successiva.
Nel principio del prodotto, cioè nelle scelte successive moltiplicabili, le fasi indipendenti si combinano con un prodotto. Sommare si usa solo quando si tratta di casi alternativi, non consecutivi.
La differenza sta nell'ordine: nelle disposizioni l'ordine conta, nelle combinazioni no.
Si usano le disposizioni quando si scelgono elementi e la posizione modifica il risultato.
Il fattoriale è il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 fino a un numero dato.
Si scrive con il simbolo e si definisce per convenzione .
L'ordine conta quando cambiare posizione agli elementi produce un risultato diverso.
Accade nelle permutazioni e nelle disposizioni, mentre nelle combinazioni l'ordine non è rilevante.
Il coefficiente binomiale è il numero di modi per scegliere elementi da senza considerare l'ordine.
Si indica con e coincide con una combinazione.
Si usano le permutazioni quando si ordinano tutti gli elementi, le disposizioni quando si scelgono alcuni elementi con ordine, le combinazioni quando l'ordine non conta.
La scelta corretta dipende da due domande: conta l'ordine e si possono ripetere gli elementi.
Negli esercizi di calcolo combinatorio si traduce il testo in una scelta precisa di oggetti, ordine e ripetizione.
Poi si seleziona la formula adatta e si controlla il risultato con un caso numerico semplice.
