L’autoinduzione è il fenomeno per cui un circuito percorso da corrente variabile genera su se stesso una forza elettromotrice indotta. L’induttanza, cioè il coefficiente di autoinduzione, misura quanto un circuito si oppone alle variazioni di corrente.
| Grandezza | Simbolo | Formula | Unità SI |
|---|---|---|---|
| Flusso concatenato | |||
| Coefficiente di autoinduzione | |||
| Forza elettromotrice autoindotta | |||
| Induttanza del solenoide | |||
| Energia immagazzinata | |||
| Circuito | , |
L’autoinduzione, cioè il fenomeno per cui una corrente variabile in un circuito produce su quello stesso circuito una f.e.m., nasce perché il campo magnetico non resta fisso.
Quando la corrente varia, varia anche il flusso magnetico concatenato con le spire. Per questo il circuito reagisce alla propria variazione di corrente.
Si consideri un caso semplice. Se e , allora il flusso vale . Se il flusso cambia, il circuito risponde con una f.e.m. indotta.
Il coefficiente di autoinduzione, cioè l’induttanza, misura quanto un circuito si oppone alle variazioni della propria corrente.
Si definisce come rapporto tra il flusso concatenato totale e la corrente che lo genera. La dipendenza è lineare solo in regime ordinario.
Si consideri un circuito con spire, per spira e . Si ottiene . L’unità di misura è l’henry, cioè l’unità del Sistema Internazionale per l’induttanza.
Un henry corrisponde a una situazione in cui una variazione di corrente di produce una f.e.m. di in valore assoluto.
La forza elettromotrice, cioè la tensione capace di mettere in moto le cariche, compare perché il circuito si oppone alla variazione che l’ha generata.
Si applica la legge di Lenz, cioè la regola secondo cui l’effetto indotto si oppone alla variazione di flusso che lo produce.
Il segno meno indica opposizione. Se e , allora . Il valore assoluto è .
Si consideri un circuito con induttanza e variazione di corrente .
La f.e.m. autoindotta vale dunque in valore assoluto, e si oppone alla crescita della corrente.
Il solenoide, cioè una bobina lunga con molte spire ravvicinate, è il modello più usato per studiare l’induttanza.
Qui il campo magnetico interno è quasi uniforme. Per questo l’induttanza dipende dalla geometria e dal materiale.
Si indica con il numero di spire per unità di lunghezza e con il volume del solenoide. Se e , allora .
[IMMAGINE: Schema di un solenoide con spire, verso della corrente i, linee di campo magnetico interne quasi parallele, flusso Φ, numero di spire N, lunghezza ℓ, area di sezione S e etichetta del volume Vs]
L’energia immagazzinata, cioè l’energia del campo magnetico creato dalla corrente, spiega perché l’induttore si comporta come un serbatoio di energia.
Più corrente circola, più energia viene accumulata. Il legame è quadratico, quindi raddoppiare la corrente quadruplica l’energia.
Se e , allora . Si osserva che l’energia cresce con il quadrato della corrente.
Un circuito RL, cioè un circuito con resistenza e induttanza, non cambia corrente istantaneamente.
La ragione fisica è semplice: l’induttore si oppone alle variazioni di corrente. Per questo compaiono transitori esponenziali.
Durante la crescita, la corrente tende al valore finale . Se e , allora . Dopo un tempo pari a una costante di tempo, la corrente ha già raggiunto una parte significativa del valore finale.
In fase di spegnimento, la corrente decresce secondo una legge esponenziale simile. La bobina tenta di mantenere la corrente circolante.
In sintesi, l’induttore non si limita a condurre corrente. Memorizza energia e reagisce alle variazioni.
L’autoinduzione, cioè il fenomeno per cui una corrente variabile genera nel medesimo circuito una f.e.m. opposta, si descrive con l’induttanza.
L’induttanza, cioè il coefficiente di autoinduzione, misura quanto un circuito si oppone alle variazioni di corrente.
Nella formula, si misura in , è il numero di spire, è il flusso magnetico in e è la corrente in .
Questa relazione vale quando il flusso concatenato è proporzionale alla corrente. Si usa spesso per definire il circuito lineare.
Si consideri una bobina con e flusso concatenato totale .
Si ha se la corrente vale .
L’induttanza risulta pari a . Il circuito mostra una risposta moderata alle variazioni di corrente.
La f.e.m., cioè la forza elettromotrice autoindotta, si misura in . La derivata indica quanto rapidamente varia la corrente.
Il segno meno esprime la legge di Lenz, cioè la tensione indotta si oppone alla variazione che la produce.
Nella formula si riconoscono in , in e in .
[IMMAGINE: Circuito RL con generatore, resistenza, induttore, corrente i(t) e verso della f.e.m. autoindotta opposto alla variazione di corrente]
[IMMAGINE: Grafico qualitativo di i(t) in un circuito RL: crescita esponenziale verso il valore finale e decrescita esponenziale allo spegnimento]
Per un aumento lineare della corrente, per esempio da a in , si ottiene .
Con , la f.e.m. vale .
Il valore assoluto indica l’intensità della reazione del circuito. Il segno indica il verso, non l’energia.
Nel solenoide, cioè una bobina lunga e stretta, è il numero di spire per unità di lunghezza in , mentre è il volume interno in .
La costante è la permeabilità del vuoto in .
La formula mostra che l’induttanza cresce con il volume del solenoide e con il quadrato della densità di spire.
Per esempio, se e , allora si ottiene un’induttanza dell’ordine di .
La relazione inversa è utile quando si cerca la geometria del solenoide a partire da .
L’energia immagazzinata in un induttore, cioè l’energia del campo magnetico associato alla corrente, si misura in .
La grandezza dipende da e dal quadrato di . Se una bobina ha e , si ha .
Questa energia non si dissipa nell’induttore ideale. Si accumula nel campo magnetico e può restituirsi al circuito.
Nel circuito RL, cioè un circuito con resistenza e induttore, la corrente non varia istantaneamente.
In fase di crescita, la corrente segue una legge esponenziale con costante di tempo .
Per esempio, con e , si ottiene .
In fase di spegnimento, la corrente decresce con la stessa costante di tempo. La variazione è rapida all’inizio e poi rallenta.
Le formule precedenti descrivono i casi base. In applicazioni reali si usano anche forme inverse e relazioni operative.
La formula si può riscrivere come .
Questa forma è utile quando si conoscono induttanza e corrente. Per esempio, con e , si ottiene .
Si osserva che il flusso concatenato cresce in modo proporzionale alla corrente solo nel regime lineare.
La relazione si può invertire come .
Per esempio, se e , si ricava .
La forma inversa è utile nei transitori, cioè nei passaggi tra due stati elettrici diversi.
Si consideri un induttore con e corrente .
L’energia immagazzinata vale e quindi .
Se inoltre , la costante di tempo del circuito RL è .
L’energia e il tempo caratteristico descrivono aspetti diversi dello stesso induttore. Il primo riguarda il campo, il secondo il transitorio.
L’induttore reale può presentare anche perdite resistive. Il modello ideale però conserva le relazioni riportate.
Per sintesi operativa, si ricordi che l’induttanza misura la resistenza alle variazioni di corrente, mentre l’energia misura il campo accumulato.
Si determina la f.e.m. autoindotta, cioè la tensione generata dalla variazione della corrente nello stesso circuito, in una bobina ideale.
[IMMAGINE: Bobina in un circuito chiuso con corrente i(t) variabile, verso della f.e.m. autoindotta ε opposto alla variazione, frecce di corrente e di flusso magnetico Φ.]
Dati: induttanza = 0,80 ; variazione di corrente da 2,0 a 5,0 in 0,20 .
Si cerca la f.e.m. media autoindotta. Il metodo usa la formula , cioè il rapporto tra variazione di corrente e intervallo di tempo.
Si calcola = 5,0 - 2,0 = 3,0 e poi .
Il segno negativo indica opposizione alla crescita della corrente. Il valore assoluto è .
Risultato: la f.e.m. autoindotta vale in modulo.
Errore comune: dimenticare il segno meno della legge di Lenz e scrivere una f.e.m. con lo stesso verso della variazione di corrente.
Si calcola l’induttanza, cioè la capacità di un circuito di opporsi alle variazioni di corrente tramite il proprio campo magnetico, di un solenoide lungo.
[IMMAGINE: Solenoide cilindrico lungo, con N spire, lunghezza ℓ, sezione S, verso del campo magnetico B interno e densità di spire n = N/ℓ.]
Dati: numero di spire = 800; lunghezza = 0,50 ; sezione = 4,0 \times 10^{-4} .
Si usa la formula del solenoide, cioè , con e .
Si ottiene e .
Il valore trovato mostra che un solenoide fitto può avere induttanza elevata. Il coefficiente di autoinduzione dipende da geometria e materiale.
Risultato: l’induttanza del solenoide è .
Errore comune: usare il numero totale di spire al posto di , che è il numero di spire per unità di lunghezza.
Si determina l’energia magnetica, cioè l’energia accumulata nel campo generato dalla corrente, immagazzinata da un induttore.
[IMMAGINE: Induttore in serie con generatore, frecce del campo magnetico nel nucleo, indicazione dell’energia E immagazzinata nel campo.]
Dati: induttanza = 0,25 ; corrente = 4,0 .
Si applica la formula dell’energia nell’induttore, cioè .
Si sostituiscono i valori: .
L’energia cresce con il quadrato della corrente. Se la corrente raddoppia, l’energia quadruplica.
Risultato: l’energia immagazzinata vale .
Errore comune: dimenticare il quadrato sulla corrente e calcolare solo proporzionalmente a .
Si studia il transitorio, cioè il regime temporaneo durante il quale la corrente non ha ancora raggiunto il valore finale, in un circuito RL.
[IMMAGINE: Circuito RL in serie con generatore, resistenza R, induttore L, grafico della corrente i(t) crescente verso il valore finale, indicazione della costante di tempo τ.]
Dati: = 10 ; = 2,0 ; tensione del generatore = 20 .
Si cerca la costante di tempo e la corrente dopo un tempo pari a una costante di tempo. Il metodo usa e .
La corrente finale vale .
La corrente non cresce istantaneamente perché l’induttore si oppone alla variazione. Dopo una costante di tempo si raggiunge circa il 63% del valore finale.
Risultato: dopo la corrente vale circa .
Errore comune: confondere la costante di tempo con il tempo necessario per raggiungere la corrente finale.
L’autoinduzione è un effetto tra due circuiti diversi.
L’autoinduzione è un effetto del circuito su sé stesso.
Si genera una f.e.m. quando la corrente nel circuito varia nel tempo. Il campo magnetico variabile prodotto dal circuito induce una reazione nello stesso circuito.
Il coefficiente di autoinduzione si scrive e non dipende dal numero di spire.
Si usa , dove è il numero di spire.
L’errore nasce dal confondere il flusso di una singola spira con il flusso concatenato. Il coefficiente di autoinduzione misura quanto flusso totale si associa alla corrente.
L’induttanza di un solenoide è oppure .
Per un solenoide lungo si usa .
La dipendenza corretta è quadratica in , cioè nelle spire per unità di lunghezza. Un controllo rapido delle dimensioni aiuta a evitare formule incomplete.
La f.e.m. autoindotta si calcola con , senza segno meno.
La formula corretta è .
Il segno meno esprime la legge di Lenz, cioè la opposizione alla variazione di corrente. Se la corrente cresce, la f.e.m. tende a contrastarla.
L’energia in un induttore è oppure dipende solo da .
L’energia immagazzinata è .
L’energia cresce con il quadrato della corrente e anche con l’induttanza. Dimenticare il fattore porta a un valore doppio del reale.
Nei circuiti la corrente varia in modo lineare nel tempo.
Nei transitori la corrente varia esponenzialmente nel tempo.
La presenza dell’induttore rende la risposta del circuito non lineare nel tempo. Si riconosce la legge esponenziale nelle fasi di crescita e decrescita della corrente.
L’autoinduzione è il fenomeno per cui una corrente variabile in un circuito genera in quello stesso circuito una f.e.m. opposta.
La f.e.m., cioè la forza elettromotrice, nasce perché varia il flusso magnetico concatenato con il circuito.
Il coefficiente di autoinduzione, cioè l’induttanza, misura quanto un circuito si oppone alla variazione della corrente.
Si definisce con il rapporto tra flusso concatenato e corrente.
L’induttanza di un solenoide vale , dove è il numero di spire per unità di lunghezza.
Questa espressione mostra che l’induttanza cresce con la densità di spire e con il volume del solenoide.
La forza elettromotrice autoindotta si calcola con la legge di Lenz applicata alla variazione di corrente.
Il segno meno indica che la f.e.m. si oppone alla variazione che la produce.
L’energia immagazzinata in un induttore è l’energia del campo magnetico creato dalla corrente nel circuito.
Essa cresce con il quadrato della corrente, quindi raddoppiare quadruplica l’energia.
L’induttore in un circuito si oppone alle variazioni rapide di corrente e rende i transitori più lenti.
Per questo si osservano crescite e decrescite esponenziali della corrente nei circuiti RL.
L’induttanza si misura in henry, cioè H, perché lega flusso concatenato e corrente con una costante di proporzionalità dimensionale.
Un henry corrisponde a una situazione in cui una variazione di corrente di 1 A/s induce una f.e.m. di 1 V.
