L’area di una regione piana si calcola con un integrale definito quando la funzione rappresenta un’altezza positiva rispetto all’asse . Se la funzione assume valori negativi, si considera il valore assoluto oppure si scompone la regione in tratti.
| Caso | Formula | Condizioni / note |
|---|---|---|
| Area sotto una curva | Valida se nell’intervallo. | |
| Funzione negativa | Si usa quando il grafico sta sotto l’asse . | |
| Area tra due curve | Serve in . | |
| Estremi di integrazione | Zeri e intersezioni | Gli estremi si trovano dai punti in cui le funzioni si annullano o si incontrano. |
| Figura composta | Somma o differenza di integrali | Si scompone la regione in parti più semplici. |
| Integrale e area | Coincidono solo se la funzione è non negativa su tutto l’intervallo. |
Il problema delle aree nasce quando un rettangolo non basta più. Si vuole misurare lo spazio tra un grafico e l'asse, oppure tra due grafici.
L’idea è sommare tanti rettangolini sottilissimi. Quando la loro larghezza tende a zero, la somma diventa un integrale definito, cioè una misura continua dell’area.
Questo metodo funziona perché l’area non si calcola punto per punto. Si accumula invece il contributo di ogni intervallo piccolo.
Per esempio, se nell’intervallo , si ottiene . L’area vale quindi .
[IMMAGINE: Grafico cartesiano con la curva f(x) = x^2 tra x = 0 e x = 2, area sottesa colorata, rettangolini di Riemann sottili, assi etichettati x e y, punti (0,0) e (2,4) evidenziati]
Quando la funzione resta sopra l’asse x, l’integrale definito coincide con l’area geometrica. In questo caso non serve correggere il segno.
La condizione è in tutto l’intervallo. Allora l’area sotto la curva si scrive come integrale definito.
Per esempio, con su , si ha . L’area vale quindi .
L’interpretazione geometrica è diretta. Ogni contributo infinitesimo è positivo, quindi la somma totale misura davvero una superficie.
Se il grafico scende sotto l’asse x, l’integrale cambia segno. L’area geometrica non può però essere negativa.
Per questo si usa il valore assoluto della funzione. In questo modo ogni tratto contribuisce con grandezza positiva.
Per esempio, se su , allora . L’area geometrica è quindi .
In termini intuitivi, si calcola la superficie come se il grafico fosse ribaltato sopra l’asse x. Il segno non interessa più, interessa solo la distanza dall’asse.
Quando due curve delimitano una regione, non si misura più il territorio sotto un solo grafico. Si misura invece lo spazio compreso tra una curva superiore e una inferiore.
Si sceglie la funzione più alta e si sottrae quella più bassa. Questo dà l’altezza di ciascuna striscia verticale.
Per esempio, tra e su , si ha . L’area vale quindi .
La formula funziona perché ogni striscia ha altezza pari alla differenza tra ordinata superiore e inferiore. Sommare tali differenze produce l’area complessiva.
Gli estremi non si scelgono a caso. Si ricavano dai punti in cui la regione comincia e finisce lungo l’asse x.
Nelle aree sotto curva, gli estremi coincidono spesso con i valori dati dal problema. Nelle aree tra curve, invece, si trovano gli zeri delle differenze tra funzioni.
Per esempio, per capire dove due curve si incontrano, si risolve . I punti trovati delimitano la regione da integrare.
Per esempio, se e , si risolve , cioè . Gli estremi sono e .
In generale, gli zeri indicano dove un grafico taglia l’asse o dove due curve si incontrano. Quei punti spezzano il problema in intervalli più semplici.
Molte regioni non sono regolari per tutto l’intervallo. In questi casi si divide la figura in pezzi semplici e si sommano gli integrali corrispondenti.
Se una parte sta sopra l’asse e una parte sotto, si somma il contributo positivo e si corregge quello negativo con il valore assoluto o con la differenza tra curve.
Per esempio, se una regione è formata da due tratti, con aree e , l’area totale è .
Se invece si passa da un tratto sopra l’asse a uno sotto l’asse, si integra separatamente ogni parte. In questo modo il segno non altera il risultato geometrico finale.
Questo approccio è utile quando il grafico cambia comportamento in più punti. Si ottiene una somma di aree elementari, ciascuna facile da trattare.
Il risultato finale rappresenta l’area della figura intera, non la somma algebrica dei segni. Questa distinzione è essenziale nel calcolo delle aree con integrali.
Si consideri la regione delimitata da due funzioni che si incontrano in due punti.
Si calcolano prima gli estremi risolvendo e si divide l’intervallo nei tratti utili.
La formula cambia quando le curve si scambiano di posizione. Si integra sempre la distanza positiva tra le due funzioni.
Il valore finale è l’area geometrica totale.
L'areasottesa da una curva, cioè la regione compresa tra il grafico e l'asse delle ascisse, si calcola con un integrale definito quando la funzione è non negativa.
Si considerano gli estremi e come ascisse dei punti di inizio e fine del tratto studiato. Si richiede in tutto l'intervallo.
Si consideri nell'intervallo .
Si calcola . L'area vale quindi unità quadrate.
Se la funzione assume valori negativi, l'area geometrica non coincide con il valore dell'integrale. In questo caso si usa il valore assoluto.
Il simbolo indica che ogni tratto sotto l'asse viene contato come positivo. Si ottiene così l'area geometrica reale.
Si consideri in .
Si ottiene . L'area vale unità quadrate.
L'area tra due curve, cioè la regione compresa tra i grafici di due funzioni, si calcola sottraendo la funzione inferiore da quella superiore.
La funzione rappresenta il grafico superiore e quello inferiore. Anche qui gli estremi e devono delimitare il tratto comune.
Si considerino e in .
Si calcola . L'area della figura è .
Gli estremi di integrazione si trovano spesso dagli zeri delle funzioni. Si determinano i punti di intersezione o gli zeri del grafico, poi si dividono gli intervalli necessari.
Se le funzioni si incontrano in più punti, l'area si calcola per tratti. In ogni tratto si stabilisce quale curva sta sopra e quale sta sotto.
Si considerino e .
Le intersezioni sono e . L'area si studia nell'intervallo .
Per una figura composta da più parti, l'area totale si ottiene come somma o differenza di integrali su intervalli diversi.
Se una parte è sopra l'asse e un'altra sotto, si sommano i valori assoluti delle singole aree. Questo evita cancellazioni algebriche indesiderate.
Si studi in e in .
Si ottiene . L'area totale vale unità quadrate.
Si calcoli l'area compresa tra il grafico di e l'asse delle ascisse nell'intervallo .
Si tratta di un'area sotto una curva, cioè dell'area delimitata dal grafico e dall'asse .
La funzione è non negativa in tutto l'intervallo, quindi l'area coincide con l'integrale definito.
Si calcola una primitiva di , cioè .
Il valore numerico è , cioè circa unità di area.
L'area è \frac{8}{3} unità di area.
Errore comune: scrivere il valore assoluto anche quando la funzione è già positiva.
Si calcoli l'area compresa tra il grafico di e l'asse delle ascisse nell'intervallo .
In parte dell'intervallo la funzione è negativa, cioè sotto l'asse .
Per una funzione negativa, l'area si calcola con il valore assoluto dell'integranda.
Si osserva che per , mentre per .
La somma vale unità di area.
L'area è 1 unità di area.
Errore comune: confondere l'integrale con l'area senza correggere il segno.
Si determini l'area della regione compresa tra e nell'intervallo delimitato dai punti di intersezione.
[IMMAGINE: Piano cartesiano con le curve y=x^2 e y=x, punti di intersezione (0,0) e (1,1) evidenziati, regione compresa tra le due curve colorata]
Si cercano prima gli estremi di integrazione, cioè gli zeri di .
Le intersezioni si trovano risolvendo , quindi .
Nell'intervallo si ha , quindi la funzione superiore è .
La regione ha area \frac{1}{6} unità di area.
Errore comune: sottrarre le curve nell'ordine sbagliato e ottenere un'area negativa.
Si calcoli l'area della regione compresa tra l'asse , il grafico di e il grafico di nell'intervallo .
Il metodo consiste nel sommare e sottrarre integrali su sottointervalli, cioè dove cambia il segno o la curva superiore.
Si trovano prima gli zeri di , cioè .
Nel primo tratto la funzione è sopra l'asse , nel secondo tratto è sotto l'asse .
La somma dei contributi fornisce l'area totale richiesta. Il risultato finale è .
L'area complessiva è 3+\frac{2\sqrt{2}}{3} unità di area.
Errore comune: integrare su tutto l'intervallo senza spezzare nei punti in cui cambia il segno.
Scrivere anche quando in parte dell’intervallo.
Se si cerca un’area geometrica, si usa oppure si divide l’intervallo nei tratti di segno costante.
L’integrale definito può dare un valore negativo. L’area geometrica, cioè la misura della regione, non può essere negativa. Si controlla sempre il segno della funzione prima di applicare la formula.
Usare senza verificare quale curva sta sopra.
Se nell’intervallo, si calcola .
La differenza tra le curve deve essere presa come funzione superiore meno funzione inferiore. Se l’ordine è invertito, il risultato cambia segno e non rappresenta l’area. Si confrontano sempre i grafici prima del calcolo.
Pensare che l’area con funzione negativa coincida con l’integrale della funzione.
Se la funzione è negativa, l’area si ottiene con il valore assoluto oppure cambiando segno: quando .
L’integrale misura area algebrica, cioè area con segno. Una parte sotto l’asse sottrae invece di aggiungere. Si separano quindi i tratti positivi da quelli negativi.
Credere che l’area sia uguale all’integrale in ogni situazione.
L’area coincide con l’integrale solo quando la funzione è non negativa nell’intervallo: per ogni .
L’uguaglianza vale solo se il grafico resta sopra l’asse delle ascisse. Se il grafico scende sotto l’asse, l’integrale non rappresenta più l’area geometrica. Si verifica sempre il segno prima di concludere.
Scegliere gli estremi di integrazione in modo arbitrario, senza cercare gli zeri delle funzioni.
Gli estremi si determinano dai punti di intersezione con l’asse o tra le curve, risolvendo le equazioni oppure .
Gli zeri delimitano spesso la regione da misurare. Se gli estremi sono sbagliati, cambia anche la parte di piano considerata. Si disegna sempre il grafico prima di impostare l’integrale.
Sommare due integrali separati senza controllare come è fatta una figura delimitata da due funzioni.
Per una figura composta si scompone la regione in parti semplici e si sommano o sottraggono gli integrali corretti.
Una sola formula non basta sempre. Se le curve si incrociano o il bordo cambia, l’area va spezzata in intervalli diversi. Si lavora per tratti e si controlla ogni zona separatamente.
L'area si calcola con un integrale definito, cioè con la somma dei contributi infinitesimi della funzione sull'intervallo scelto.
Per esempio, se in , si ottiene .
L'area tra due curve si calcola come differenza tra funzione superiore e funzione inferiore, cioè tra il grafico sopra e quello sotto.
Per esempio, se e in , allora .
Con una funzione negativa si usa il valore assoluto, cioè si trasforma il contributo sotto l'asse in contributo di area positivo.
Per esempio, se in , allora .
L'area è uguale all'integrale quando la funzione è non negativa nell'intervallo, cioè quando il grafico resta sopra o sull'asse x.
Per esempio, se in , allora l'integrale coincide con l'area, perché .
L'area di una figura delimitata da due funzioni si calcola trovando i punti di intersezione e integrando la differenza tra le curve.
Per esempio, se le curve si incontrano in e , allora gli estremi di integrazione si ricavano proprio da quei due valori.
Gli estremi di integrazione si trovano risolvendo l'equazione di intersezione, cioè imponendo l'uguaglianza tra le due funzioni.
Per esempio, se e , si risolve , ottenendo e .
L'area di una figura composta si ottiene sommando o sottraendo integrali, cioè dividendo la figura in parti più semplici.
Per esempio, se una regione si divide in due zone adiacenti, si calcolano i due integrali separati e poi si sommano.
