Archi associati

Cosa sono gli archi associati

Sappiamo che le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche con periodo $2\pi$ e per questo possiamo aggiungere multipli di $\displaystyle { 2\pi }$ (il periodo) all'argomento senza cambiare il risultato:

$\cos(x) = \cos(x+2\pi)$

Perciò, se trovo un seno o un coseno con argomento pari a $2\pi + \alpha,$ posso ricondurlo facilmente a qualcosa che contiene soltanto $\alpha$ nell'argomento.

Oltre a $2\pi + \alpha,$ esistono molti altri valori che godono di questa proprietà e prendono il nome di archi associati.

Perciò, adesso vedremo quali sono questi archi associati e come usarli per semplificare le nostre funzioni goniometriche. Per farlo, ci conviene dividere in due casi:

Primo caso

Il primo caso è formato dagli angoli che otteniamo cambiando il segno o sommando e sottraendo multipli di pi greco.

Dunque avremo argomenti del tipo:

• $\pm \alpha$

• $\pm 2\pi \pm \alpha$

• $\pm \pi \pm \alpha$
  

In tal caso, possiamo sempre riscriverla come la stessa funzione ma con argomento $\alpha,$ stando però attenti al segno.

Quindi, se per esempio incontrassimo $\cos(\pi - \alpha)$ sappiamo che possiamo sicuramente riscriverlo o come $\cos(\alpha),$ oppure come $-\cos(\alpha).$

Ma come capire che segno mettere? Per scoprirlo ci basta seguire il seguente procedimento:

1. Tracciamo la circonferenza goniometrica (ovvero la circonferenza di raggio $1$).
2. Supponiamo che $\alpha$ si trovi nel primo quadrante.
3. Vediamo che segno ha la funzione di partenza (nel nostro caso sarebbe $\cos(\pi -\alpha)$).

Dunque tracceremo un grafico del genere:

Se il segno della funzione di partenza è positivo, allora prenderemo la funzione positiva, cioè $\cos(\alpha);$ se è negativo, allora prenderemo la funzione negativa, cioè $-\cos(\alpha).$

Nel nostro esempio, notiamo che il segno di $\cos(\pi -\alpha)$ è negativo, quindi prenderemo la funzione con il meno davanti. Avremo dunque che:

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$

Vediamo un altro esempio per maggiore chiarezza:

Utilizziamo gli archi associati per semplificare $\tan(-\alpha).$

Il suo argomento rientra nel primo caso, dunque sarà uguale o a $\tan(\alpha),$ oppure a $-\tan(\alpha).$

Per capire quale delle due sia quella giusta, tracciamo il grafico:

Notiamo che il segno è negativo, dunque dovremo avere:

$\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$

Secondo caso

Il secondo caso è formato dai valori che otteniamo sommando multipli dispari di pi greco mezzi.

Dunque avremo argomenti del tipo:

• $\pm \alpha \pm {\pi\over 2}$

• $\pm \alpha \pm {3\pi\over 2}$

Il procedimento è lo stesso identico di prima, ma invece che lasciare la stessa funzione goniometrica, dobbiamo mettere la sua funzione complementare. Quindi se abbiamo il seno, metteremo il coseno; se abbiamo la cosecante metteremo la secante e così via.

Vediamo un esempio:

Usiamo gli archi associati per semplificare $\cos(\alpha - {\pi \over 2}).$

Per quanto abbiamo detto prima, al posto del coseno dovremo mettere il seno; mentre per vedere il segno procediamo esattamente come abbiamo fatto le altre volte:

Si trova nel quarto quadrante e il coseno è positivo in esso, dunque dobbiamo mettere il più:

$\displaystyle { \cos(\alpha - {\pi \over 2}) = + \sin (\alpha) }$

Ricordatevi che quando tracciate il grafico dovete guardare al segno della funzione che avevate all'inizio, in questo caso il coseno, e non della funzione che ottenete alla fine (in questo caso il seno).

Quindi, ricapitolando, se aggiungiamo o sottraiamo un numero intero di pi grechi, allora rientriamo nel primo caso e la funzione rimane la stessa, dobbiamo solo trovare il segno.

Se, invece, aggiungiamo o sottraiamo dei pi grechi mezzi ( $\displaystyle { {\pi\over 2}, {3\pi\over 2}, {5\pi \over 2},... }$ ), dobbiamo cambiare la funzione con la sua complementare (seno-coseno, tangente-cotangente, secante-cosecante) e poi dobbiamo trovare il segno.

Per completezza, riportiamo di seguito una tabella con tutti i principali archi associati divisi nei due casi:

Primo caso

Secondo caso