Archi associati
Di seguito analizzeremo gli archi associati.
Cosa devo già sapere?
Cosa sono gli archi associati
Sappiamo che le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche con periodo 2\pi e per questo possiamo aggiungere multipli di 2\pi all'argomento senza cambiare il risultato:
\cos(x) = \cos(x+2\pi)
Se invece sommo o sottraggo multipli di {\pi\over 2} il risultato cambia, ma esistono comunque delle semplici relazioni. Se quindi ho un angolo \alpha, avremo degli archi associati (o angoli associati) come \alpha + {\pi \over 2}, \alpha - \pi o altri le cui funzioni goniometriche sono legate da semplici relazioni.
Dividiamo in due casi:
Primo caso
Se l'argomento è del tipo:
\pm \alpha
oppure:
\pm 2\pi \pm \alpha
o
\pm \pi \pm \alpha
allora è uguale a più o meno la funzione goniometrica. Vediamo un esempio:
Semplifichiamo questo:
\cos(\pi - \alpha)
Siccome l'argomento rientra nei casi di prima, sappiamo che è uguale o \cos(\alpha) o a -\cos(\alpha). Come fare?
Basta supporre che \alpha si trovi nel primo quadrante e vedere che segno ha \cos(\pi -\alpha):
Il segno di \cos(\pi -\alpha) è negativo, quindi dovremo mettere meno:
\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)
Se, ad esempio, abbiamo \tan(- \alpha), siccome il suo argomento rientra in quelli di prima, dobbiamo solo trovare il segno:
Notiamo che il segno è negativo, dunque dovremo avere:
\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)
Secondo caso
L'argomento può inoltre essere del segunte tipo:
\pm \alpha \pm {\pi\over 2}
\pm \alpha \pm {3\pi\over 2}
Il procedimento è lo stesso identico di prima, ma invece che lasciare la stessa funzione goniometrica, dobbiamo mettere la sua funzione complementare. Quindi se abbiamo il seno, metteremo il coseno, se abbiamo la cosecante metteremo la secante e così via.
Vediamo un esempio. Semplifichiamo questo:
\cos(\alpha - {\pi \over 2})
Al posto del coseno dovremo mettere il seno. Vediamo in quale quadrante finisce l'angolo per decidere il segno:
Si trova nel quarto quadrante ed il coseno è positivo in esso, dunque dobbiamo mettere il più:
\cos(\alpha - {\pi \over 2}) = + \sin (\alpha)
Quindi, ricapitolando, se aggiungiamo o sottraiamo un numero intero di pi grechi, allora rientriamo nel primo caso e la funzione rimane la stessa, dobbiamo solo trovare il segno.
Se, invece, aggiungiamo o sottraiamo dei pi grechi mezzi ({\pi\over 2}, {3\pi\over 2}, {5\pi \over 2},...), dobbiamo cambiare la funzione con la sua complementare (seno-coseno, tangente-cotangente, secante-cosecante) e poi dobbiamo trovare il segno.