Scomposizione dei polinomi
Di seguito vedremo i metodi.
Cosa devo già sapere?
Scomposizione dei polinomi
Scomporre un polinomio consiste nel riscriverlo come un prodotto tra polinomi di grado inferiore.
Molto spesso, può capitare di ritrovarsi a fare calcoli con polinomi di grado molto alto e che sono quindi molto difficili da maneggiare. Scomporre un polinomi può aiutare a semplificare i calcoli. Vediamo qualche esempio:
Esempi:
{\tiny{•}} \, \, x^2-4 \longrightarrow (x-2)(x+2)
{\tiny{•}} \, \, 3a^3-24 \longrightarrow 3(a-2)(a^2+2a+4)
{\tiny{•}}\, \, x^2-6x+9\longrightarrow (x-3)^2
Metodi di scomposizione
Per scomporre un polinomio ci sono varie alternative che sono più o meno frequenti a seconda dei casi.
I metodi che affronteremo sono quello del raccoglimento totale e parziale, il metodo di Ruffini, che trovate spiegato qui, la regola del trinomio notevole (o speciale) e le regole dei prodotti notevoli.
Di seguito troverete una spiegazione dettagliata di ogni metodo, tranne quello di Ruffini che trovate spiegato nella sua lezione apposita.
Raccoglimento totale (o a fattor comune)
Il raccoglimento totale è una tecnica di scomposizione dei polinomi che permette di raccogliere un fattore comune (se presente) tra tutti i termini di un polinomio.
Per effettuare un raccoglimento totale bisogna prima verificare se i termini del polinomio abbiano uno o più fattori comuni e effettuare la divisione tra il polinomio e questi fattori.
Una volta fatto questo basterà riscrivere il polinomio come prodotto tra i fattori comuni e il risultato della divisione.
Il risultato sarà una moltiplicazione tra polinomio e monomio (o tra polinomio e polinomio, ma è più raro).
Esempi:
{\tiny{•}} \, \, 6x^2-2x+4x^4 \longrightarrow 2x(3x-1+2x^2) Fattore comune: 2x
{\tiny{•}} \, \, x^3-x^2-x \longrightarrow x(x^2-x-1) Fattore comune: x
{\tiny{•}} \, \, 3ab-4a^2b^2+ab \longrightarrow ab(3-4ab+1) Fattore comune: ab
{\tiny{•}} \, \, 2x-4y+6 \longrightarrow 2(x-2y+3) Fattore comune: 2
Raccoglimento parziale
Il raccoglimento parziale consiste nel suddividere il polinomio in coppie di termini con uno o più fattori in comune, raccogliere i fattori in comune in ogni coppia e poi raccogliere i fattori in comune del nuovo polinomio (se non si può raccogliere non si può svolgere il raccoglimento parziale).
Può suonare complicato ma in realtà si tratta di 3 soli passaggi:
1) Suddivisione in coppie (in base ai fattori in comune)
2) Raccoglimento dei fattori all’interno delle coppie
3) Raccoglimento totale dei fattori tra tutte le coppie
Ecco alcuni esempi:
{\tiny{•}} \, \, 4x^2-2x-2xy+y \longrightarrow 2x(2x-1)-y(2x-1) \longrightarrow (2x-1)(2x-y)
{\tiny{•}} \, \, 3ac-c+6a-2 \longrightarrow c(3a-1)+2(3a-1) \longrightarrow (3a-1)(c+2)
{\tiny{•}} \, \, x^2+2x^3-3-6x \longrightarrow x^2(1+2x)-3(1+2x) \longrightarrow (1+2x)(x^2-3)
Scomposizione con i prodotti notevoli
Questa tecnica di scomposizione consiste nel riconoscere un polinomio come prodotto notevole e riscriverlo come i fattori del prodotto notevole.
Ecco alcuni esempi:
{\tiny{•}} \, \, 25-10x+x^2 \longrightarrow (x-5)^2 - Quadrato di un binomio
{\tiny{•}} \, \, x^3+8 \longrightarrow (x+2)(x^2-2x+4) - Somma di due cubi
{\tiny{•}} \, \, 4x^2+9+y^2+12x+4xy+6y \longrightarrow (2x+3+y)^2 - Quadrato di un trinomio
Questo semplifica incredibilmente i calcoli ed è molto facile da applicare, ma ci vuole occhio per riconoscere i prodotti notevoli, per questo è molto importante averli tutti bene in mente (la nostra spiegazione su i prodotti notevoli qui).
Regola del trinomio notevole
La regola del trinomio notevole si usa per scomporre alcuni trinomi particolari ed è particolarmente veloce se ci si prende la mano.
Iniziamo analizzando come scomporre i trinomi del tipo:
x^2+sx+p
Hanno come coefficiente del termine al quadrato 1 ed è spesso possibile (non sempre) scomporlo trovando 2 numeri la cui somma da s e il cui prodotto è p.
Per trovare i due numeri che ci permettono di scomporre il polinomio si può impostare un sistema, anche se spesso le soluzioni si trovano a colpo d’occhio.
\left\{ \begin{array}{l}a+b = s\\a\cdot b = p\end{array} \right.
Trovate le soluzioni del sistema ci basterà riscrivere il polinomio come:
(x+a)(x+b)
Esempi:
{\tiny{•}} \, \, x^2-x-2 \longrightarrow (x-2)(x+1)
{\tiny{•}} \, \, x^2+6x+5 \longrightarrow (x+1)(x+5)
In generale, però, il coefficiente del termine di secondo grado non è 1. Potremmo avere dei trinomi del tipo:
cx^2 + sx +p
In tal caso abbiamo due opzioni:
La prima è di raccogliere c, ottenendo c (x^2 + {s\over c} x + {p\over c}) e scomporre il trinomio tra parentesi con il metodo di prima.
Quando, però, s e p non sono divisibili per c, otteniamo delle frazioni con cui può essere molto scomodo lavorare.
Quindi possiamo usare la seconda opzione:
Impostiamo sempre un sistema per trovare due numeri a e b, ma questa volta la loro somma deve essere uguale a s ed il prodotto uguale a pc (Notate infatti che se mettiamo c=1 riotteniamo le formule di prima).
\left\{ \begin{array}{l}a+b = s\\a\cdot b = pc\end{array} \right.
Una volta trovati a e b, siccome s=a+b, possiamo riscrivere sx com ax + bx.
Sostituendolo nel trinomio otteniamo cx^2 + ax + bx + pc. Se avete trovato correttamente a e b, questo polinomio deve essere scomponibile tramite un raccoglimento parziale.
Vediamo un esempio:
Esempio:
Scomponiamo il trinomio 2x^2 + 5x + 3.
Dobbiamo trovare due numeri che sommati facciano 5 e moltipicati diano 6 (perché 2\cdot 3 = 6).
Notiamo facilmente che si tratta proprio di 2 e 3.
Rischiviamo quindi il trinomio come 2x^2 + 2x + 3x +3.
Infine effettuiamo un raccoglimento parziale:
2x^2 + 2x + 3x +3 \longrightarrow 2x(x+1) + 3(x+1)\longrightarrow (2x+3)(x+1)
Quindi: 2x^2 + 5x +3 = (2x+3)(x+1).
1.
Scomporre il polinomio P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12 usando il metodo del raccoglimento parziale.
Scomposizione: (x - 3)(x + 2)(x - 2)
1. Dividiamo il polinomio in due parti: x^3 - 3x^2 e -4x + 12 .
2. Raccogliamo il fattore comune in ciascuna parte: x^2(x - 3) e -4(x - 3) .
3. Combiniamo le parti raccogliendo il fattore comune x - 3 , ottenendo (x - 3)(x^2 - 4) .
4. Scomponiamo ulteriormente x^2 - 4 nella differenza di quadrati (x + 2)(x - 2) .
(x - 3)(x + 2)(x - 2)
2.
Scomporre il polinomio Q(x) = x^4 - 5x^2 + 4 usando il metodo del raccoglimento parziale.
Scomposizione: (x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 1)
1. Riscriviamo il polinomio come un trinomio quadrato.
2. Dividiamo il termine centrale -5x^2 in -4x^2 e -x^2 , ottenendo x^4 - 4x^2 - x^2 + 4 .
3. Applichiamo il raccoglimento parziale: x^2(x^2 - 4) e -1(x^2 - 4) .
4. Raccogliamo il fattore comune x^2 - 4 , ottenendo (x^2 - 4)(x^2 - 1) .
5. Scomponiamo ulteriormente in (x + 2)(x - 2) e (x + 1)(x - 1) .
(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 1)
3.
Scomporre il polinomio R(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 6 usando il metodo del raccoglimento parziale.
Scomposizione: (x + 2)(x^2 - 3)
1. Dividiamo il polinomio in x^3 + 2x^2 e -3x - 6 .
2. Raccogliamo x^2 nel primo gruppo ottenendo x^2(x + 2) .
3. Riscriviamo il polinomio come x^2(x + 2) - 3(x + 2) .
4. Raccogliamo il fattore comune x + 2 , ottenendo (x + 2)(x^2 - 3) .
(x + 2)(x^2 - 3)
4.
Scomporre il polinomio S(x) = x^4 - 8x^2 + 16 usando il metodo del raccoglimento parziale.
(x + 2)^2(x - 2)^2
1. Riscriviamo il polinomio come un quadrato di un binomio.
2. Riconosciamo che il polinomio ha la forma di (x^2 - 4)^2 .
3. Applichiamo la formula del quadrato di un binomio, scomponendo in (x^2 - 4)^2 .
4. Scomponiamo x^2 - 4 nella differenza di quadrati (x + 2)(x - 2) .
(x + 2)^2(x - 2)^2
5.
Scomporre il polinomio T(x) = x^4 - 6x^2 + 9 usando il metodo del raccoglimento parziale.
(x^2 - 3)^2
1. Riscriviamo il polinomio come un quadrato di un binomio.
2. Riconosciamo che il polinomio ha la forma di (x^2 - 3)^2 .
3. Applichiamo la formula del quadrato di un binomio, scomponendo in (x^2 - 3)^2 .
(x^2 - 3)^2
6.
Scomporre il polinomio U(x) = x^4 - 13x^2 + 36 usando il metodo del raccoglimento parziale.
(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2)
1. Riscriviamo il polinomio scomponendo il termine centrale.
2. Applichiamo il raccoglimento parziale a x^4 - 9x^2 e -4x^2 + 36 .
3. Raccogliamo il fattore comune x^2 - 9 , ottenendo (x^2 - 9)(x^2 - 4) .
4. Scomponiamo ulteriormente in (x + 3)(x - 3) e (x + 2)(x - 2) .
(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2)
7.
Scomporre il polinomio V(x) = x^4 - 16x^2 + 64 usando il metodo del raccoglimento parziale.
(x^2 - 8)^2
1. Riscriviamo il polinomio come un quadrato di un binomio.
2. Riconosciamo che il polinomio ha la forma di (x^2 - 8)^2 .
3. Applichiamo la formula del quadrato di un binomio, scomponendo in (x^2 - 8)^2 .
(x^2 - 8)^2
8.
Scomporre il polinomio W(x) = x^4 + 8x^2 + 16 usando il metodo del raccoglimento parziale.
(x^2 + 4)^2
1. Riscriviamo il polinomio come un quadrato di un binomio.
2. Riconosciamo che il polinomio ha la forma di (x^2 + 4)^2 .
3. Applichiamo la formula del quadrato di un binomio, scomponendo in (x^2 + 4)^2 .
(x^2 + 4)^2
9.
Scomporre il polinomio Z(x) = 6x^3 + 15x^2 + 9x usando il metodo del raccoglimento totale.
3x(2x + 3)(x + 1)
1. Raccogliamo il fattore comune 3x , ottenendo 3x(2x^2 + 5x + 3) .
2. Scomponiamo ulteriormente 2x^2 + 5x + 3 in (2x + 3)(x + 1) .
3x(2x + 3)(x + 1)
10.
Scomporre il polinomio Q(x) = 3x^3 + 6x^2 - 9x usando il metodo del raccoglimento totale.
3x(x + 3)(x - 1)
1. Raccogliamo il fattore comune 3x , ottenendo 3x(x^2 + 2x - 3) .
2. Scomponiamo il trinomio x^2 + 2x - 3 in (x + 3)(x - 1) .
3x(x + 3)(x - 1)