Monomi e polinomi

Cos’è un monomio?

Un monomio è un espressione letterale in cui compare soltanto un numero, detto coefficiente, moltiplicato per delle potenze di lettere, detta parte letterale, con numeri naturali per esponenti. Prima di approfondirne le caratteristiche, ecco a voi qualche esempio di monomi:

•   

•   

•   

•    2ax^2

Per chiarire meglio vi proponiamo alcune espressioni letterali che, per un motivo o per un altro, non sono dei monomi. Ecco qua:

•    2a^{-1}   perchè x ha un esponente negativo e quindi non naturale

•    2x+y   perché compare un’operazione diversa da una moltiplicazione

•    2a \over b   perché compare una lettera al denominatore

Tutti i numeri sono monomi, compreso 0 che è detto monomio nullo.

Infatti, possiamo vedere qualsiasi numero come quello stesso numero moltiplicato per una parte letterale con esponente 0, visto che elevare alla 0 da sempre 1 come risultato e moltiplicare per 1 non cambia niente.

2=2a^0 (per a \neq 0)

Forma normale dei monomi

Un monomio si dice ridotto in forma normale se è espresso come prodotto tra un solo fattore numerico e una o più potenze letterali (se il coefficiente è 1, è sottinteso per convenzione). Per ridurre un monomio in forma normale si usano le proprietà delle moltiplicazione e delle potenze.

Esempio:

4(x^2y)^3 = 4x^6y^3

Grado di un monomio

Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente che la lettera ha nel monomio. Il grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere. Per fissare meglio il concetto vediamo alcuni esempi:

•    7a^2b^3c   - questo monomio è di grado 3 rispetto a b e il suo grado complessivo è 6 (perché 2+3+1=6).

•    -{1 \over 4}x^5yz^2   - questo monomio è di grado 5 rispetto a x e il suo grado complessivo è 8 (perché 5+1+2=8).

Monomi simili, opposti e uguali

Due monomi in forma normale sono detti simili se hanno la stessa parte letterale:

3a^3b si dice simile a \sqrt {2}a^3b perché hanno la parte letterale a^3b in comune.

Due monomi in forma normale sono detti opposti se sono simili e hanno i coefficienti opposti:

{1\over 2}xyz si dice opposto a -{1\over 2}xyz perché il coefficiente 1 \over 2 è di segno opposto.

Due monomi in forma normale sono detti uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente:

16xy si dice uguale a (2^2)^2xy perché hanno la stessa parte letterale e 16 = (2^2)^2.

Somma e differenza di monomi simili

Dalla somma o dalla differenza tra monomi simili e non opposti si ottiene sempre un monomio simile ai monomi di partenza e con coefficiente la somma o la differenza dei coefficienti. Se i monomi coinvolti non sono simili si ottiene un’espressione che non può essere semplificata per ottenere un monomio, queste espressioni si chiamano polinomi e le approfondiremo in seguito.

Esempi:

•    3ac+ac =4ac

•    3x-5x=-2x

Esempio di somma tra monomi non simili:

•    2ac -2x = 2(ac-x)

Il risultato della somma tra monomi opposti è il monomio nullo:

2xy+(-2xy)= 2xy-2xy=0

Prodotto di monomi

Per calcolare il prodotto di due o più monomi si usano le proprietà delle moltiplicazioni e delle potenze e il risultato è sempre un monomio di cui il coefficiente è il prodotto dei coefficienti e ogni lettera della parte letterale ha come esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare nei fattori.

Esempi:

{\tiny{•}}\, \, 2x^3y \cdot 3ax   moltiplichiamo i coefficienti (2 \cdot3)x^3y \cdot ax e poi le parti letterali   6ax^4y

{\tiny{•}}\, \, -1ab \cdot 4bc \longrightarrow (-1 \cdot 4)ab \cdot bc \longrightarrow -4ab^2c

Notiamo che, a differenza dell’addizione, il prodotto tra due monomi è sempre un monomio. Per questo si dice che la moltiplicazione, per i monomi, è un'operazione interna.

Divisione e potenza

Per effettuare una divisione tra monomi è necessario che il primo monomio contenga la parte letterale del secondo.

Verificate queste condizioni si procede alla divisione:

Vediamo un esempio: calcoliamo 3abc^4 : 4bc^2.   Il coefficiente del monomio ottenuto sarà il quoziente tra i coefficienti:

{3 \over {4}} (abc^4):(bc^2)

Per la parte letterale, gli esponenti di ogni lettera saranno la differenza tra i quozienti della stessa lettera nei monomi di partenza:

{ 3 \over 4}ab^{1-1}c^{4-2} \longrightarrow { 3 \over 4}ac^2

Calcolare la potenza di un monomio consiste nell’elevare prima il coefficiente e poi ogni lettera della parte letterale all'esponente dato:

(-5x^2z)^4 \longrightarrow (-5)^4(x^2)^4z^4\longrightarrow 625x^8z^4

Cos’è un polinomio?

Un polinomio è quello che otteniamo quando sommiamo più monomi (o quando li sottraiamo).

I monomi che formano un polinomio sono detti termini del polinomio.

I polinomi si classificano in base al numero di monomi da cui sono formati.

Se un polinomio è composto da 2 monomi si chiama binomio (bi- viene da bis, che vuole dire "due volte" in latino, quindi vuol dire letteralmente "due volte un monomio").

Se i monomi sono 3 si chiama trinomio (-tri vuol dire "composta da tre" in latino, quindi vuol dire letteralmente "composto da tre monomi").

Se sono 4 si chiama quadrinomio (quadri- in latino significa "composta da quattro", quindi anche qui significa letteralmente "composto da 4 monomi").

Da 5 termini in poi si dice che un polinomio ha N termini.

Esempi di polinomi:

•    2xy-3z

•    5a^2+\sqrt{3}xy

•    ac-4x+4b^2

Un polinomio si dice opposto a un altro polinomio se i suoi termini sono monomi opposti ai termini del primo.

Esempi di polinomi opposti:

•    b^2+3ac \longrightarrow -b^2-3ac

•    \sqrt{3}x-4ab \longrightarrow -\sqrt{3}x+4ab

•    -\frac{3}{4}ab+3k^2 \longrightarrow \frac{3}{4}ab-3k^2

Forma normale dei polinomi

Un polinomio si dice ridotto in forma normale se tra i suoi termini non compaiono monomi simili. Per ridurre un polinomio alla sua forma normale basta sommare i suoi termini.

Esempio:

4ab+x^3y-ab \longrightarrow (4-1)ab+x^3y \longrightarrow 3ab+x^3y

Grado di un polinomio

Per conoscere il grado di un polinomio bisogna guardare ai suoi termini: il grado del polinomio corrisponderà al grado del monomio di grado maggiore tra quelli che lo compongono.

Vediamo qualche esempio:

•    4xy^3-k+2ab   - il grado è 4 perché è il grado complessivo di 4xy^3

•    x-z   - il grado è 1 perché è il grado di entrambi i termini

•    2ac -4x^3+abc   - il grado è 3 perché è il grado massimo tra i termini

Operazioni tra polinomi

Addizione e sottrazione:

La somma tra polinomi è un nuovo polinomio formato dalla somma dei monomi simili degli addendi.

(2xy-4z)+(3xy+3z) \longrightarrow (2+3)xy+(-4+3)z \longrightarrow 5xy-z

La differenza tra polinomi è un nuovo polinomio che si ottiene sommando il primo polinomio all'opposto del secondo.

(2xy-4z)-(3xy+3z) \longrightarrow (2xy-4z)+(-3xy-3z) \longrightarrow -xy-7z

Moltiplicazione e potenza:

Il prodotto tra polinomi si calcola moltiplicando tutti i termini del primo fattore per tutti i termini del secondo fattore. Bisogna, insomma, applicare la proprietà distributiva.

(2ac-4b) \cdot (5a+2b^2) \longrightarrow 2ac \cdot 5a -4ab \cdot 5a +2ac \cdot 2b^2 -4ab \cdot 2b^2

semplificando:

10a^2c-20a^2b+4ab^2c-4ab^3

La potenza di un polinomio consiste semplicemente nel moltiplicare un polinomio per se stesso il numero di volte indicato dall'esponente.

(2x-y)^3= (2x-y)\cdot(2x-y)\cdot(2x-y)

Divisione:

La divisione tra polinomi è un argomento difficile da spiegare sinteticamente e per questo abbiamo deciso di dedicargli una pagina apposita che potete trovare nell'indice o cliccando qui.