Di seguito analizzeremo i monomi e i polinomi.
Un monomio è un espressione letterale in cui compare soltanto un numero, detto coefficiente, moltiplicato per delle potenze di lettere, detta parte letterale, con numeri naturali per esponenti. Prima di approfondirne le caratteristiche, ecco a voi qualche esempio di monomi:
• 5ab
• (\sqrt 3 + 2)a
• -{1 \over 2} xy
• 2ax^2
Per chiarire meglio vi proponiamo alcune espressioni letterali che, per un motivo o per un altro, non sono dei monomi. Ecco qua:
• 2a^{-1} perchè x ha un esponente negativo e quindi non naturale
• 2x+y perché compare un’operazione diversa da una moltiplicazione
• 2a \over b perché compare una lettera al denominatore
Tutti i numeri sono monomi, compreso 0 che è detto monomio nullo.
Infatti, possiamo vedere qualsiasi numero come quello stesso numero moltiplicato per una parte letterale con esponente 0, visto che elevare alla 0 da sempre 1 come risultato e moltiplicare per 1 non cambia niente.
2=2a^0 (per a \neq 0)
Un monomio si dice ridotto in forma normale se è espresso come prodotto tra un solo fattore numerico e una o più potenze letterali (se il coefficiente è 1, è sottinteso per convenzione). Per ridurre un monomio in forma normale si usano le proprietà delle moltiplicazione e delle potenze.
Esempio:
4(x^2y)^3 = 4x^6y^3
Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente che la lettera ha nel monomio. Il grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere. Per fissare meglio il concetto vediamo alcuni esempi:
• 7a^2b^3c - questo monomio è di grado 3 rispetto a b e il suo grado complessivo è 6 (perché 2+3+1=6).
• -{1 \over 4}x^5yz^2 - questo monomio è di grado 5 rispetto a x e il suo grado complessivo è 8 (perché 5+1+2=8).
Due monomi in forma normale sono detti simili se hanno la stessa parte letterale:
3a^3b si dice simile a \sqrt {2}a^3b perché hanno la parte letterale a^3b in comune.
Due monomi in forma normale sono detti opposti se sono simili e hanno i coefficienti opposti:
{1\over 2}xyz si dice opposto a -{1\over 2}xyz perché il coefficiente 1 \over 2 è di segno opposto.
Due monomi in forma normale sono detti uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente:
16xy si dice uguale a (2^2)^2xy perché hanno la stessa parte letterale e 16 = (2^2)^2.
Dalla somma o dalla differenza tra monomi simili e non opposti si ottiene sempre un monomio simile ai monomi di partenza e con coefficiente la somma o la differenza dei coefficienti. Se i monomi coinvolti non sono simili si ottiene un’espressione che non può essere semplificata per ottenere un monomio, queste espressioni si chiamano polinomi e le approfondiremo in seguito.
Esempi:
• 3ac+ac =4ac
• 3x-5x=-2x
Esempio di somma tra monomi non simili:
• 2ac -2x = 2(ac-x)
Il risultato della somma tra monomi opposti è il monomio nullo:
2xy+(-2xy)= 2xy-2xy=0
Per calcolare il prodotto di due o più monomi si usano le proprietà delle moltiplicazioni e delle potenze e il risultato è sempre un monomio di cui il coefficiente è il prodotto dei coefficienti e ogni lettera della parte letterale ha come esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare nei fattori.
Esempi:
{\tiny{•}}\, \, 2x^3y \cdot 3ax moltiplichiamo i coefficienti (2 \cdot3)x^3y \cdot ax e poi le parti letterali 6ax^4y
{\tiny{•}}\, \, -1ab \cdot 4bc \longrightarrow (-1 \cdot 4)ab \cdot bc \longrightarrow -4ab^2c
Notiamo che, a differenza dell’addizione, il prodotto tra due monomi è sempre un monomio. Per questo si dice che la moltiplicazione, per i monomi, è un'operazione interna.
Per effettuare una divisione tra monomi è necessario che il primo monomio contenga la parte letterale del secondo.
Verificate queste condizioni si procede alla divisione:
Vediamo un esempio: calcoliamo 3abc^4 : 4bc^2. Il coefficiente del monomio ottenuto sarà il quoziente tra i coefficienti:
{3 \over {4}} (abc^4):(bc^2)
Per la parte letterale, gli esponenti di ogni lettera saranno la differenza tra i quozienti della stessa lettera nei monomi di partenza:
{ 3 \over 4}ab^{1-1}c^{4-2} \longrightarrow { 3 \over 4}ac^2
Calcolare la potenza di un monomio consiste nell’elevare prima il coefficiente e poi ogni lettera della parte letterale all'esponente dato:
(-5x^2z)^4 \longrightarrow (-5)^4(x^2)^4z^4\longrightarrow 625x^8z^4
Un polinomio è quello che otteniamo quando sommiamo più monomi (o quando li sottraiamo).
I monomi che formano un polinomio sono detti termini del polinomio.
I polinomi si classificano in base al numero di monomi da cui sono formati.
Se un polinomio è composto da 2 monomi si chiama binomio (bi- viene da bis, che vuole dire "due volte" in latino, quindi vuol dire letteralmente "due volte un monomio").
Se i monomi sono 3 si chiama trinomio (-tri vuol dire "composta da tre" in latino, quindi vuol dire letteralmente "composto da tre monomi").
Se sono 4 si chiama quadrinomio (quadri- in latino significa "composta da quattro", quindi anche qui significa letteralmente "composto da 4 monomi").
Da 5 termini in poi si dice che un polinomio ha N termini.
Esempi di polinomi:
• 2xy-3z
• 5a^2+\sqrt{3}xy
• ac-4x+4b^2
Un polinomio si dice opposto a un altro polinomio se i suoi termini sono monomi opposti ai termini del primo.
Esempi di polinomi opposti:
• b^2+3ac \longrightarrow -b^2-3ac
• \sqrt{3}x-4ab \longrightarrow -\sqrt{3}x+4ab
• -\frac{3}{4}ab+3k^2 \longrightarrow \frac{3}{4}ab-3k^2
Un polinomio si dice ridotto in forma normale se tra i suoi termini non compaiono monomi simili. Per ridurre un polinomio alla sua forma normale basta sommare i suoi termini.
Esempio:
4ab+x^3y-ab \longrightarrow (4-1)ab+x^3y \longrightarrow 3ab+x^3y
Per conoscere il grado di un polinomio bisogna guardare ai suoi termini: il grado del polinomio corrisponderà al grado del monomio di grado maggiore tra quelli che lo compongono.
Vediamo qualche esempio:
• 4xy^3-k+2ab - il grado è 4 perché è il grado complessivo di 4xy^3
• x-z - il grado è 1 perché è il grado di entrambi i termini
• 2ac -4x^3+abc - il grado è 3 perché è il grado massimo tra i termini
Addizione e sottrazione:
La somma tra polinomi è un nuovo polinomio formato dalla somma dei monomi simili degli addendi.
(2xy-4z)+(3xy+3z) \longrightarrow (2+3)xy+(-4+3)z \longrightarrow 5xy-z
La differenza tra polinomi è un nuovo polinomio che si ottiene sommando il primo polinomio all'opposto del secondo.
(2xy-4z)-(3xy+3z) \longrightarrow (2xy-4z)+(-3xy-3z) \longrightarrow -xy-7z
Moltiplicazione e potenza:
Il prodotto tra polinomi si calcola moltiplicando tutti i termini del primo fattore per tutti i termini del secondo fattore. Bisogna, insomma, applicare la proprietà distributiva.
(2ac-4b) \cdot (5a+2b^2) \longrightarrow 2ac \cdot 5a -4ab \cdot 5a +2ac \cdot 2b^2 -4ab \cdot 2b^2
semplificando:
10a^2c-20a^2b+4ab^2c-4ab^3
La potenza di un polinomio consiste semplicemente nel moltiplicare un polinomio per se stesso il numero di volte indicato dall'esponente.
(2x-y)^3= (2x-y)\cdot(2x-y)\cdot(2x-y)
Divisione:
La divisione tra polinomi è un argomento difficile da spiegare sinteticamente e per questo abbiamo deciso di dedicargli una pagina apposita che potete trovare nell'indice o cliccando qui.
Determina il grado dei seguenti monomi:
6; 8; 8; 3
Il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le variabili presenti nel monomio, quindi possiamo facilmente calcolare il grado di tutti i monomi dati:
1. 7x^3y^2z ha grado 3 + 2 + 1 = 6 .
2. 5a^4b^3c ha grado 4 + 3 + 1 = 8 .
3. -2x^2yz^5 ha grado 2 + 1 + 5 = 8 .
4. 3m^2n ha grado 2 + 1 = 3 .
6; 8; 8; 3
Moltiplica insieme i seguenti monomi:
12x^3y^3; -10a^4b^6
Per moltiplicare due monomi, moltiplichiamo i loro coefficienti e sommiamo gli esponenti delle variabili comuni.
1. Moltiplichiamo 4 \cdot 3 e sommiamo gli esponenti di x e y , ottenendo 12x^3y^3 .
2. Moltiplichiamo -2 \cdot 5 e sommiamo gli esponenti di a e b , ottenendo -10a^4b^6 .
12x^3y^3 ; -10a^4b^6
Considera i seguenti polinomi:
P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7
Q(x) = 3x^2 - 4x + 1
Calcola:
Somma: 2x^3 - 2x^2 - 6
Prodotto: 6x^5 - 23x^4 + 34x^3 - 42x^2 + 32x - 7
Per la somma, sommiamo i termini simili dei polinomi:
P(x) + Q(x) = (2x^3 - 5x^2 + 4x - 7) + (3x^2 - 4x + 1) = 2x^3 - 2x^2 - 6
Per il prodotto, moltiplichiamo ogni termine di P(x) per ogni termine di Q(x) e sommiamo i risultati:
P(x) \cdot Q(x)= (2x^3 - 5x^2 + 4x - 7) \cdot (3x^2 - 4x + 1)= 6x^5 - 23x^4 + 34x^3 - 42x^2 + 32x - 7
Somma: 2x^3 - 2x^2 - 6
Prodotto: 6x^5 - 23x^4 + 34x^3 - 42x^2 + 32x - 7
Considera i seguenti polinomi:
A(x) = x^2 - 3x + 2
B(x) = 4x - 1
Calcola:
x^2 - 7x + 3 ; 4x^3 - 13x^2 + 11x - 2
Per la differenza, sottraiamo i termini di B(x) da quelli di A(x) :
A(x) - B(x) = (x^2 - 3x + 2) - (4x - 1) = x^2 - 7x + 3 .
Per il prodotto, moltiplichiamo ogni termine di A(x) per ogni termine di B(x) e sommiamo i risultati:
A(x) \cdot B(x)= (x^2 - 3x + 2) \cdot (4x - 1)= 4x^3 - 13x^2 + 11x - 2 .
x^2 - 7x + 3 ;4x^3 - 13x^2 + 11x - 2
Considera i seguenti polinomi:
C(x) = 3x^3 - 2x^2 + x
D(x) = x^2 - 4
Calcola:
3x^3 - x^2 + x - 4 ;3x^5 - 2x^4 - 11x^3 + 8x^2 - 4x
Per la somma, sommiamo i termini simili dei polinomi:
C(x) + D(x)= (3x^3 - 2x^2 + x) + (x^2 - 4) = 3x^3 - x^2 + x - 4 .
Per il prodotto, moltiplichiamo ogni termine di C(x) per ogni termine di D(x) e sommiamo i risultati:
C(x) \cdot D(x)= (3x^3 - 2x^2 + x) \cdot (x^2 - 4) = 3x^5 - 2x^4 - 11x^3 + 8x^2 - 4x .
3x^3 - x^2 + x - 4 ;3x^5 - 2x^4 - 11x^3 + 8x^2 - 4x