Monomi e polinomi

Cos’è un monomio?

Un monomio è un espressione letterale in cui compare soltanto un numero, detto coefficiente , moltiplicato per delle potenze di lettere, detta parte letterale , con numeri naturali per esponenti. Prima di approfondirne le caratteristiche, ecco a voi qualche esempio di monomi:

• $\displaystyle { 5ab }$

• $\displaystyle { (\sqrt 3 + 2)a }$

• $\displaystyle { -{1 \over 2} xy }$

• $\displaystyle { 2ax^2 }$

Per chiarire meglio vi proponiamo alcune espressioni letterali che, per un motivo o per un altro, non sono dei monomi. Ecco qua:

• $\displaystyle { 2a^{-1} }$ perchè $\displaystyle { x }$ ha un esponente negativo e quindi non naturale

• $\displaystyle { 2x+y }$ perché compare un’operazione diversa da una moltiplicazione

• $\displaystyle { 2a \over b }$ perché compare una lettera al denominatore

Tutti i numeri sono monomi, compreso $\displaystyle { 0 }$ che è detto monomio nullo .

Infatti, possiamo vedere qualsiasi numero come quello stesso numero moltiplicato per una parte letterale con esponente $\displaystyle { 0, }$ visto che elevare alla $\displaystyle { 0 }$ da sempre $\displaystyle { 1 }$ come risultato e moltiplicare per $\displaystyle { 1 }$ non cambia niente.

$\displaystyle { 2=2a^0 }$ (per $\displaystyle { a \neq 0 }$ )

Forma normale dei monomi

Un monomio si dice ridotto in forma normale se è espresso come prodotto tra un solo fattore numerico e una o più potenze letterali (se il coefficiente è 1, è sottinteso per convenzione). Per ridurre un monomio in forma normale si usano le proprietà delle moltiplicazione e delle potenze.

Esempio:

$\displaystyle { 4(x^2y)^3 = 4x^6y^3 }$

Grado di un monomio

Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente che la lettera ha nel monomio. Il grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere. Per fissare meglio il concetto vediamo alcuni esempi:

• $\displaystyle { 7a^2b^3c }$ - questo monomio è di grado $\displaystyle { 3 }$ rispetto a $\displaystyle { b }$ e il suo grado complessivo è $\displaystyle { 6 }$ $\displaystyle { ( }$ perché $\displaystyle { 2+3+1=6). }$

• $\displaystyle { -{1 \over 4}x^5yz^2 }$ - questo monomio è di grado $\displaystyle { 5 }$ rispetto a $\displaystyle { x }$ e il suo grado complessivo è $\displaystyle { 8 }$ $\displaystyle { ( }$ perché $\displaystyle { 5+1+2=8). }$

Monomi simili, opposti e uguali

Due monomi in forma normale sono detti simili se hanno la stessa parte letterale:

$\displaystyle { 3a^3b }$ si dice simile a $\displaystyle { \sqrt {2}a^3b }$ perché hanno la parte letterale $\displaystyle { a^3b }$ in comune.

Due monomi in forma normale sono detti opposti se sono simili e hanno i coefficienti opposti:

$\displaystyle { {1\over 2}xyz }$ si dice opposto a $\displaystyle { -{1\over 2}xyz }$ perché il coefficiente $\displaystyle { 1 \over 2 }$ è di segno opposto.

Due monomi in forma normale sono detti uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente:

$\displaystyle { 16xy }$ si dice uguale a $\displaystyle { (2^2)^2xy }$ perché hanno la stessa parte letterale e $\displaystyle { 16 = (2^2)^2 }$ .

Somma e differenza di monomi simili

Dalla somma o dalla differenza tra monomi simili e non opposti si ottiene sempre un monomio simile ai monomi di partenza e con coefficiente la somma o la differenza dei coefficienti. Se i monomi coinvolti non sono simili si ottiene un’espressione che non può essere semplificata per ottenere un monomio, queste espressioni si chiamano polinomi e le approfondiremo in seguito.

Esempi:

• $\displaystyle { 3ac+ac =4ac }$

• $\displaystyle { 3x-5x=-2x }$

Esempio di somma tra monomi non simili:

• $\displaystyle { 2ac -2x = 2(ac-x) }$

Il risultato della somma tra monomi opposti è il monomio nullo:

$\displaystyle { 2xy+(-2xy)= 2xy-2xy=0 }$

Prodotto di monomi

Per calcolare il prodotto di due o più monomi si usano le proprietà delle moltiplicazioni e delle potenze e il risultato è sempre un monomio di cui il coefficiente è il prodotto dei coefficienti e ogni lettera della parte letterale ha come esponente la somma degli esponenti con cui la lettera compare nei fattori.

Esempi:

$\displaystyle { {\tiny{•}}\, \, 2x^3y \cdot 3ax }$ moltiplichiamo i coefficienti $\displaystyle { (2 \cdot3)x^3y \cdot ax }$ e poi le parti letterali $\displaystyle { 6ax^4y }$

$\displaystyle { {\tiny{•}}\, \, -1ab \cdot 4bc \longrightarrow (-1 \cdot 4)ab \cdot bc \longrightarrow -4ab^2c }$

Notiamo che, a differenza dell’addizione, il prodotto tra due monomi è sempre un monomio. Per questo si dice che la moltiplicazione, per i monomi, è un' operazione interna .

Divisione e potenza

Per effettuare una divisione tra monomi è necessario che il primo monomio contenga la parte letterale del secondo.

Verificate queste condizioni si procede alla divisione:

Vediamo un esempio: calcoliamo $\displaystyle { 3abc^4 : 4bc^2. }$ Il coefficiente del monomio ottenuto sarà il quoziente tra i coefficienti:

$\displaystyle { {3 \over {4}} (abc^4):(bc^2) }$

Per la parte letterale, gli esponenti di ogni lettera saranno la differenza tra i quozienti della stessa lettera nei monomi di partenza:

$\displaystyle { { 3 \over 4}ab^{1-1}c^{4-2} \longrightarrow { 3 \over 4}ac^2 }$

Calcolare la potenza di un monomio consiste nell’elevare prima il coefficiente e poi ogni lettera della parte letterale all'esponente dato:

$\displaystyle { (-5x^2z)^4 \longrightarrow (-5)^4(x^2)^4z^4\longrightarrow 625x^8z^4 }$

Cos’è un polinomio?

Un polinomio è quello che otteniamo quando sommiamo più monomi (o quando li sottraiamo).

I monomi che formano un polinomio sono detti termini del polinomio.

I polinomi si classificano in base al numero di monomi da cui sono formati.

Se un polinomio è composto da $\displaystyle { 2 }$ monomi si chiama binomio (bi- viene da bis, che vuole dire "due volte" in latino, quindi vuol dire letteralmente "due volte un monomio").

Se i monomi sono $\displaystyle { 3 }$ si chiama trinomio (-tri vuol dire "composta da tre" in latino, quindi vuol dire letteralmente "composto da tre monomi").

Se sono $\displaystyle { 4 }$ si chiama quadrinomio (quadri- in latino significa "composta da quattro", quindi anche qui significa letteralmente "composto da 4 monomi").

Da $\displaystyle { 5 }$ termini in poi si dice che un polinomio ha $\displaystyle { N }$ termini.

Esempi di polinomi:

• $\displaystyle { 2xy-3z }$

• $\displaystyle { 5a^2+\sqrt{3}xy }$

• $\displaystyle { ac-4x+4b^2 }$

Un polinomio si dice opposto a un altro polinomio se i suoi termini sono monomi opposti ai termini del primo.

Esempi di polinomi opposti:

• $\displaystyle { b^2+3ac \longrightarrow -b^2-3ac }$

• $\displaystyle { \sqrt{3}x-4ab \longrightarrow -\sqrt{3}x+4ab }$

• $\displaystyle { -\frac{3}{4}ab+3k^2 \longrightarrow \frac{3}{4}ab-3k^2 }$

Forma normale dei polinomi

Un polinomio si dice ridotto in forma normale se tra i suoi termini non compaiono monomi simili. Per ridurre un polinomio alla sua forma normale basta sommare i suoi termini.

Esempio:

$\displaystyle { 4ab+x^3y-ab }$ $\displaystyle { \longrightarrow (4-1)ab+x^3y \longrightarrow 3ab+x^3y }$

Grado di un polinomio

Per conoscere il grado di un polinomio bisogna guardare ai suoi termini: il grado del polinomio corrisponderà al grado del monomio di grado maggiore tra quelli che lo compongono.

Vediamo qualche esempio:

• $\displaystyle { 4xy^3-k+2ab }$ - il grado è $\displaystyle { 4 }$ perché è il grado complessivo di $\displaystyle { 4xy^3 }$

• $\displaystyle { x-z }$ - il grado è $\displaystyle { 1 }$ perché è il grado di entrambi i termini

• $\displaystyle { 2ac -4x^3+abc }$ - il grado è $\displaystyle { 3 }$ perché è il grado massimo tra i termini

Operazioni tra polinomi

Addizione e sottrazione :

La somma tra polinomi è un nuovo polinomio formato dalla somma dei monomi simili degli addendi.

$\displaystyle { (2xy-4z)+(3xy+3z) }$ $\displaystyle { \longrightarrow (2+3)xy+(-4+3)z }$ $\displaystyle { \longrightarrow 5xy-z }$

La differenza tra polinomi è un nuovo polinomio che si ottiene sommando il primo polinomio all'opposto del secondo.

$\displaystyle { (2xy-4z)-(3xy+3z) }$ $\displaystyle { \longrightarrow (2xy-4z)+(-3xy-3z) }$ $\displaystyle { \longrightarrow -xy-7z }$

Moltiplicazione e potenza :

Il prodotto tra polinomi si calcola moltiplicando tutti i termini del primo fattore per tutti i termini del secondo fattore. Bisogna, insomma, applicare la proprietà distributiva.

$\displaystyle { (2ac-4b) \cdot (5a+2b^2) }$ $\displaystyle { \longrightarrow 2ac \cdot 5a -4ab \cdot 5a +2ac }$ $\displaystyle { \cdot 2b^2 -4ab \cdot 2b^2 }$

semplificando:

$\displaystyle { 10a^2c-20a^2b+4ab^2c-4ab^3 }$

La potenza di un polinomio consiste semplicemente nel moltiplicare un polinomio per se stesso il numero di volte indicato dall'esponente.

$\displaystyle { (2x-y)^3= }$ $\displaystyle { (2x-y)\cdot(2x-y)\cdot(2x-y) }$

Divisione :

La divisione tra polinomi è un argomento difficile da spiegare sinteticamente e per questo abbiamo deciso di dedicargli una pagina apposita che potete trovare nell'indice o cliccando qui.