Cosa sono e quali sono.
I prodotti notevoli sono operazioni algebriche che permettono di velocizzare calcoli come moltiplicazioni o potenze di polinomi. In sostanza sono formule che ci permettono di passare dai fattori al risultato e viceversa risparmiandoci i lunghi calcoli che spesso possono portarci all’errore.
Di seguito riportiamo i principali prodotti notevoli con le rispettive dimostrazioni e con esempi.
Il prodotto tra una somma di due termini e la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo:
(a+b) \cdot (a-b) = a^2-b^2
Passaggi per la risoluzione:
(a+ b) \cdot (a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2
Esempio:
(5a-3) \cdot (5a+3)=25a^2-9
Fai attenzione! I due termini non devono per forza essere dei monomi, possono anche essere dei polinomi:
(x+y+1)\cdot(x-y-1) = (x+(y+1))\cdot(x-(y+1))=x^2 - (y+1)^2 = x^2 -y^2 - 2y-1
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine più il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine, più il quadrato del secondo termine:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Passaggi per la risoluzione:
(a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2
Esempio:
(2x-3z)^2= 4x^2-12xz+9z^2
Se in un qualsiasi prodotto notevole al posto di trovare +b trovate -b, vi basterà applicare le stesse identiche formule sostituendo però -b a b.
Se dunque incontriamo (a-b)^2, il risultato sarà a^2 + 2a(-b) + (-b)^2, che è uguale a a^2 - 2ab +b^2.
Ricordati che questo stesso concetti vale per tutti i prodotti notevoli.
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine:
(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
Passaggi per la risoluzione:
(a+b)^3=(a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b)=(a^2+ab+ba+b^2) \cdot (a+b)=a^3+a^2b+ba^2+b^2a+a^2b+ab^2+b^2a+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
Esempio:
(2y-x)^3=8y^3-12xy^2+6x^2y+x^3
Può essere piuttosto difficile ricordarsi questa formula. Puoi aiutarti riscrivendola nel seguente modo:
(a+b)^3= a^3b^0+3a^2b+3ab^2+a^0b^3
a^0 e b^0 sono, per le proprietà delle potenze, uguali ad 1, per questo puoi moltiplicare per essi senza cambiare il risultato.
In questa forma, notate che l'esponente del primo termine diminuisce sempre di 1, mentre quello del secondo aumenta sempre di 1. In questo modo, la somma dei gradi di ogni termine fa sempre 3, perché abbiamo elevato al cubo.
Per i coefficienti, vi basta ricordare che ai lati avete 1 e dentro 3.
Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei termini, più i doppi prodotti di tutte le coppie possibili (primo con secondo, primo con terzo e secondo con terzo).
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
Passaggi per la risoluzione:
(a+b+c)^2=(a+b+c) \cdot (a+b+c)=a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
Esempio:
({1 \over 2}k+3b^2-5)^2 = {1\over4}k^2+9b^2+25+3kb^2-5k-30b^2
La scomposizione della somma di due cubi è data dalla somma delle basi moltiplicata per quello che è chiamato il falso quadrato (si chiama così perché assomiglia molto al quadrato di un binomio, l'unica differenza è che al posto del doppio prodotto abbiamo solo il prodotto).
a^3+b^3= (a+b) \cdot (a^2-ab+b^2)
Passaggi per la risoluzione:
(a+b) \cdot (a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3
Esempio:
64a^3+27c^3=(4a+3c) \cdot (16a^2-12ac+9c^2)
Fai attenzione! Il prodotto nel falso quadrato ha segno negativo. Puoi ricordartelo pensando che, affinché si possano semlificare i termini in eccesso, serve almeno un termine negativo e quello è l'unico candidato sensato.
La differenza di due cubi è molto simile alla somma di due cubi, solo che questa volta dovremo fare la differenza delle basi e il prodotto nel falso quadrato avrà segno positivo:
a^3-b^3=(a-b) \cdot (a^2+ab+b^2)
Passaggi per la risoluzione:
(a-b) \cdot (a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3
Esempio:
8x^3-y^3=(2x-y) \cdot (4x^2+2xy+y^2)
Quindi, per non confonderti tra le formule della somma di due cubi e quella della differenza di due cubi, ricordati che l'operazione tra le due basi è sempre la stessa, mentre il prodotto del falso quadrato ha sempre segno opposto.
Sviluppare al quadrato il seguente binomio: (2x + 3y)^2.
La soluzione è: 4x^2 + 12xy + 9y^2.
Per risolvere questo esercizio, applichiamo la regola del quadrato di un binomio:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Applicando questa formula otteniamo:
(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2.
Quindi la soluzione è: 4x^2 + 12xy + 9y^2.
Fattorizzare la seguente espressione: a^2 - b^2.
La soluzione è: (a + b)(a - b).
La formula per la differenza di quadrati è: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).
Quindi, applicando questa formula alla nostra espressione otteniamo: (a + b)(a - b).
La soluzione è: (a + b)(a - b).
Calcolare il cubo del seguente binomio: (4x - 2)^3.
La soluzione è: 64x^3 - 96x^2 + 48x - 8.
Per calcolare il cubo di un binomio, possiamo utilizzare la formula (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.
Applicando questa formula al binomio dato, otteniamo: 64x^3 - 96x^2 + 48x - 8.
Quindi la soluzione è: 64x^3 - 96x^2 + 48x - 8.
Calcolare il quadrato della somma di due termini: (3a + 2b)^2.
La soluzione è: 9a^2 + 12ab + 4b^2.
Il quadrato della somma di due termini segue la regola (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Applicando questa formula otteniamo: 9a^2 + 12ab + 4b^2.
Quindi la soluzione è: 9a^2 + 12ab + 4b^2.
Fattorizzare la seguente espressione: x^2 - 4y^2.
La soluzione è: (x + 2y)(x - 2y).
La differenza di quadrati si risolve come a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).
Quindi la soluzione per questa espressione è: (x + 2y)(x - 2y).