La regola di Ruffini
Cos'è e come si usa.
Cosa devo già sapere?
Cos’è la regola di Ruffini?
La regola di Ruffini è una tecnica di scomposizione dei polinomi ed è stata introdotta dal matematico Paolo Ruffini. E' utile in quanto riesce a scomporre polinomi non scomponibili con le altre tecniche che abbiamo visto in una lezione apposita (cliccate qui per accedervi).
Questo metodo di scomposizione si basa sul Teorema di Ruffini, il cui enunciato è “Un polinomio è divisibile per un binomio del tipo x-a soltanto se scambiando la sua incognita con l’opposto del termine noto del divisore viene annullato”.
Cioè, un polinomio p(x) è divisibile per x-a se e solo se p(a) = 0 (per calcolare p(a) basta mmettere a al posto della x).
In questa lezione ci limiteremo a spiegare come e quando applicare la regola e non dimostreremo il teorema in sé. Chiarito questo possiamo procedere.
Quando usare Ruffini
Dato che usare la regola di Ruffini è il metodo più lento per scomporre un polinomio, consigliamo di provare prima tutte le altre tecniche di scomposizione perché, se il grado del polinomio è minore o uguale a 3, molto probabilmente è scomponibile in altri modi più veloci.
Se ci si trova davanti un polinomio di grado elevato e non si riesce a ricondurlo a gradi inferiori usando, ad esempio, il raccoglimento totale, allora è conveniente procedere con Ruffini in quanto è facile e sicuro.
Come applicare Ruffini
La prima cosa che bisogna fare con il nostro polinomio è trovare un numero che lo annulli, cioè un numero che se sostituito all’incognita faccia venire 0.
Per fortuna esiste una regola che questo numero deve seguire. Esso deve infatti essere una frazione con:
- Un divisore del termine noto come numeratore.
- Un divisore del termine di grado massimo come denominatore.
Spesso la lista dei candidati può essere piuttosto lunga, ma sempre avere una lista lunga ma finita che dover provare a caso ogni numero reale.
Con il tempo imparerete a trovare questi numeri ad occhio, senza dover scrivere ogni volta la lista. Vediamo un esempio:
Esempio:
Prendiamo il polinomio 7x^2+4x-3. I divisori del termine noto sono \left\{ 1;-1;3;-3\right\}, mentre i divisori del coefficiente del termine di grado massimo sono \left\{ 1;-1;7;-7\right\}.
Quindi tutti i numeri possibili sono \left\{1; -1; 3; -3; {1\over 7}; - {1\over 7}; {3\over 7}; -{3\over 7} \right\} (le frazioni che avevano 1 al denominatore le abbiamo scritte direttamente come numeri interi e non abbiamo scritto due volte i doppioni).
Conviene iniziare dai valori più semplici da controllare. Proviamo con 1, ma non viene 0. Proviamo quindi con -1 ed esce 0 (7(-1)^2 +4(-1) - 3 = 0).
Bingo! Ora sappiamo che il nostro polinomio sarà divisibile per x più il reciproco del numero trovato, cioè 1.
Potremmo dunque affermare che (x+1) \cdot (...) = 7x^3+4x-3
Fatto questo non ci resta che svolgere la divisione e scoprire quale polinomio si ottiene se si divide il primo per x+1.
Per fare questo disegniamo una tabella, e scriviamo dopo la prima colonna, ordinati in base al grado, i coefficienti numerici dei termini del polinomio di partenza e l’ultimo coefficiente aldilà della seconda linea verticale:
Se dovesse mancare il termine di un certo grado, non va saltato, ma va messo 0 come coefficiente. Se ad esempio avessimo 3x^4 + 2x^3 + 3x + 1, andrebbe visto come 3x^4 + 2x^3 + 0x^2 + 3x +1. Fai attenzione a non saltare i termini o l'algoritmo non funzionerà.
Fatto questo primo passaggio, procediamo a scrivere il numero che annulla il polinomio a sinistra sopra la linea orizzontale e iniziamo a fare i calcoli:
Per svolgere i calcoli si segue questo procedimento: si parte dal primo coefficiente che abbiamo scritto in alto e lo si trascrive sotto la linea orizzontale, ora si svolge la moltiplicazione tra questo numero e il numero scritto a sinistra della linea verticale e il risultato lo si scrive sotto il secondo coefficiente, si somma il secondo coefficiente al risultato della moltiplicazione di prima e si scrive il risultato sotto la linea.
Si ripete il procedimento fino all’ultimo coefficiente e eseguendo la somma di questo con il numero sottostante si ottiene 0 (se tutto è stato fatto correttamente).
Il polinomio risultante avrà per coefficienti i numeri scritti sotto la linea orizzontale (notare che i coefficienti sono uno in meno perché il risultato è di un grado inferiore al polinomio di partenza).
Il risultato della nostra scomposizione sarà quindi (x+1)(7x-3).
1.
Usare il metodo di Ruffini per dividere x^3 - 6x^2 + 11x - 6 per x - 1 .
x^2 - 5x + 6
Applichiamo il metodo di Ruffini partendo dai coefficienti di x^3 - 6x^2 + 11x - 6 , che sono 1, -6, 11, -6 , e usando 1 come radice del binomio divisore x - 1 .
Nel diagramma di Ruffini, il primo coefficiente, 1 , viene copiato direttamente giù. Moltiplichiamo questo numero per la radice, 1 , e aggiungiamo al secondo coefficiente, e così via.
Seguendo questo procedimento, otteniamo il quoziente x^2 - 5x + 6 .
x^2 -5x+6
2.
Usare il metodo di Ruffini per dividere x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x per x - 2 .
Quoziente: x^3 - 7x - 6 , Resto: -12
Applichiamo il metodo di Ruffini partendo dai coefficienti di x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x , che sono 1, -2, -7, 8 , e usando 2 come radice del binomio divisore x - 2 .
Nel diagramma di Ruffini, il primo coefficiente, 1 , viene copiato direttamente giù. Moltiplichiamo questo numero per la radice, 2 , e aggiungiamo al secondo coefficiente, e così via.
Seguendo questo procedimento, otteniamo il quoziente x^3 - 7x - 6 e un resto di -12 .
Quoziente: x^3 - 7x - 6 , Resto: -12
3.
Usare il metodo di Ruffini per dividere x^3 - 6x^2 + 11x - 6 per x - 2 .
x^2 - 4x + 3
Applichiamo il metodo di Ruffini partendo dai coefficienti di x^3 - 6x^2 + 11x - 6 , che sono 1, -6, 11, -6 , e usando 2 come radice del binomio divisore x - 2 .
Nel diagramma di Ruffini, il primo coefficiente, 1 , viene copiato direttamente giù. Moltiplichiamo questo numero per la radice, 2 , e aggiungiamo al secondo coefficiente, e così via.
Seguendo questo procedimento, otteniamo il quoziente x^2 - 4x + 3 e un resto di 0 .
x^2 - 4x + 3