Grafico delle funzioni goniometriche

Di seguito analizzeremo i grafici delle funzioni goniometriche

Seno e coseno

Tan e cot

Amp. periodo, fase


open imgCosa devo già sapere?

Seno e coseno


Le funzioni seno e coseno hanno entrambe periodo 2\pi, dunque ci basterà trovare il grafico tra 0 e 2\pi e poi ripeterlo.


Il seno di 0 è uguale a 0, quindi il suo grafico passa per l'origine. Raggiunge il suo massimo a \pi\over 2 quando è uguale ad 1, torna ad essere 0 quando arriviamo a \pi, raggiunge il suo minimo a {3\pi\over 2} quando vale -1 e a 2\pi completa il periodo tornando a 0:

Valori del seno

Inserendo altri punti notiamo che si muove come un onda:

Periodo del grafico del seno

Adesso che abbiamo trovato un periodo del grafico, ci basta ripeterlo per ottenere le altre parti:

Grafico del seno

Siccome \cos(x) = \sin({\pi\over 2} -x), il grafico del coseno sarà uguale a quello seno ma traslato.


Il coseno, infatti, invece che partire da 0 parte da 1:

Valori del coseno

Inserendo altri punti otteniamo infatti:

Grafico del coseno

Avendo completato il periodo, possiamo ripeterlo e disegnare le altre parti del grafico:

Grafico del coseno completo

Notiamo che infatti, come abbiamo detto prima, si tratta del grafico di \sin(x) traslato di {\pi\over 2} a sinistra.



Tangente e cotangente


La tangente e la cotangente hanno invece come periodo \pi. Quindi ci basterà fermarci a \pi e ripetere quello che abbiamo trovato.


La tangente di 0 è uguale a 0, dunque il suo grafico passa per l'origine.


Tende a +\infty quando la x tende a \pi\over 2 e poi salta a -\infty per poi tornare a 0 quando la x vale \pi, completando così il periodo:

Tangente

Possiamo trovare le altre parti del grafico ripetendo il periodo:

Grafico della tangente

Notiamo che quindi presenterà asintoti verticali a {\pi\over 2} + 2k\pi dove k è un qualsiasi numero intero.


La cotangente, invece, parte a +\infty, arriva a 0 quando la x vale {\pi\over 2} e tende a -\infty quando la x tende a \pi:

Cotangente

Ripetendo il periodo otteniamo:

Grafico della cotangente

Quindi la cotangente avrà asintoti verticali x= \pi + 2k\pi dove k è un qualsiasi numero intero.



Ampiezza, periodo e fase


Abbiamo visto che il seno e il coseno sono sempre compresi tra 1 e -1. Se però moltiplichiamo il tutto per 2, allora sarà compreso tra 2 e -2:

Ampiezza del coseno

Il coefficiente davanti al seno o al coseno ci dice quindi il massimo e il minimo della funzione e viene chiamato ampiezza.


Se quindi prendiamo la funzione f(x)=5\sin(x), la sua ampiezza sarà 5 e il suo grafico sarà:

Ampiezza del seno

Oltre a mettere un coefficiente davanti alla funzione, possiamo mettere pure un coefficiente davanti alla x che sta nell'argomento.


Com'è il grafico, per esempio, di \cos(2x)?


L'argomento, essendo il doppio di x, aumenterà il due volte più velocemente di x, quindi ci metterà metà spazio per completare un periodo:

Periodo del coseno

Se il coseno aveva come periodo 2\pi, il coseno di 2x avrà infatti periodo di \pi.


In generale, se abbiamo una funzione y=\cos(wx), il suo periodo T varrà {2\pi\over w}:


T={2\pi\over w}


Possiamo poi aggiungere una costante. Per esempio potremmo avere y=\cos(x) + 1. Per rappresentarla, ci basta alzare di 1 tutto il grafico del coseno.


Infatti, l'equazione della funzione ci dice che per ogni x calcoliamo il suo coseno e poi lo alziamo di 1.


Il grafico di \cos(x) + 1 sarà quindi:

Coseno più costante

Infine, possiamo aggiungere una costante dentro l'argomento. Per esempio potremmo avere \cos(x + {\pi\over 4}). In alcuni casi possiamo usare gli archi associati per ricondurlo ad una funzione più semplice, ma non sempre è possibile e spesso dobbiamo lasciare quella costante lì dentro, chiamata fase.


Cosa fa la fase al nostro grafico? Se chiamiamo la nostra fase \phi (lettera greca che si leggere "phi" ("fi") che viene solitamente usata per indicare la fase), quello che noi stiamo facendo è mettere x+\phi al posto della x. Se vi ricordate, questo significa traslare a sinistra il grafico di \phi unità.


Nel nostro caso, quindi, se il grafico di \cos(x) era:

Grafico coseno

il grafico di \cos(x + {\pi\over 4}) sarà:

Grafico del coseno traslato

Se la costante che sommiamo è negativa, dovremo spostare il grafico verso destra. Quindi il grafico di \cos(x-{\pi\over 4}) sarà:

Grafico del coseno traslato a destra