Disequazioni goniometriche
Di seguito analizzeremo le disequazioni goniometriche vedendo cosa sono e come risolverle.
Cosa devo già sapere?
Cos'è una disequazione goniometrica?
Una disequazione goniometrica è una disequazione con l'incognita nell'argomento di una funzione goniometrica. Esempi di disequazioni goniometriche sono:
\cos(x)>0
\sin^2(x) + 4\sin(x) + 1 < 0
\cos(x) + x^2 + 3x + 5 < 0
Mentre non sono disequazioni goniometriche le seguenti:
x^2 + 3x > 5 perché non appare alcuna funzione goniometrica
\cos(3)x + 17> 0 perché non appare l'incognita nell'argomento del coseno. Infatti \cos(3) è solo una costante.
\cos(x) + x - \cos(x) >0 perché i due coseni si semplificano e si tratta in realtà di una disequazione lineare.
Per vedere come risolverle, le divideremo negli stessi casi delle equazioni goniometriche.
Disequazioni goniometriche elementari
Iniziamo con le disequazioni dove abbiamo una funzione goniometrica da un lato e una costante dall'altra, per esempio:
\sin(x) > {1\over 2}
Queste disequazioni goniometriche sono dette elementari.
Il procedimento iniziale è uguale a quello delle equazioni goniometriche. Se non ve lo ricordate, vi consigliamo di andare a vedere la nostra lezione sulle equazioni goniometriche (clicca qui).
Conoscendo i valori che possono assumere le funzioni goniometriche possiamo risolvere subito alcune di esse. Se troviamo una disequazione come:
\cos(x) > 7
Non ci sta alcuna soluzione nei reali perché il coseno è sempre minore o uguale ad 1. Oppure possiamo incontrare qualcosa come:
\sin(x)> -2
Che invece è sempre verificata perché il seno è sempre maggiore o uguale a -1. E' raro però che vi capitino disequazioni del genere.
Continuando con l'esempio di prima, tracciamo quindi la retta y={1\over 2} e vediamo quando interseca la circonferenza goniometrica:
Se alle intersezioni, come abbiamo visto nell'altra lezione, abbiamo l'uguaglianza, allora i valori sopra di esse saranno maggiori e quelli sotto saranno minori. Dunque, in questo caso, le soluzioni alle disequazioni sono gli angoli corrispettivi ai punti della circonferenza sopra le intersezioni:
Troviamo quindi le intersezioni. Per farlo risolviamo l'equazione:
\sin(x) = {1\over 2}
Sappiamo bene che le sue soluzioni sono:
x={\pi \over 6} + 2k\pi \vee x={5\pi \over 6}+2k\pi
I punti al di sopra sono quelli compresi tra le due soluzioni dell'equazione, dunque le soluzioni della disequazione saranno:
{\pi \over 6} + 2k\pi < x < {5\pi \over 6} + 2k\pi
Così, al variare di k otteniamo tutti gli intervalli che verificano la disequazione.
Anche nelle disequazioni potrebbe essere necessario effettuare un sostituzione se l'argomento è troppo complicato. Vediamo un esempio. Risolviamo la disequazione:
\cos(4x+1)>{\sqrt{3}\over 2}
Imponiamo y=4x+1 e sostituiamo:
\cos(y) > {\sqrt 3 \over 2}
Ora risolviamo la disequazione goniometrica elementare e dopo risostituiamo.
Le soluzioni dell'equazione sono:
y={\pi\over 6} + 2k\pi \vee y= -{\pi \over 6} + 2k\pi
Se con il seno dovevamo guardare ai valori più alti o più bassi, con il coseno dobbiamo guardare i valori a destra o a sinistra. Le soluzioni delle disequazioni sono dunque:
-{\pi\over 6}+ 2k\pi < y < {\pi\over 6} + 2k\pi
Lasciamo i calcoli dell'equazione e della disequazione come esercizio.
Ora sostituiamo:
-{\pi\over 6}+ 2k\pi < 4x+1 < {\pi\over 6} + 2k\pi
Alcuni professori potrebbero chiedervi di mettere le due disequazioni a sistema, ma noi semplificheremo direttamente da questa notazione siccome si tratta di operazioni semplici:
-{\pi\over 6}+ 2k\pi -1 < 4x < {\pi\over 6} + 2k\pi - 1
{-{\pi\over 6}+ 2k\pi-1 \over 4} < x < {{\pi\over 6} + 2k\pi-1\over 4}
Potrebbero capitarvi argomenti più complicati e nell'ultimo passaggio forse dovrete mettere le disequazioni a sistema, ma il procedimento è questo.
Disequazioni goniometriche di secondo grado
Per le disequazioni goniometriche di secondo grado del tipo:
a\sin^2(x) + b\sin(x) + c>0
O con qualche altra funzione goniometrica al posto del seno, ci basterà sostituire y=\sin(x) e risolvere l'equazione associata con la quale possiamo risolvere la disequazione.
Una volta risolta la disequazione per y risostituiamo \sin(x) ed isoliamo la x. Vediamo un esempio, risolviamo la disequazione:
2\sin^2 (x) + 5\sin(x) -3 > 0
Sostituiamo:
2y^2 + 5y -3 > 0
Risolviamo l'equazione associata:
2y^2 + 5y -3 =0
Le soluzioni sono:
y={1\over 2} \vee y=-3
Il coefficiente di y^2 è maggiore di 0, dunque la concavità della parabola associata è verso l'alto. Il segno della disequazione è il maggiore, dunque le soluzioni della disequazione sono:
y< -3 \vee y> {1\over 2}
Quindi risostituiamo \sin(x) ed otteniamo:
\sin(x) < -3 \vee \sin(x) > {1\over 2}
La prima disequazione è chiaramente impossibile perché \sin(x) è sempre maggiore di -1. La seconda disequazione, invece, si tratta di una disequazione goniometrica che abbiamo risolto prima e quindi già sappiamo che le sue soluzioni sono:
{\pi \over 6} + 2k\pi < x < {5\pi \over 6} + 2k\pi
Disequazioni goniometriche lineari in seno e coseno
Potremmo trovare delle disequazioni del tipo:
a\sin(x) + b\cos(x) + c>0
Esse vengono chiamate disequazioni goniometriche lineari in seno e coseno. "Lineari" perché non ci sono termini elevati a potenza e "in seno e coseno" perché appaiono solo queste due funzioni goniometriche.
Come nelle equazioni di questo tipo, possiamo usare le formule parametriche. Supponendo che il denominatore sia diverso da 0, ovvero che x sia diverso da {\pi \over 2} + k\pi, possiamo sostituire ed ottenere:
a {2t \over 1 + t^2 } + b{1-t^2 \over 1 + t^2} + c >0
Se non vi ricordate le formule parametriche, vi consigliate di andarle a vedere sulla nostra lezione sulle formule goniometriche (clicca qui). Adesso, portando tutto allo stesso denominatore, otteniamo:
{2at + b - bt^2 + c + ct^2 \over 1 + t^2 }>0
t^2 è un quadrato, dunque è sempre positivo. Di conseguenza, 1+t^2 è sempre maggiore di 0 quindi possiamo semplicare il denominatore e raccogliere:
(c-b) t^2 + 2at + b+c >0
Da qui basta risolverze la disequazione goniometrica di secondo grado.
Alternativamente, possiamo usare il fatto che:
a\sin(x) + b\cos(x) = r \sin(x+\alpha)
Dove r=\sqrt{a^2 + b^2} e \tan(\alpha) = {a\over b}
Se riuscite a trovare \alpha, tutto quello che dovete fare, poi, è risolvere la disequazione goniometrica riconducibile ad elementare tramite sostituzione che ottenete.
1.
Risolvere la seguente disequazione goniometrica elementare: \sin(x) > \frac{1}{2}
\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5}{6} \pi + 2 \pi k
1. Troviamo gli angoli in cui \sin(x) = \frac{1}{2}:
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{e} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
2. La disequazione \sin(x) > \frac{1}{2} è verificata negli intervalli compresi tra questi valori:
\frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
2.
Risolvere \cos(x) < \frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11}{6} \pi + 2\pi k
1. Troviamo gli angoli in cui \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}:
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{e} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi
2. La disequazione \cos(x) < \frac{\sqrt{3}}{2} è verificata negli intervalli:
\frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi
3.
Risolvere la seguente disequazione goniometrica di secondo grado: \sin^2(x) + \frac{1-\sqrt{3}}{2} \sin(x) \geq \frac{\sqrt{3}}{4}
\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \vee \frac{5\pi}{6} + 2 \pi k \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2 \pi k
1. Poniamo \sin(x) = t e risolviamo la disequazione quadratica:
t^2 + \frac{1-\sqrt{3}}{2} t \geq \frac{\sqrt{3}}{4}
2. Moltiplichiamo entrambi i membri per 4 per eliminare il denominatore:
4t^2 + 2(1-\sqrt{3})t - \sqrt{3} \geq 0
3. Risolviamo la disequazione quadratica in t e troviamo i valori critici:
t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad t = -\frac{1}{2}
4. Convertiamo questi valori in intervalli per x:
\sin(x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{e} \quad \sin(x) \leq -\frac{1}{2}
5. La disequazione è verificata negli intervalli:
\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{e} \quad \frac{5\pi}{6} + 2 \pi k \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2 \pi k
4.
Risolvere la seguente disequazione goniometrica lineare in seno e coseno: \cos(x) + \sin(x) > 1
2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2 \pi k
1. Consideriamo la funzione f(x) = \cos(x) + \sin(x) .
2. Utilizziamo l'identità: \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) .
3. La disequazione diventa: \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > 1 .
4. Dividiamo entrambi i membri per \sqrt{2}: \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .
5. Troviamo gli angoli in cui \cos(y) = \frac{\sqrt{2}}{2} :
y = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{e} \quad y = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi
6. Consideriamo i valori per x :
x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{e} \quad x - \frac{\pi}{4} > \frac{7\pi}{4} + 2k\pi
7. Da queste disequazioni otteniamo gli intervalli per x :
2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2 \pi k
5.
Risolvere la seguente disequazione goniometrica: 2 \cos^2(x) + 3 \cos(x) - 2 \cos(2x) \geq 0
-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2 k \pi
1. Semplifichiamo l'espressione usando l'identità per \cos(2x):
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
2. Sostituiamo e semplifichiamo:
2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 2(2\cos^2(x) - 1) \geq 0 \longrightarrow 2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 4\cos^2(x) + 2 \geq 0
3. Combiniamo i termini simili:
-2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 2 \geq 0
4. Poniamo t = \cos(x) e risolviamo la disequazione quadratica:
-2t^2 + 3t + 2 \geq 0
5. Troviamo le radici della quadratica:
t = -\frac{1}{2} \quad \text{e} \quad t = 2
6. Studiamo il segno della quadratica:
-\frac{1}{2} \leq \cos(x) \leq 2
7. Convertiamo questi intervalli per x:
-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi