Parabole
Di seguito analizzeremo le parabole.
Cosa devo già sapere?
Cos'è una parabola?
Una parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto F ed una retta d.
Questo punto fisso F viene chiamato fuoco, mentre la retta d è detta direttrice.
La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. Esso è anche l’asse di simmetria della parabola. Chiamiamo infine vertice della parabola il punto di intersezione della parabola con l’asse e lo indichiamo con la lettera V.
Il vertice è, insomma, il punto più alto o più basso della parabola, a seconda di come è rivolta.
In generale una parabola si indica con una lettera greca minuscola, solitamente con \gamma (gamma), ma possono anche essere usate altre lettere.
Perché ci interessano molto le parabole?
Perché, come vedremo tra poco, la parabola è descritta da un'equazione di secondo grado e questo la rende molto comune da incontrare e anche molto utile nella risoluzione di alcuni problemi, come le diseqazioni di secondo grado.
Abbiamo detto che si tratta di un luogo geometrico, ma di tratta anche di una funzione? Lo è quando la direttrice è orizzontale, altrimenti la parabola sarebbe storta o messa in orizzontale e ad una x corrispondebbero più y.
Parabola con asse coincidente con l’asse y e vertice nell’origine
Proviamo a trovare l'equazioni di una parabola. Per farlo, iniziamo dal caso più semplice, cioè quello di una parabola con asse coincidente all’asse delle y e con vertice nell’origine. Notiamo che il fuoco della parabola è un punto dell’asse delle y (perché il fuoco sta sempre sull'asse della parabola e in questo caso l'asse della parabola è l'asse y) e che per questo ha coordinate (0, f), con f\neq 0.
La direttrice, per definizione, è perpendicolare all’asse della parabola e per questo deve essere parallela all’asse delle x. Quindi, la direttrice interseca l’asse delle y in un punto D e questo, visto che il vertice deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice, ha coordinate (0;-f). L’equazione della direttrice sarà quindi
y = -f
Ora prendiamo un generico punto della parabola P(x,y) e cerchiamo le distanze \overline{PF} e \overline{PH} rispettivamente dal fuoco e dalla direttrice, dove H è il piede della distanza che parte da P.
\overline{PF}= \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = \sqrt{x^2+(y-f)^2}
\overline{PH}= |y+f|
Per definizione di parabola queste due distanze devono essere uguali:
\sqrt{x^2+(y-f)^2} = |y+f|
\longrightarrow x^2+(y-f)^2 = (y+f)^2 \longrightarrow x^2-4yf=0
Ora isoliamo la y e ricaviamo l’equazione y= \frac{1}{4f}\cdot x^2. Per semplificare un po’ l’equazione, poniamo a=\frac{1}{4f} e otteniamo
y=ax^2
che sarà dunque l’equazione generica di una parabola con asse coincidente con l’asse delle y e con vertice nell’origine. Per concludere troviamo alcune formule significative che potrebbero risultare utili nei problemi.
Partendo dalla relazione a=\frac{1}{4f} otteniamo f=\frac{1}{4a} e da questa possiamo ricavare le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice:
Coordinate del fuoco
F\bigg(0; \frac{1}{4a}\bigg)
Equazione della direttrice
d=-\frac{1}{4a}
Concavità e apertura
Una parabola con equazione y=ax^2 che ha la a>0, avrà per forza la y \geq 0 e quindi tutti i suoi punti (a eccezione del vertice) si troveranno al di sopra dell’asse delle x, e quindi saranno situati nel primo e nel secondo quadrante. Una parabola di questo tipo ha anche f>0 e quindi anche il fuoco si troverà sul semiasse positivo delle y: si dice che la parabola volge la sua concavità verso l'alto.
Analogamente, una parabola di equazione y=ax^2 che ha la a>0, avrà per forza y \leq 0 e quindi tutti i suoi punti (a eccezione del vertice) si troveranno al di sotto dell’asse delle x, e quindi saranno situati nel terzo e nel quarto quadrante. Una parabola di questo tipo ha anche f < 0 e quindi anche il fuoco si troverà sul semiasse negativo delle : si dice che la parabola volge la sua concavità verso il basso.
Nel caso in cui a=0 si avrebbe l’equazione y=0, che è l’equazione dell’asse delle x. In questo caso si dice che la parabola è degenere. In generale tutte le rette sono considerate parabole degeneri.
Parabola con asse parallelo all’asse y
Alle scuole superiori vengono affrontate soltanto particolari tipologie di parabole, ovvero quelle con asse parallelo all'asse y e quelle con asse paralleo all'asse x. In questa sezione parleremo della prima categoria e analizzeremo la loro equazione.
Si può dimostrare che una parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate ha equazione
y=ax^2+bx+c.
Da essa possiamo ricavare le coordinate del vertice:
V\bigg(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \bigg)
dove \Delta si legge delta ed è semplicemente quello contenuto all'interno della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, ovvero b^2-4ac.
Un'altra formula molto utile nella risoluzione degli esercizi è l'equazione della parabola partendo dalle coordinate del vertice. Se chiamiamo con (x_v,y_v) le coordinate del vertice, vale la seguente relazione:
y-y_v=a(x-x_v)^2
Esempio: Trova l'equazione della parabola di vertice (3,4) che si ottiene traslando la parabola y=2x^2.
Notiamo che l'esercizio ci chiede di trovare la parabola congruente a quella di equazione y=2x^2 che ha il vertice traslato (traslato significa semplicemente spostato ). Quello che ci serve per risolvere il problema è la relazione vista in precedenza, ovvero y-y_v=a(x-x_v)^2. Infatti abbiamo sia le coordinate del vertice, sia la a che è uguale perché le parabole sono congruenti.
y-4=2(x-3)^2 \longrightarrow y=2x^2-12x+22
A questo punto possiamo citare altre due formule molto utili nella risoluzione degli esercizi su questo tipo di parabole:
Equazione dell'asse
x=-\frac{b}{2a}
coordinate del fuoco
F\bigg(\frac{-b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\bigg)
Prima di concludere la sezione è utile analizzare in modo dettagliato il significato della quantità \Delta=b^2-4ac. Essa viene detta delta della parabola e conoscendo il segno di \Delta si può capire quante intersezioni ha la parabola con l'asse delle x:
-
se \Delta > 0 le intersezioni sono due;
-
se \Delta = 0 c'è un'unica intersezione (la parabola è tangente all'asse delle x);
-
se \Delta < 0 non ci sono intersezioni.
Parabola con asse parallelo all'asse x
Le parabole di questo tipo hanno equazione
y=ax^2+bx+c
In questo caso il parametro a ci indica se la parabola è rivolta verso sinistra (a > 0) o se è rivolta verso destra (a < 0). In generale, le sue caratteristiche sono molto simili a quelle delle parabole studiate in precedenza. Per questo citiamo solo le formule che ci interessano:
Coordinate del vertice
V \bigg( -\frac{\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a}\bigg)
Coordinate del fuoco
F \bigg( \frac{1-\Delta}{4a}, \frac{-b}{2a} \bigg)
1.
Trovare le coordinate del vertice della parabola con equazione y = 2x^2 + 4x + 1.
V(-1; -1)
Sappiamo che l'ascissa del vertice può essere calcolata come:
V_x = {-b \over 2a}
e quindi nel nostro caso avremo:
V_x = {-4 \over 4} = -1
L'ordinata può essere invece calcolata nel seguente modo:
V_y = {-\Delta \over 4a}
Ricordando che il discriminante \Delta si può calcolare come b^2 - 4ac, nel nostro esercizio otteniamo:
V_y = -{4^2 - 4\cdot 2 \cdot 1 \over 8} = -{16 - 8 \over 8} = -{8 \over 8} = -1
Quindi il vertice sarà il punto di coordinate (-1; -1)
V(-1;1)
2.
Trovate l'equazione della parabola passante per i seguenti tre punti:
P(1;1), T(3;5), S(2;0)
y = 3x^2 - 10x + 8
La parabola avrà equazione y = ax^2 + bx + c, dunque dobbiamo trovare i valori di a, b e c.
Per farlo, creiamo un sistema sfruttando il fatto che le coordinate dei punti appartenenti alla parabola devono soddisfare la sua equazione:
\left\{ \begin{array}{l} 1=a(1)^2 + b(1) + c\\5=a(3)^2 + b(3) + c\\0= a(2)^2 + b(2) + c \end{array} \right.
Semplificando otteniamo:
\left\{ \begin{array}{l} 1=a + b + c\\5=9a+3b+c\\0= 4a +2b+c \end{array} \right.
Adesso possiamo risolvere il sistema per sostituzione:
Isoliamo c nella prima equazione e sosituiamolo nelle altre due:
\left\{ \begin{array}{l} c= 1-a-b\\5=9a+3b+c\\0= 4a +2b+c \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} c=1-a-b\\5=9a+3b+1-a-b\\0= 4a +2b+1-a-b \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} c=1-a-b\\4=8a+2b\\-1= 3a+b \end{array} \right.
nella seconda equazione possiamo dividere entrambi i lati per 2:
\left\{ \begin{array}{l} c=1-a-b\\2=4a+b\\-1= 3a+b \end{array} \right.
Possiamo isolare b nella seconda equazione e sostituirlo nella terza:
\left\{ \begin{array}{l} c=1-a-b\\b=2-4a\\-1= 3a+b \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} c=1-a-b\\b=2-4a\\-1= 3a+2-4a \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} c=1-a-b\\b=2-4a\\a=3 \end{array} \right.
Ora sostituiamo a per trovare b:
\left\{ \begin{array}{l} c=1-(3)-b\\b=2-4\cdot(3)\\a=3 \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} c=-2-b\\b=2-12\\a=3 \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} c=-2-b\\b=-10\\a=3 \end{array} \right.
Infine sostituiamo b per trovare c:
\left\{ \begin{array}{l} c=-2-(-10)\\b=-10\\a=3 \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} c=8\\b=-10\\a=3 \end{array} \right.
Dunque l'equazione della parabola sarà y = 3x^2 - 10x + 8.
y = 3x^2 - 10x +8
3.
Trovare l'equazione della parabola con vertice V(3, -2) e che passa per il punto (0, 4).
y = \frac{2}{3}x^2 - 4x + 4
Utilizziamo le equazioni delle coordinate del vertice:
V_x= {-b\over 2a}
Da cui otteniamo b = -6a.
Mentre dalla formula V_y = -{\Delta\over 4a} otteniamo:
-2 = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}
Siccome il punto di intersezione con l'asse y è (0, 4), dobbiamo avere che c = 4.
Sostituendo b = -6a e c = 4 nell'altra equazione otteniamo -2 = -\frac{(-6a)^2 - 4 \cdot a \cdot 4}{4a} . Semplificando otteniamo:
-2 = -\frac{36a^2 - 16a}{4a}
Semplificando ulteriormente, otteniamo -2 = -9a + 4 , da cui a = \frac{2}{3} .
Sostituendo a = \frac{2}{3} in b = -6a , troviamo b = -4.
Quindi, l'equazione della parabola è y = \frac{2}{3}x^2 - 4x + 4 .
y = \frac{2}{3}x^2 - 4x + 4
4.
Determina l'equazione della parabola che ha il vertice nel punto V(0, -3) e passa per il punto
y = x^2 - 3
Scriviamo l'equazione generale della parabola con vertice in V(0, -3) :
y = ax^2 - 3
Sostituiamo il punto P(2, 1) nell'equazione:
1 = 4a - 3
Da cui otteniamo a=1.
Sostituendo a nell'equazione, otteniamo y = x^2 - 3.
y = x^2 - 3
5.
Determinare l'equazione della parabola che passa per i punti A(1, 2) , B(2, 3) , e C(-1, 4) .
y = \frac{2}{3}x^2 - x + \frac{7}{3}
Sostituendo le coordinate dei punti nell'equazione generica della parabola otteniamo il seguente sistema di equazioni:
\left\{ \begin{array}{l} 2 = a + b + c\\3 = 4a + 2b + c\\4 = a - b + c \end{array} \right.
Sottraiamo la prima equazione dalla seconda:
(3 = 4a + 2b + c) - (2 = a + b + c) \rightarrow 1 = 3a + b
Sottraiamo la prima equazione dalla terza:
(4 = a - b + c) - (2 = a + b + c) \rightarrow 2 = -2b quindi b = -1
Sostituendo b = -1 in 1 = 3a + b otteniamo 1 = 3a - 1 , quindi a = \frac{2}{3} .
Sostituendo a = \frac{2}{3} e b = -1 in 2 = a + b + c otteniamo c = \frac{7}{3} .
L'equazione della parabola è y = \frac{2}{3}x^2 - x + \frac{7}{3} .
y = \frac{2}{3}x^2 - x + \frac{7}{3}