Numeri decimali
Di seguito analizzeremo i numeri decimali.
Cosa devo già sapere?Da sapere:
Cosa sono i numeri decimali?
I numeri decimali sono i numeri con la virgola.
Quindi, ad esempio, 1,5 è un numero decimale.
Esistono tre tipi di numeri decimali: i numeri decimali limitati, i numeri decimali illimitati periodici e i numeri decimali illimitati non periodici.
Vediamo i singoli casi in maggior dettaglio:
Numeri decimali limitati
Cos'è un numero decimale limitato? Si tratta di un numero decimale con un numero finito di cifre dopo la virgola.
Quindi, ad esempio, 3,7 è un numero decimale limitato, perché c'è solo una cifra dopo la virgola.
Anche 2,78349473830284988394 è un numero decimale limitato perché, anche se ha molte cifre dopo la virgola, il numero di cifre è finito, sono 20 cifre.
Come convertire un numero decimale limitato in una frazione? Per farlo ci basta mettere al numeratore il numero togliendo alla virgola e al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola.
Dunque, ad esempio, posso riscrivere 2,25 come {225\over 100} perché ho due cifre dopo la virgola quindi metto due zeri. Ricordatevi che poi potete semplificare le frazioni e ridurle ai minimi termini. Nel nostro caso, infatti, possiamo dividere il numeratore e il denominatore per 25 ed ottenere che la frazione {225\over 100} è uguale a {9\over 4}. Di seguito riportiamo altri esempi di numeri decimali limitati convertiti in frazioni e poi semplificate:
{4,1} = {41\over 10}
0,04= {4\over 100} = {1\over 25}
{1,5} = {15\over 10} = {3\over 2}
1,23456789 = {123456789\over 100000000}
Non tutti i numeri decimali, però, hanno un numero finito di cifre. Vediamo quindi cosa succede quando il numero di cifre è infinito:
Numeri decimali illimitati periodici semplici
Cos'è un numero periodico semplice? Un numero decimale è detto periodico semplice se dopo la virgola le sue cifre si ripetono sempre uguali all'infinito.
Quindi se scrivo 1,33333333333333333... con altri infiniti 3, ho scritto un numero decimale periodico semplice.
Però non possiamo scrivere infinite cifre, sarebbe impossibile! Allora come si scrive un numero periodico semplice?
Basta mettere una barretta sopra alla cifra che si ripete. Quindi, il numero di prima diventa 1,\overline{3} e si legge "uno virgola tre periodico".
Alternativamente, come avevamo fatto all'inizio, potete mettere i tre puntini dopo avere ripetuto qualche volta le cifre che si ripetono, anche se secondo noi la notazione con la barretta è più comodo e chiara.
Il numero che si ripete è detto periodo. Questo periodo, però, non deve per forza essere formato da una sola cifra, ma anche da gruppi di più cifre. L'importante è che si ripetino insieme all'infinito. Dunque anche 1,2323232323232323232323... è un numero periodico semplice. Per indicarlo con la notazione della barretta basta metterla su tutto il periodo: 1,\overline{23}
Potremmo anche avere periodi lunghissimi, come 0,\overline{142857} (che, come vedremo dopo, è uguale a {1\over 7}) ma sono più rari da incontrare.
Vediamo quindi come si converte un numero periodico semplice in una frazione:
Questa volta abbiamo un numero infinito di cifre, quindi non possiamo mettere tutto il numero al denominatore. Per questo, mettiamo solo una volta il periodo. Questa volta, poi, al denominatore ci saranno tanti 9 quante le cifre del periodo.
Quindi, se ad esempio ho 3,\overline{3}, posso convertirlo in frazione come {33\over 9}, cioè {11\over 3}.
Se invece ho 1,\overline{47}, posso convertirlo come {147\over 99}, che è uguale a {49\over 33}.
Se poi ho 0,\overline{3425}, sarà uguale a {3425\over 9999}.
Infine verifichiamo che, come avevamo detto poco fa, 0,\overline{142857} = {1\over 7}. Per farlo convertiamo il numero decimale periodico semplice in frazione e poi semplifichiamo:
0,\overline{142857} = {142857\over 999999} = {143\over 1001} = {13\over 91} = {1\over 7}
Talvolta, però, il periodo non inizia subito dopo la virgola, ma potrebbe esserci una prima parte decimale diversa dal periodo. Studiamo meglio questo caso:
Numeri decimali illimitati periodici misti
Cos'è un numero decimale illimitato periodico misto? Un numero decimale è detto periodico misto se sono presenti delle altre cifre tra la virgola e il periodo.
Ad esempio, potremmo avere 1,423232323232323.... Il periodo, cioè la parte che si ripete all'infinito, è 23, ma non inizia a ripetersi subito dopo la virgola come nel caso dei numeri periodici semplici, ma ci sta prima un 4.
Siccome in latino "davanti" si dice "ante" e questa parte si trova davanti al periodo, la chiamiamo antiperiodo.
Dunque un numero periodico è detto misto se ha sia un periodo che un antiperiodo.
Quando useremo la notazione della barretta, quindi, la metteremo solo sopra al periodo. Quindi il numero di prima diventa 1,4\overline{23}.
L'antiperiodo può anch'esso essere formato da più cifre. Per esempio potremo pure avere 2,37485\overline{7}.
Ok, ora però dobbiamo vedere come convertire un numero periodico misto in una frazione. Per farlo, dobbiamo mettere al numeratore la differenza tra il numero con il periodo mostrato solo una volta e il numero senza periodo. Nel denominatore, invece, questa volta mettiamo sotto tanti 9 quante le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quanti le cifre dell'antiperiodo.
Quindi, 1,4\overline{23}, siccome il suo periodo ha due cifre e il suo antiperiodo una, diventa {1423-14\over 990}, cioè {1409\over 990}
Ecco di seguito qualche altro esempio:
0,45\overline{25} = {4525-45\over 9900} ={4480\over 9900}
2,13\overline{7} = {2137-213\over 900}={1924\over 900}
1,2\overline{3} = {123-12\over 90} ={111\over 90}= {37\over 30}
Però, vi potreste star chiedendo: ma se non ho numeri nel periodo e dunque non metto alcun 9 nel denominatore, allora ci stanno solo zeri, dunque sto dividendo per zero, quindi com'è possibile? Il punto è che se non avesse cifre nel periodo, allora non sarebbe più un numero periodico e dunque andrebbe convertito come un numero decimale limitato.
Alcuni numeri decimali, però, hanno un numero infinito di cifre dopo la virgola che non seguono un preciso schema, ma sembrano susseguirsi a caso, vediamo un po' cosa sono:
Numeri decimali illimitati non periodici
Cos'è un numero decimale illimitato non periodico? Si tratta di un numero decimale con infinite cifre dopo la virgola che non ha un periodo.
Un esempio di numero decimale illimitato non periodico è la radice quadrata di due. Se infatti scriviamo le sue prime cifre, notiamo che non si ripetono mai secondo un preciso schema:
\sqrt{2} \approx 1,414213562373095048801688724209698078569671875
E possiamo andare avanti all'infinito a scrivere cifre su cifre su cifre senza poter mai trovare un periodo.
Un altro esempio è \pi , pi greco, il rapporto tra la circonferenza del cerchio e il suo diametro.
Come convertire un numero decimale illimitato non periodico in una frazione? Beh... non si può. Sono comunemente chiamati, infatti, numeri irrazionali.
Si chiamano così perché i numeri esprimibili come frazioni sono detti razionali, quindi mettiamo la i davanti come negazione.
Come abbiamo raccontanto in dettaglio nella lezione sulla radice quadrata (guarda qui), la scoperta dell'irrazionalità della radice di due fu scioccante al tempo.
I numeri irrazionali, dunque, si ottengono da alcune radici e da alcune costanti che si trovano in geometria o in altre branche della matematica, come \pi .