Di seguito analizzeremo i numeri decimali.
Da sapere:
I
Quindi, ad esempio,
Esistono tre tipi di numeri decimali: i numeri decimali limitati, i numeri decimali illimitati periodici e i numeri decimali illimitati non periodici.
Vediamo i singoli casi in maggior dettaglio:
Cos'è un numero
Quindi, ad esempio,
Anche
Come convertire un numero decimale limitato in una frazione? Per farlo ci basta mettere al numeratore il numero togliendo alla virgola e al denominatore un
Dunque, ad esempio, posso riscrivere
Non tutti i numeri decimali, però, hanno un numero finito di cifre. Vediamo quindi cosa succede quando il numero di cifre è infinito:
Cos'è un numero
Quindi se scrivo
Però non possiamo scrivere infinite cifre, sarebbe impossibile! Allora come si scrive un numero periodico semplice?
Basta mettere una barretta sopra alla cifra che si ripete. Quindi, il numero di prima diventa
Alternativamente, come avevamo fatto all'inizio, potete mettere i tre puntini dopo avere ripetuto qualche volta le cifre che si ripetono, anche se secondo noi la notazione con la barretta è più comodo e chiara.
Il numero che si ripete è detto
Potremmo anche avere periodi lunghissimi, come
Vediamo quindi come si converte un numero periodico semplice in una frazione:
Questa volta abbiamo un numero infinito di cifre, quindi non possiamo mettere tutto il numero al denominatore. Per questo, mettiamo solo una volta il periodo. Questa volta, poi, al denominatore ci saranno tanti
Quindi, se ad esempio ho
Se invece ho
Se poi ho
Infine verifichiamo che, come avevamo detto poco fa,
Talvolta, però, il periodo non inizia subito dopo la virgola, ma potrebbe esserci una prima parte decimale diversa dal periodo. Studiamo meglio questo caso:
Cos'è un numero decimale illimitato
Ad esempio, potremmo avere
Siccome in latino "davanti" si dice "ante" e questa parte si trova davanti al periodo, la chiamiamo
Dunque un numero periodico è detto misto se ha sia un periodo che un antiperiodo.
Quando useremo la notazione della barretta, quindi, la metteremo solo sopra al periodo. Quindi il numero di prima diventa
L'antiperiodo può anch'esso essere formato da più cifre. Per esempio potremo pure avere
Ok, ora però dobbiamo vedere come convertire un numero periodico misto in una frazione. Per farlo, dobbiamo come prima mettere al numeratore il numero con il periodo mostrato solo una volta e questa volta mettiamo sotto tanti
Quindi,
Ecco di seguito qualche altro esempio:
Però, vi potreste star chiedendo: ma se non ho numeri nel periodo e dunque non metto alcun
Alcuni numeri decimali, però, hanno un numero infinito di cifre dopo la virgola che non seguono un preciso schema, ma sembrano susseguirsi a caso, vediamo un po' cosa sono:
Cos'è un numero decimale
Un esempio di numero decimale illimitato non periodico è la radice quadrata di due. Se infatti scriviamo le sue prime cifre, notiamo che non si ripetono mai secondo un preciso schema:
E possiamo andare avanti all'infinito a scrivere cifre su cifre su cifre senza poter mai trovare un periodo.
Un altro esempio è
Come convertire un numero decimale illimitato non periodico in una frazione? Beh... non si può. Sono comunemente chiamati, infatti, numeri
Si chiamano così perché i numeri esprimibili come frazioni sono detti razionali, quindi mettiamo la i davanti come negazione.
Come abbiamo raccontanto in dettaglio nella lezione sulla radice quadrata (guarda qui), la scoperta dell'irrazionalità della radice di due fu scioccante al tempo.
I numeri irrazionali, dunque, si ottengono da alcune radici e da alcune costanti che si trovano in geometria o in altre branche della matematica, come
Di che tipologia è il numero decimale 1,4?
Limitato
Per trovarne la tipologia di un numero decimale dobbiamo trasformarlo in frazione.
Sapendo che il numero ha una cifra dopo la virgola e che essa non è periodica, possiamo scrivere:
\frac{14}{10}
In fine visto che il denominatore è 10 o un suo multiplo possiamo dire che questo numero periodico è:
Limitato
Di che tipologia è il numero decimale 1,\bar{3}?
Illimitato periodico semplice
Sapendo che il numero ha una cifra periodica dopo la virgola senza antiperiodo possiamo dedurre che esso è:
Illimitato Periodico Semplice
Di che tipologia è il numero decimale ?
Illimitato periodico misto
Sapendo che Il numero decimale ha dopo la virgola un antiperiodo che viene prima del periodo (ovvero le cifre ripetute), si può affermare che esso è:
Illimitato periodico misto
Trasforma in numero decimale la frazione: \frac{14}{100} e trovane la tipologia
Limitato; 0,14
Prendiamo la frazione e andiamo a vedere il denominatore, che in questo caso è 100.
Sapendo che il denominatore è 10 o un suo multiplo (100), questo numero è decimale limitato.
Ora eseguiamo la divisione:
14:100 = 0,14
Limitato; 0,14
Trasforma in numero decimale la frazione: \frac{26}{9} e trovane la tipologia
Illimitato periodico semplice; 2,\bar{8}
Prendiamo la frazione e andiamo a vedere il denominatore, che in questo caso 9
Sapendo che il denominatore è 9 o una ripetizione di nove (99;999..), questo numero è illimitato periodico semplice
Ora eseguiamo il calcolo:
26 : 9 = 2,\bar{8}
Illimitato periodico semplice; = 2,\bar{8}
Trasforma in numero decimale la frazione: \frac{435}{90} e trovane la tipologia
Illimitato periodico misto; 4,8\bar{3}
Prendiamo la frazione e andiamo a vedere il denominatore, che in questo caso è 90
Sapendo che il denominatore è 90, si può dire che questo numero è Illimitato periodico misto perché, nel denominatore il nove rappresenta il periodo e lo zero l’antiperiodo.
Ora eseguiamo il calcolo:
435 : 90 = 4,8 \bar{3},
illimitato periodico misto
Trasforma in una frazione il numero decimale: 4,6
\frac{46}{10}
Prendiamo il numero decimale e andiamo a vedere le cifre dopo la virgola che in questo caso è 8.
Per trasformarla in frazione dobbiamo mettere al numeratore il numero, senza virgola e al denominatore 1,con aggiunti tanti zeri quante cifre dietro la virgola:
\frac{46}{10}
Trasforma in una frazione il numero decimale: 6,\bar{7}
\frac{61}{9}
Prendiamo il numero decimale e andiamo a vedere le cifre dopo la virgola che in questo caso è \bar{7}.
Per trasformarla in frazione dobbiamo mettere al numeratore la differenza tra il numero stesso senza virgola e ciò che viene prime del periodo, in questo caso sei:
67 - 6 = 61
E al denominatore, visto che è un numero illimitato periodico semplice, come dice la regola va messo 9 ripetuto tante volte quante cifre comprende il periodo:
\frac{61}{9}
Trasforma in una frazione il numero decimale: 3,8\bar{5}
3,8\bar{5}
Prendiamo il numero decimale e andiamo a vedere le cifre dopo la virgola che in questo caso sono 8\bar{5}
Per trasformarla in frazione dobbiamo mettere al al numeratore la differenza tra il numero stesso senza virgola e ciò che viene prime del periodo, in questo caso 38:
385 - 38 = 347
E al denominatore, visto che è un numero illimitato periodico misto, come dice la regola vanno messi tanti 9 quante cifre è formato il periodo, e tanti 0 quante cifre comprendono l’antiperiodo
3,8\bar{5}
Trasforma in una frazione il numero decimale: 32,6 \bar{41}
\frac{32315}{990}
Prendiamo il numero decimale e andiamo a vedere le cifre dopo la virgola che in questo caso sono 6\bar{41}.
Per trasformarla in frazione dobbiamo mettere al numeratore la differenza tra il numero stesso senza virgola e ciò che viene prime del periodo:
32641 - 326 = 32315
E al denominatore, visto che è un numero illimitato periodico misto, come dice la regola va messo 9 ripetuto tante volte quante cifre comprende il periodo, e tanti 0 quante cifre comprendono l’antiperiodo.
\frac{32315}{990}