Frazioni

Cos'è una frazione?

Per spiegare cosa sia una frazione, raccontiamo una storiella comunemente usata:

E' il compleanno di un vostro amico. Avete giocato per ore ed adesso è arrivato il momento di soffiare le candeline. Il vostro amico soffia e voi applaudite e gli fate gli auguri. Ora volete mangiare la torta. La torta però è solo una, non potete dare un'intera torta a testa. Come fate allora? Tagliate la torta. Cioè la dividete in parti più piccole per darne una ad ognuno.

Poniamo che oltre a te e al festeggiato ci siano altri due vostri amici. Se volete che ognuno di voi quattro mangi la stessa quantità di torta, dovete dividerla in quattro parti uguali, come nella figura:

Ognuno di voi ora non ha un'intera torta, ma solo un pezzo. Avete solo un quarto della torta. Cioè avete diviso 1 per 4.

Però non usiamo la notazione con i due punti, ma mettiamo il numero che stiamo dividendo, sotto di esso disegnamo una linietta e sotto ancora scriviamo il numero di parti in cui lo abbiamo diviso. Quindi ognuno di voi avrà {1\over 4} della torta.

Se invece eravate in 5, avrete diviso la torta in 5 parti uguali, come nella figura:

Quindi ognuno di voi avrebbe avuto {1\over 5} della torta.

Poniamo che scopriate solo dopo aver tagliato la torta che uno dei vostri amici è intollerante al lattosio. Non può dunque mangiare la torta, quindi decidete di dare la fetta extra al festeggiato. Adesso quindi lui non avrà più solo {1\over 5} della torta, ma, avendo 2 fette, avrà {2\over 5} della torta. I suoi pezzetti sono evidenziati nella seguente figura.

Quindi, per indicare una frazione, dovete mettere il numero di parti che avete, poi mettete un trattino e infine il numero di parti in cui è stata divisa. Proponiamo di seguito qualche altro esempio per chiarire il concetto.

Se taglio una mela in 4 spicchi ma ne mangio solo 3, allora ho mangiato 3\over 4 della mela.

Se ci sono 10 cioccolatini sul tavolo e ne prendo 3, ho preso 3\over 10 del numero di cioccolatini.

Diamo ora dei nomi alle varie parti di una frazione:

Il numero che sta sopra il trattino (cioè il numero di parti che ho) è detto numeratore.

Quello che invece si trova sotto (cioè il numero di parti in cui ho diviso l'1) si chiama denominatore.

Il trattino ha un nome specifico: si chiama linea di frazione.

Nella frazione {5\over 7}, dunque, il numeratore è 5 e il denominatore è 7.

Ora notiamo una cosa interessante: se prendo una pizza e la taglio in 10 fette e ne prendo 5, avrò preso 5\over 10 della pizza. Ma se guardiamo la figura qui sotto, notiamo che abbiamo preso esattamente metà pizza:

Quindi alcune frazioni sono uguali? Proprio così. Se io moltiplico o divido il numeratore e il denominatore di una stessa frazione per uno stesso numero, la frazione rimane la stessa, non cambia.

Infatti, se prendo {5\over 10} e divido il numeratore e il denominatore per 5, ottengo proprio {1\over 2}.

Come fa a funzionare? Questo succede perché se io aumento il numeratore, prendo più parti, ma se aumento il denominatore rendo ogni parte più piccola e quindi si compensano a vicenda. Ricordate però che potete solo moltiplicare o dividere, se sommate o sottraete cambiate la frazione.

Ricordandoci che una frazione non è altro che una divisione tra il numeratore e il denominatore, quello che abbiamo fatto è semplicemente stato applicare la proprietà invariantiva della divisione.

Vediamo ora le differenze tra frazioni proprie, frazioni improprie e frazioni apparenti.

Le frazioni proprie sono come gli esempi che abbiamo visto finora, dove il numeratore è più piccolo del denominatore.

Se invece il numeratore è più grande del denominatore, allora si dice che la frazione è impropria.

Che significa? Significa che io ho un'intero più qualche altro pezzetto. Per esempio, se ho {3\over 2} pizze, significa che ho una pizza intera più mezza pizza:

Mentre si dice frazione apparente una frazione il cui numeratore è un multiplo del denominatore.

Perché sono chiamate apparenti? Perchè appaiono, cioè sembrano, delle frazioni, ma in realtà sono numeri interi. Se infatti ho {4\over 2} pizze, siccome posso dividere numeratore e denominatore per 2, è la stessa cosa di avere 2\over 1 pizze, cioè 2 pizze. Quindi sì, ho diviso le pizze in più parti, ma ce l'ho tutte io:

Infine, il reciproco di una frazione è la frazione capovolta. Cioè scambio il numeratore con il denominatore. Quindi il reciproco di {2\over 3} è {3\over 2}, mentre quello di {7\over 12} è {12\over 7}. Ricordatevi del reciproco perché ci servirà per fare la divisione fra frazioni tra poco.

Vediamo ora come si fanno le operazioni con le frazioni:

Operazioni con frazioni

Come abbiamo visto prima, se un vostro amico non poteva mangiare più la torta e davate due fette al vostro amico, egli aveva 2\over 5 della torta.

Questo vuol dire che se prendo 1\over 5 e gli sommo 1\over 5 ottengo {2\over 5}, cioè:

{1\over 5}+ {1\over 5} = {2\over 5 }

Poniamo adesso che un vostro amico debba tornare di corsa a casa e che dunque non mangi la sua fetta. Tu non la vuoi e nemmeno l'altro vostro amico la vuole, dunque date anche quest'altra al festeggiato. Ora lui ha 3 fette della torta e, come si vede nella figura qui sotto, avrà {3\over 5} della torta:

Quindi prima aveva {2\over 5}, gli abbiamo sommato {1\over 5} ed abbiamo ottenuto {3\over 5}:

{2\over 5}+ {1\over 5} = {3\over 5}

Ma non sarà mica che per sommare frazioni con lo stesso denominatore bisogna solo sommare i numeratori? Eh già, è proprio così! Quindi, se devo fare, per esempio, {3\over7} + {2\over 7}, farà {5\over 7}, facile no?

Vediamo qualche altro esempio di somma delle frazioni con lo stesso denominatore:

{4\over 7} + {2\over 7} = {6\over 7}

{1\over 3} + {1\over 3} = {2\over 3}

{2\over 10} + {5\over 10} = {7\over 10}

Però potrebbe succedere che volete sommare due frazioni che non hanno lo stesso denominatore. Là le cose si fanno più complicate, ma tranquilli, ora vi spiegheremo come fare:

Poniamo di voler calcolare quanto fa {1\over 6} + {1\over 9}. Come fare?

Arrivati a questo punto dobbiamo ragionare: noi, finora, cosa sappiamo fare? Sappiamo sommare due frazioni che hanno lo stesso denominatore. Come posso ricondurre il mio problema al caso che già conosco?

Noi sappiamo pure che moltiplicare numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero non cambia niente. Allora potrei usare questo fatto per portare le frazioni allo stesso denominatore e poi sommarle!

Vediamo più dettagliatamente cosa intendo:

Io prendo {1\over 9}, e so che posso moltiplicare il numeratore e il denominatore per 2 senza cambiare la frazione. Dunque devo avere:

{1\over 9} = {2\over 18}

Poi prendo {1\over 6} e moltiplico il numeratore e il denominatore per 3, scoprendo che:

{1\over 6} = {3\over 18}

Quindi, per fare {1\over 6} + {1\over 9}, posso scrivere {3\over 18} al posto di {1\over 6} e scrivere {2\over 18} al posto di {1\over 9}. Così facendo scopro che:

{1\over 6} + {1\over 9} = {3\over 18} + {2\over 18}

Ed ora ho due frazioni con lo stesso denominatore che so come sommare! Quindi il risultato sarà {5\over 18}.

Ok, però potreste obbiettare che quel 3 e quel 2 per cui ho moltiplicato li ho tirati fuori dal niente, non vi ho spiegato perché usando quelli funziona.

Come ho fatto a scoprire che erano quelli i due numeri? Dovete notare che il denominatore a cui vogliamo arrivare è il minimo comune multiplo dei denominatori delle due frazioni (infatti mcm(6,9) = 18). Una volta trovato, ti basta trovare per quale numero devi moltiplicare il denominatore per arrivarci. Quindi nel caso di {1\over 6}, devo notare che 6\times 3 = 18 e dunque moltiplicherò per 3, mentre nel caso di {1\over 9} noto che 9\times 2 = 18, dunque è 2 il nostro numero.

Se non riuscite a trovare ad occhio il numero per cui moltiplicare, potete dividere l'mcm per il denominatore per trovarlo (18:6 =3 e 18:9 = 2).

Vediamo qualche altro esempio: calcoliamo {1\over 7} + {1\over 5}.

L'mcm di 7 e 5 è 35. Quindi otterrò:

{1\over 7} + {1\over 5} = {5\over 35} + {7\over 35} = {12\over 35}

Se invece voglio fare {1\over 4} + {1\over 2}, noto che l'mcm è 4 ed ottengo:

{1\over 4} + {1\over 2} = {1\over 4} + {2\over 4} = {3\over 4}

Se invece di sommare sto sottraendo, il procedimento è lo stesso, solo che alla fine invece di sommare i due numeratori, li sottrarò. Quindi, ad esempio, se voglio calcolare {1\over 2} - {1\over 3}, otterrò:

{1\over 2} - {1\over 3} = {3\over 6} - {2\over 6} = {1\over 6}

Ora siamo pronti per studiare la moltiplicazione tra frazioni:

Poniamo di aver diviso una pizza in tre fette e noi prendiamo solo una fetta:

Avremo {1\over 3} della pizza.

Adesso, prendiamo solo {1\over 3} della nostra fetta. Per farlo la dividiamo in tre parti uguali e ne prendiamo solo una:

Se dividiamo pure le altre fette in tre, notiamo facilmente che quello che ci rimane è solo {1\over 9} della pizza:

Dunque abbiamo preso {1\over 3} di {1\over 3}, cioè abbiamo fatto {1\over 3}\times {1\over 3} ed abbiamo ottenuto {1\over 9}. Cioè:

{1\over 3}\times {1\over 3} = {1\over 9}

Se torniamo a quando avevamo un terzo della pizza e questa volta prendiamo {2\over 3} della nostra fetta, cioè la dividiamo in tre parti e ne prendiamo due, notiamo facilmente che avremo {2\over 9} della pizza:

Quindi abbiamo ottenuto che:

{1\over 3}\times {2\over 3} = {2\over 9}

Ma non sarà mica che basta moltiplicare i due denominatori e i due numeratori? Sì, è proprio così!

Quindi se ho {2\over 7}\times {3\over 5} il risultato sarà {6\over 35}.

Ecco di seguito qualche altro esempio:

{1\over 2}\times {3\over 4} = {3\over 8}

{5\over 9} \times {2\over 3} = {10\over 27}

{13\over 2}\times {3\over 11} = {39\over 22}

Ok, però ci sta un trucchetto che è fondamentale che voi impariate! Quando avete moltiplicazioni fra frazioni, nella maggior parte dei casi, potete semplificare alcune cose. In questo modo i numeri diventeranno molto più piccoli e sarà più facile fare i calcoli:

Innanzitutto, prima di moltiplicare, riducete le frazioni ai minimi termini. Che significa?

Una frazione è detta ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore non hanno nessun divisore in comune (tranne 1, che divide tutti i numeri).

Quindi, {2\over 3} è ridotta ai minimi termini, mentre {4\over 8} non lo è, perché sono entrambi divisibili per 4.

Per ridurla ai minimi termini, devo sfruttare il fatto che posso dividere il numeratore e il denominatore per uno stesso numero, che in questo caso sarà proprio il loro divisore comune.

Quindi {4\over 8}, dividendo numeratore e denominatore per 4, la trasformo in {1\over 2} che adesso è ridotto ai minimi termini.

Riducendo le frazioni rendo i numeri con cui lavoro molto più piccoli.

Ma non è finita qui! C'è un altro trucchetto utilissimo: quando moltiplico due frazioni, possso semplificare lungo le linee della \times . Che significa? Tranquilli, può suonare complicato ma è semplice, ora vedrete un esempio e lo capirete subito:

Calcoliamo {2\over 3} \times {9\over 16}. Le frazioni sono ridotte ai minimi termini, ma ancora non ci conviene moltiplichiamo perché possiamo semplificare ulteriormente.

La prima linea della \times è quella che va dal 3 in basso a sinistra al 9 in alto a destra:

Quindi possiamo semplificare il 3 e il 9. Entrambi sono divisibili per 3, quindi dividiamoli per esso. Quando lo facciamo, tracciamo una sbarra obliqua sul vecchio numero e scriviamo accanto in piccolo il risultato della divisione:

E adesso guardiamo all'altra linea della \times :

Anche qui, possiamo dividere entrambi i numeri per 2, ottenendo:

Adesso riscriviamo i nuovi numeri che abbiamo ottenuto al posto di quelli vecchi:

E adesso moltiplichiamo, ottenendo {3\over 8}. Visto come i numeri sono usciti molto più piccoli? Altrimenti avreste dovuto fare 2\times 9 e 3\times 16.

Quindi possiamo semplificare in verticale le singole frazioni e poi in obliquo lungo le linee della \times , ma mi raccomando, non si può semplificare in orizzontale! In orizzontale si moltiplica soltanto.

Ricordate: verticale e obliquo divido, orizzontale moltiplico.

Vediamo quindi la divisione tra frazioni.

In realtà è piuttosto semplice, infatti basta moltiplicare per il reciproco.

Quindi, se devo fare {6\over 5} : {7\over 5}, è uguale a fare {6\over 5} \times {5\over 7}, che, semplificando, fa {6\over 7}.

Infine, vediamo la potenza di una frazione.

Anche questa è abbastanza facile, infatti basta fare la potenza del numeratore e del denominatore. Quindi, per esempio :

\left({2\over 3}\right)^2 = {2^2 \over 3^2} = {4\over 9}

E anche:

\left({3\over 5}\right)^3 = {3^3 \over 5^3} = {27\over 125}

Quindi per questa lezione è tutto, se avete letto tutto quanto ed ora siete arrivati fino a qua, siete dei campioni e riuscirete a risolvere qualsiasi problema con le frazioni. Se volete studiare le espressioni con le frazioni, cliccate qui.