Radice quadrata
Di seguito analizzeremo la radice quadrata
Cos' la radice quadrata?
La
Ad esempio, la radice quadrata di 4 è 2, perché 2 al quadrato fa 4.
Mentre la radice quadrata di 9 fa 3 perché 3 al quadrato fa 9.
Come si scrive? Dobbiamo mettere il numero di cui voglamo fare la radice quadrata sotto questo simbolo qua: \sqrt{\space \,}
Quindi avremo:
\sqrt{4} = 2
\sqrt{9} = 3
Ok, però quanto vale invece \sqrt{2}? Potete cercare quanto volete, ma non troverete mai un numero naturale o una frazione che elevata al quadrato fa 2.
Infatti, le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti (cioè quadrati di un altro numero naturale) sono numeri irrazionali, cioè non possono essere scritti come frazioni ed hanno infinite cifre dopo la virgola.
C'è un'enorme differenze tra un numero con infinite cifre dopo la virgola come 1,\bar{3} e \sqrt{2}. Il primo, infatti, ha sì infinite cifre dopo la virgola, ma si ripetono seguendo un preciso schema. Mentre \sqrt{2} è un numero decimale con infinite cifre dopo la virgola non periodico, cioè le cifre non si ripetono secondo un preciso schema.
Se uno deve fare dei conti con \sqrt{2}, può approssimarla a circa 1,41.
Pensate che la scoperta dell'irrazionalità della radice di 2 fu una notizia incredibile a quel tempo. I Pitagorici, una setta capitanata da Pitagora (quello del teorema), avevamo fondato la loro filosofia sull'armonia e il rapporto tra i numeri. Secondo loro tutto poteva essere espresso tramite una frazione. Quando Ippasio di Metaponto, dunque, dimostrò che la radice di due era irrazionale, il loro potere si sgretolò e Pitagora fu costretto a scappare e morì nella fuga perché finì dentro un campo di fave di cui era allergico.
Ok, chiusa questa parentesi di storia della matematica, torniamo al come si calcolano le radici quadrate. Come trovare, ad esempio, quanto vale \sqrt{729}?
Esiste un algoritmo, cioè una serie di passaggi da svolgere, che ci permette di trovare il suo valore esatto se il numero è un quadrato perfetto, sennò ci fa trovare la sua parte intera e le prime cifre dopo la virgola.
Iniziamo scrivendo il nostro numero sul foglio:
Ora disegniamo il simbolo della radice quadrata sopra il numero e dall'estremo destro facciamo partire una riga verso il basso:
Adesso, partendo da destra, mettiamo un punto ogni due numeri. In questo modo suddivideremo il numero in blocchetti da due tranne l'ultimo che potrà essere da uno se il numero delle cifre è dispari (come nel nostro caso):
Adesso dobbiamo partire dal blocchetto più a sinistra, quindi da 7. Dobbiamo chiederci: "qual'è il quadrato più piccolo che non supera 7?" Si tratta di 4 (perché quello successivo è 9, che è troppo grande).
Quindi scriviamo il 4 sotto il 7 e mettiamo la radice quadrata di 4, che sarebbe 2, a destra della riga alla stessa altezza del 729 su di un segmento orizzontale:
Sottraiamo 4 a 7, ottenendo 3 ed abbassiamo il prossimo blocco:
Adesso dobbiamo prendere il numero che sta in alto a destra, cioè il 2 e raddoppiarlo. Attenti a non dimenticarvi di quel passaggio.
Otteniamo quindi 4. Ora aggiungiamo una cifra a 4 e moltiplichiamo quello che otteniamo per la stessa cifra. Ad esempio, se scelgo 3 come cifra, dovrò fare 43\times 3. Come scelgo la mia cifra? Devo trovare, andando a tentativi, quella che mi fa venire il risultato più vicino a 329 senza però che lo superi. Se quindi mi esce 330 come il risultato della moltiplicazione, non va bene e dovrò prendere la cifra precedente.
Quindi, proviamo con il 5. Facciamo i conti sotto alla riga orizzontale:
Ok, ci esce 225, che è meno di 329. Proviamo quindi col 6:
Ci esce 276, che è ancora minore di 329, quindi proviamo col 7:
Ci esce esattamente 329! Vuol dire che la cifra giusta è 7, che dunque scriviamo sopra, accanto al 2. Sottraiamo 329 ed otteniamo 0:
Ci è uscito 0, quindi vuol dire che abbiamo finito è che il risultato è 27! Infatti 27^2 = 729.
Ok, però ci è uscito 0 perché 729 era un quadrato perfetto, ma come faccio a calcolare la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto, come ad esempio 1915?
In tal caso, siccome la sua radice avrà infinite cifre dopo la virgola, non possiamo trovare quanto vale esattamente, ma possiamo trovare le sue prime cifre decimali, in modo da ottenere una buona approssimazione.
La parte iniziale è la stessa: scriviamo il numero, facciamo lo schema e dividiamo il numero in blocchi da due partendo da destra:
Qual'è il quadrato più grande che non supera 19? E' 16. Quindi sottraiamo 16 e scriviamo 4 in alto a destra:
Ora portiamo giù il prossimo blocco:
Raddoppiamo il 4, ottenendo 8 e cerchiamo la cifra da aggiungergli e per la quale moltiplicare. Proviamo con il 5:
Esce 425, non va bene perché supera 315. Proviamo con il 4:
Esce 336, è ancora troppo grande quindi proviamo con il 3:
Ok, viene 249 che è minore di 315. La cifra che cerchiamo sarà dunque 3, perché è il massimo che possiamo mettere prima di superare 315.
Ora sottraiamo e mettiamo il 3 in alto dopo il 4:
Non ci è uscito 0, quindi, come avevamo anticipato prima, 1915 non è un quadrato perfetto e la sua radice avrà infinite cifre dopo la virgola. Cerchiamo le prime due cifre. Per farlo, dobbiamo riscrivere come 1915 come 1915,0000. Cioè dobbiamo aggiungere due zeri dopo la virgola per ogni cifra che vogliamo trovare:
Adesso mettiamo la virgola dopo il 43 e continuiamo con l'algoritmo. Abbassiamo il prossimo blocco:
Ora raddoppiamo il 43 ottenendo 86 e cerchiamo quale cifra dobbiamo usare per avvicinarci il più possibile a 6600 senza però superarlo.
Facendo un po' di tentativi scopriamo che è 7, con la quale otteniamo 6069. Applichiamo dunque i soliti step e scriviamo 7 dopo la virgola:
Adesso, quando raddoppiamo 43,7, dobbiamo togliergli la virgola. Perciò dobbiamo usare 874. Facendo dei tentativi otteniamo che la cifra che ci serve è 6, per la quale otteniamo 52476. Applichiamo un'ultima volta gli step per ottenere:
Abbiamo dunque ottenuto che la radice quadrata di 1915 vale circa 43,76. Se vogliamo cercare altre cifre dopo la virgola, ci basta aggiungere altri blocchi da due zeri e continuare il processo.