Minimo comune multiplo e massimo comune divisore

Mentre per $3$ sono $0,3,6,9,12,15,18,21,24,..$

Notiamo che alcuni multipli di $4$ sono anche multipli di $3,$ come ad esempio $12$ e $24.$ Quindi quest'ultimi sono multipli comuni ad entrambi.

Come dice il nome, il minimo comune multiplo è il più piccolo numero che è un multiplo di entrambi. Quindi nell'esempio di prima era $12.$

"Minimo comune multiplo" è un numero abbastanza lungo, quindi se ci mettessimo a scrivere il nome per intero ogni singola volta, perderemmo molto tempo, quindi lo abbreviamo usando le iniziali delle parole. Per questo solitamente lo indichiamo con la sigla mcm .

Normalmente mettiamo i due numeri tra parentesi e separati da una virgola dopo aver scritto mcm. Dunque avremo:

$mcm(3,4) = 12$

Ok, quindi ora abbiamo capito di cosa si tratta, ma come si calcola? Dobbiamo veramente metterci ad elencare tutti i multipli dei due numeri finchè non ne troviamo due uguali?

Per fortuna c'è un metodo più veloce che sfrutta la scomposizione in fattori primi, per questo era importante conoscerla.

Prendiamo quindi due numeri più grandi, come $540$ e $378$ e calcoliamo il loro mcm.

Per prima cosa scomponiamo i due numeri in fattori primi (tra poco vedremo perché è utile).

Facendo tutti i calcoli che ora saltiamo e che vi lasciamo come esercizio, otteniamo:

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

e

$378 = 2 \times 3^3 \times 7$

Da questo otteniamo che se un numero è divisibile per $540$ dovrà anche essere divisibile per $2,$ ma non solo per $2,$ anche per $4,$ per $27$ (perchè $3^3 = 27$ ) e per $5.$

Che significa questo? Significa che nelle scomposizioni in fattori primi dei multipli di $540$ devono comparire $2^2,$ $3^3$ e $5.$

Per lo stesso ragionamento, ogni multiplo di $378$ avrà nella sua scomposizione in fattori primi $2,$ $3^3$ e $7.$

Siccome l'mcm deve essere un multiplo sia di $378$ che di $540,$ dovrà avere nella sua scomposizione in fattori primi sia $2^2 \times 3^3 \times 5$ che $2 \times 3^3 \times 7.$

Però se è divisibile per $2^2,$ lo sarà anche di $2.$ Quindi il fattore con l'esponente più grande ingloba quelli più piccoli.

Quindi l'mcm dovrà essere $2^2 \times 3^3 \times 5 \times 7,$ che è uguale a $3780.$

Dunque, per calcolare l'mcm dobbiamo prendere ogni fattore presente nelle scomposizioni in
fattori primi dei due numeri una sola volta e con l'esponente
più alto.

Attenzione a prendere solo una volta i fattori presenti in entrambi i numeri. Perché se nell'esempio di prima avessimo preso sia $2^2$ che $2,$ avremmo ottenuto $2^3$ e ci sarebbe uscito un numero più grande del necessario.

Vediamo un altro esempio:

Prendiamo $600$ e $270:$

Le loro scomposizioni in fattori primi sono:

$600= 2^3 \times 3\times 5^2$

$270= 2\times 3^3 \times 5$

Dunque dobbiamo prendere $2^3,$ $3^3$ e $5^2.$ Quindi il risultato sarà:

$mcm(270,600) = 2^3 \times 3^3 \times 5^2 = 1800$

Massimo comune divisore

Una volta capito l'mcm, dovrebbe essere facile capire il massimo comune
divisore .

Iniziamo con un esempio:

Prendiamo $12$ e $18$ ed elenchiamo i loro divisori.

Quelli di $12$ sono $1,2,3,4,6$ e $12.$

Mentre quelli di $18$ sono $1,2,3,6,9$ e $18.$

Notiamo che hanno dei divisori in comune, cioè $1,2,3$ e $6.$

Il massimo comune divisore, non è altro che il più grande divisore che i due numeri hanno in comune, dunque nel caso di $12$ e $18,$ il loro massimo comune divisore sarà $6.$

Come nel caso del minimmo comune multiplo, siccome il nome del massimo comune divisore è molto lungo, lo abbreviamo usando una sigla. Prendiamo anche in questo caso l'iniziali delle parole, ma questa volta, per sottolineare che si tratta di un massimo, usiamo le lettere maiuscole. Per questo lo indichiamo come MCD .

Dunque avremo:

$MCD (12,18) = 6$

Ok, ma per calcolarlo dobbiamo trovare ogni volta tutti i divisori dei due numeri e mettersi a cercare quello più alto tra quelli che hanno in comune?

Tranquilli, anche qui c'è una scorciatoia e anche qui dobbiamo usare la scomposizione in fattori primi.

Prendiamo per esempio $156$ e $90.$

Le loro scomposizioni in fattori primi saranno:

$156= 2^2 \times 3 \times 13$

$90 = 2 \times 3^2 \times 5$

Quindi l'MCM sarà formatao dai fattori in comune presi una sola
volta con l'esponente più piccolo. Perché?

Perché se prendo un fattore che sta nella composizione del secondo ma non nel primo, esso potrà dividere il secondo numero ma non il primo.

Quindi nel nostro esempio dovrò prendere $2$ e $3,$ dunque il risultato è $2\times 3$ cioè $6.$

Se nella scomposizione in fattori primi dei due numeri non compare nessun fattore in comune, allora il massimo comune divisore è $1$ e si dice che i due numeri sono coprimi .

Ecco di seguito alcuni esempi che potete verificare come esercizio:

$MCD(24,36) = 12$

$MCD(242, 44) = 22$

$MCD(180, 240)=60$

$MCD(1575,490)=35$

$MCD(13,7) = 1$