Divisori e multipli di un numero

Cos'è un multiplo di un numero?

Partiamo subito con la definizione e poi vediamo degli esempi per chiarirla meglio.

In pratica, un numero è detto multiplo di un altro numero se e solo se è uguale a quest'ultimo per un altro numero naturale.

Quindi, ad esempio, 12 è un multiplo di 3, perché 12 è uguale a 3\times 4, cioè a 3 moltiplicato per un altro numero naturale (4).

Per lo stesso ragionamento, 10 è un multiplo di 5, perché è uguale a 5\times 2, mentre 39 è un multiplo di 3 perché è uguale a 3\times 13.

Dunque tutti i multipli di 3 saranno 0,3,6,9,12,15,18,21,24,... eccetera eccetera.

Come capire, dunque, se un numero è un multiplo di un altro? Basterà fare la divisione e vedere se ci esce un numero naturale! Se esce un numero con la virgola, allora non è un multiplo.

Quindi per verificare se 35 è un multiplo di 5, ci basterà fare 35 : 5, che fa 7. Siccome 7 è un numero naturale, allora 35 è un multiplo di 5.

Mentre 7 non è un multiplo di 2, perché se faccio 7:2 ottengo 3,5, che non è un numero naturale perché ha la virgola.

Se l'aritmetica vi crea confusione e non capite cosa significa effettivamente l'essere multiplo di un numero, non vi preoccupate! Vediamo adesso una spiegazione più geometrica, e quindi più visiva, su cosa siano i multipli di un numero:

Poniamo che io disegna un mattoncino sul mio quaderno lungo 3 quadretti:

Se io prendo 2 mattoncini fatti così e li metto uno dopo l'altro, ottengo un'unico mattoncino lungo 6 quadretti:

Se invece metto 3 mattoncini, ne ottengo uno da 9:

Cioè ogni volta che aggiungo un mattoncino, sto aggiungendo 3 quadratini. Quindi se lo faccio 3 volte, faccio 3+3+3, cioè 3\times 3.

Quindi per ottenere il numero di mattoncini totale devo fare la lunghezza del mattoncino per il numero di mattoncini che uso. I multipli sono dunque tutte le lunghezze dei mattoncini che posso ottenere. Cioè sono tutti quei mattoncini che sono una combinazione del mattoncino.

Infatti, 10 è un multiplo di 5 perché un mattoncino da 10 lo ottengo da due mattoncini da 5.

Mentre 7 non è un multiplo di 2 perché se uso solo mattoncini lunghi 2 quadretti, è impossibile disegnarne uno lungo 7.

Quindi un numero è un multiplo di un altro se lo puoi ottenere sommando più volte quest'ultimo a sè stesso (ovvero moltiplicandolo per un numero naturale).

Potreste, però, avere una domanda: se io prendo, per esempio 5, e lo moltiplico per 3 ottengo 15, quindi 15 è un multiplo di 5. Però anche se faccio 3\times 5 ottengo 15, quindi 15 di chi è multiplo, di 5 o di 3?

La risposta è che lo è di entrambi! Infatti un numero può essere un multiplo di più numeri, basta che sia divisibile per essi. Quindi, 12 è un multiplo sia di 2 che di 3, ma anche di 4, di 6 e di 12 (e anche di 1).

Quindi, se avete capito cosa sia un multiplo di un numero, per voi sarà facilissimo capire cosa sia un divisore:

Divisori

Come abbiamo fatto nel capitolo precedente, vediamo prima la definizione e poi vediamo degli esempi per chiarire meglio:

Un numero è un divisore di un altro numero se la loro divisione da un numero intero.

Quindi, 5 è un divisore di 15, perché 15: 5 fa 3, che è un numero intero.

3 è un divisore di 12 perché 12:3 fa 4, che è un numero intero.

Mentre 2 non è un multiplo di 9, perché 9:2 fa 4,5, che non è un numero intero perché ha la virgola.

Infatti si chiama "divisore" perché "divide" l'altro numero in parti intere.

In altre parole, un numero è un divisore di un altro numero se quest'ultimo è un multiplo del secondo.

Cioè 3 è un divisore di 12 perché 12 è un multiplo di 3.

Quindi, usando l'esempio dei mattoncini che avevamo utilizzato prima, un numero è un divisore di un altro numero più grande se posso dividere il mattoncino grande in mattoncini della lunghezza del divisore.

Infatti posso dividere un mattoncino lungo 12 quadratini in 4 mattoncini da 3 quadratini:

Quindi, ad esempio, i divisori di 36 saranno 1,2,3,4,6,9,12,18 e 36.

Forse avete già notato che ci sono numeri con tantissimi divisori, come 12 e 36, mentre ce ne sono alcuni che ne hanno pochissimi, come 2, 5 e 11.

I numeri i cui divisori sono solo 1 e loro stessi sono chiamati numeri primi.

Quindi, ad esempio, alcuni numeri primi sono 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 e poi ce ne sono infiniti altri. I numeri primi sono molto importanti in matematica e tra poco li rincontrerete, quindi è bene capire cosa siano.