Espressioni

Cosa devo già sapere?

Da sapere:

Proprietà delle operazioni

Ordine delle operazioni

Prima di tutto dobbiamo vedere l'ordine delle operazioni. Si tratta di un concetto semplice ma è fondamentale impararlo, perché sta alla base delle espressioni.

In pratica, prima dovete fare le moltiplicazioni e le divisioni e poi le somme e le sottrazioni.

Se dunque devo calcolare quanto vale 2\times 3 + 4, prima faccio 2\times 3, che fa 6 e poi aggiungo 4, ottenendo 10.

Quindi il risultato è 10. Se aveste fatto prima la somma e poi la moltiplicazione, avreste ottenuto un risultato sbagliato.

Ok, ma poniamo che io voglia dire che prima devo fare 3+4 e solo una volta fatto questo moltiplicare per 2. Come faccio? Devo usare le parentesi.

Le parentesi danno la precedenza all'operazione che si trova dentro di esse. Esistono tre tipi di parentesi che vedremo tra poco, per adesso useremo le parentesi tonde () ottenendo:

2\times (3+4)

In questo modo otterrò 2\times 7 che fa 14. Quindi se metto delle parentesi posso dare la precedenza ad un operazione piuttosto che a un altra.

Infine, a parità di ordine di precedenza si va da sinistra a destra.

Adesso siamo dunque pronti a vedere cosa sono le espressioni:

Cosa sono le espressioni?

Le espressioni sono una serie di operazioni. Se compaiono solo numeri (come nel caso che vedremo in questo capitolo) vengono dette espressioni aritmetiche.

Quindi, esempi di espressioni aritmetiche sono:

3\times 5 - 10

4+8-7

(2+3)\times (4-2) + 3

8\times [7\times (8-4)] - 18

Per risolvere le espressioni è fondamentale conoscere l'ordine delle operazioni, che abbiamo visto nel capitolo sopra. Nell'ultimo esempio avete visto un nuovo simbolo, questo qua [\,], cosa sono?

Si trattano delle parentesi quadre. Come avevamo detto prima, esistono tre tipi di parentesi. Quelle tonde (), quelle quadre [\,] e quelle graffe \left \{ \right \}.

Hanno tutte lo stesso compito: quello di dare la proprità alle operazioni che si trovono dentro di esse. Perché ne esistono tre tipi?

Proviamo a scrivere la seguente espressione usando solo le parentesi tonde: 6\times (7+2\times(3 + 2\times (1+4:2)) - (12+4)).

Ci sono un mucchio di parentesi tonde ed è difficile leggere l'espressione. Non è facile capire quando si chiudono le parentesi. Questa, poi, è un'espressione abbastanza corta, pensate qaunte sarebbe difficile leggerne una con 10 parentesi.

Quindi usiamo pure le parentesi quadre e graffe per semplificare la lettura e la compresione. Come si usano? Se dovete mettere una sola parentesi, usate quelle tonde. Se dovete mettere un'altra parentesi che conetnga quelle tonde, questa volta usate quelle quadre. Se dovete poi mettere un'ulteriore parentesi che contenga quella quadra, usate quella graffa.

L'esempio di prima diventa:

6\times \left \{ 7 + 2 \times [3 + 2\times (1+4:2)] - (12+4) \right \}

Vedete come è più facile da leggere e come è molto più semplice capire da dove partire? Infatti, basterà iniziare da dentro le parentesi tonde, poi passare alle quadre ed infine alle graffe.

Risolviamola come esercizio: come abbiamo detto, prima di tutto effettuiamo i calcoli dentro alle parentesi tonde. Ricordandoci che nell'ordine delle operazioni fa fatta prima la divisione e poi la somma, otteniamo:

6\times \left \{ 7 + 2 \times [3 + 2\times (1+2)] - (16) \right \}

6\times \left \{ 7 + 2 \times [3 + 2\times 3] - 16 \right \}

Adesso, stando attenti a fare prima la moltiplicazione e poi la somma, facciamo le operazioni dentro la parentesi quadra:

6\times \left \{ 7 + 2 \times [3 + 6] - 16 \right \}

6\times \left \{ 7 + 2 \times 9 - 16 \right \}

Adesso passiamo alla parentesi graffa ottenendo:

6\times \left \{ 7 + 18 - 16 \right \}

6\times 9

Quindi effettuiamo l'ultima operazione ottenendo come risultato 54.

Ora siete dunuque pronti per risolvere qualsiasi operazione aritmetica che incontrerete. Gli studenti più grandi, però, potrebbero incontrare pure delle frazioni nelle loro espressioni. Se sei fra quelli o se conosci le frazioni e sei curioso, vai subito a leggere il prossimo capitolo:

Espressioni con le frazioni

Come abbiamo detto alla fine dello scorso capitolo, in un'espressione possono comparire pure delle frazioni.

Possono sembrare molto più spaventose, ma tranquilli! Le regole sono sempre le stesse, dovete solo fare qualche calcolo in più.

Dovete solo conoscere bene come si fanno le operazioni con le frazioni. Se non ve le ricordate, andate a vedere qui: Operazioni con frazioni

Vediamo dunque un esempio:

{4\over 3} - \left \{ {8\over 7} - [{4\over 5} + ({2\over 3} + {2\over 5})] : {49\over 5} \right \}

Iniziamo dalle parentesi tonde: per sommare le due frazioni, dobbiamo portarle al loro minimo comune denominatore, che sarà 15:

{4\over 3} - \left \{ {8\over 7} - [{4\over 5} + ({10\over 15} + {6\over 15})] : {49\over 5} \right \}

Ora possiamo sommarle ottenendo:

{4\over 3} - \left \{ {8\over 7} - [{4\over 5} + {16\over 15}] : {49\over 5} \right \}

Passiamo ora alle parentesi quadre: anche qua portiamo tutto allo stesso denominatore e sommiamo:

{4\over 3} - \left \{ {8\over 7} - [{12\over 15} + {16\over 15}] : {49\over 5} \right \}

{4\over 3} - \left \{ {8\over 7} - {28\over 15} : {49\over 5} \right \}

Adesso passiamo alle parentesi graffe. Ricordandoci che dividere per una frazione è uguale a moltiplicare per il suo reciproco e ricordandoci come si fanno le moltiplicazioni tra frazioni, otteniamo:

{4\over 3} - \left \{ {8\over 7} - {28\over 15} \times {5\over 49} \right \}

{4\over 3} - \left \{ {8\over 7} - {4\over 21} \right \}

{4\over 3} - \left \{ {24\over 21} - {4\over 21} \right \}

{4\over 3} - \left \{ {20\over 21} \right \}

Togliamo quindi le parentesi graffe ed effettuiamo l'ultima operazione per ottenere il risultato:

{4\over 3} -{20\over 21}

{28\over 21} -{20\over 21}

{8\over 21}

Potrete incontrare espressioni più lunghe con ancora più calcoli, ma si risolvono sempre in questo modo qua.

Oltre a numeri, poi, gli studenti ancora più grandi potrebbero incontrare delle lettere. Vediamo dunque come si risolvono le espressioni letterali:

Espressioni letterali

Come abbiamo detto alla fine del capitolo precedente, nelle espressioni possono comparire pure lettere. In tal caso si parla di espressioni letterali o espressioni algebriche.

Come si risolvono le espressioni letterali? Alla fine il procedimento è molto simile a quello delle espressioni aritmetiche, solo che questa volta, invece che fare operazioni con i numeri, le faremo con monomi e polinomi.

Quindi, dovremo prima effettuare le moltiplicazioni dentro le parentesi, poi sommare tutti i monomi simili dentro le parentesi per poi, passando di parentesi in parentesi, arrivare al risultato finale. Vediamo un esempio:

(a+b)\cdot [(4a\cdot 4b - 8ab) \cdot (18a-12a) - 40a^2b]^2

Come abbiamo detto un attimo fa, moltiplichiamo i monomi dentro le parentesi e poi sommiamo i monomi simili:

(a+b)\cdot [(16ab - 8ab) \cdot (18a-12a) - 40a^2b]^2

(a+b)\cdot [(8ab) \cdot (6a) - 40a^2b]^2

Adesso passiamo alle parentesi quadre: moltiplichiamo i monomi e poi sommiamo i monomi simili:

(a+b)\cdot [48a^2b - 40a^2b]^2

(a+b)\cdot [8a^2b]^2

Ora eleviamo al quadrato il monomio dentro le parentesi:

(a+b)\cdot [8a^2b]^2

(a+b)\cdot 64a^4b^2

Ed adesso moltiplichiamo il polinomio per il monomio fuori alla parentesi utilizzando la proprietà distributiva:

64a^5b^2 + 64a^4b^3

Ed ecco fatto.

Potrete anche trovare espressioni più lunghe, con pure prodotti tra polinomi o potenze di binomi, ma alla fine il procedimento è questo qua, poi bisogna solo svolgere i calcoli.