Di seguito analizzeremo le proprietà delle operazioni.
L'addizione gode di alcune proprietà che adesso vedremo. La prima è la proprietà
Cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.
Quindi fare
Passiamo quindi alla proprietà
In una somma di tre o più addendi, posso sostituirne due con la loro somma.
Detta così può sembrare complicata, ma tranquilli, ora spieghiamo meglio che significa:
In pratica, quello che dice è che se ho una serie di addizioni, tipo
Quindi posso sia procedere in ordine e fare:
Oppure, posso prendere due addendi, come
Come vedete esce lo stesso risultato. Quindi, in parole semplici, la proprietà associativa dice che posso scegliere io quale somma fare per prima.
Il contrario della proprietà associativa è la proprietà
In una somma, posso sostituire un addendo con una somma che da come risultato l'addendo sostituito.
Quindi facciamo lo stesso passaggio che avevamo fatto nell'applicare la proprietà associativa, ma al contrario.
Infatti se abbiamo
Abbiamo fatto letteralmente la stessa cosa di prima ma al contrario. Vediamo quindi un altro esempio:
Se ho
Passiamo quindi ora alla moltiplicazione:
Anche la moltiplicazione, come l'addizione, gode della proprietà commutativa, associativa e dissociativa.
Quindi la prima, riferita alla moltiplicazione, enuncerà che:
In una moltiplicazione, se cambio l'ordine dei fattori il risultato non cambia.
Infatti
La proprietà associativa dirà invece che:
In un prodotto di tre o più fattori, posso sostituirne due con il loro prodotto.
Quindi se ho
Infine la proprietà dissociativa affermerà che:
In un prodotto, posso sostituire un fattore con un prodotto che ha come risultato questo fattore.
Dunque se ho
Quindi, queste proprietà della moltiplicazione dicono le stesse esatte cose che dicevano per l'addizione ma al posto di "addendo" dicono "fattore" e al posto di "somma" dicono "prodotto".
Esiste però un'altra proprietà importantissima che comprende insieme sia la moltiplicazione che l'addizione, ma anche la sottrazione e la divisione. Si tratta della proprietà distributiva, vediamola di più nel dettaglio:
Cosa dice la proprietà
Se ho:
Ovviamente posso normalmente sommare
Alternativamente posso distribuire la moltiplicazione dentro le parentesi, ottenendo
Questo è vero anche se ho una differenza, quindi
Questo è vero anche per la divisione ma solo se la somma o la differenza sono al dividendo. Cioè se ho:
Posso distribuire il diviso
Quando distribuite dentro una parentesi, dovete pensare come se spostaste con delle frecciette il fattore che sta moltiplicando verso ogni addendo, come nel seguente disegno:
E' importantissimo conoscere bene la proprietà distributiva perché la rincontrerete moltissime volte e la userete in un'infinità di esercizi, anche quando sarete molto più grandi.
Esiste infine un'ultima proprietà che riguarda la sottrazione e la divisione: la proprietà invariantiva. Studiamola più nel dettaglio:
La proprietà
Quindi se ho
La parte più interessante, però, è quella che riguarda la divisione. Infatti, la proprietà invariantiva per la divisione afferma che:
Posso moltiplicare o dividere il dividendo e il divisore per uno stesso numero senza cambiare il risultato.
Quindi se ho
Posso pure moltiplicare, quindi se ho
Questa proprietà sarà utilissima quando studieremo le frazioni.
Anche l'elevamento a potenza, come le altre operazioni, gode di alcune proprietà che abbiamo analizzato in questa lezione: clicca qui.
Qual'è la proprietà commutativa dell'addizione?
Cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia.
La proprietà dice che cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia; adesso vediamo un esempio:
3 + 2 = 5
2 + 3 = 5
Cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia.
Qual'è la proprietà commutativa della moltiplicazione?
Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.
La proprietà dice che cambiando l’ordine degli fattori il prodotto non cambia; adesso vediamo un esempio:
4\cdot 5 = 20
5\cdot 4 = 20
Cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.
Qual'è la proprietà associativa dell'addizione?
Se a due o più addendi sostituisci la loro somma il risultato non cambia.
La proprietà dice che se a due o più addendi sostituisci la loro somma il risultato non cambia; adesso vediamo un esempio:
3 + 2 + 4 = 9
3 + (2 + 4) = 9
3 + 7 = 9
Se a due o più addendi sostituisci la loro somma il risultato non cambia.
Qual'è la proprietà associativa della moltiplicazione?
Se a due o più fattori sostituisci il loro prodotto il risultato non cambia.
La proprietà dice che se a due o più fattori sostituisci il loro prodotto il risultato non cambia; adesso vediamo un esempio:
4\cdot 3\cdot 5 =60
4\cdot(3\cdot 5) =60
4\cdot 15 =60
Se a due o più fattori sostituisci il loro prodotto il risultato non cambia.
Qual'è la proprietà distributiva della moltiplicazione?
Puoi scomporre i fattori in addendi moltiplicare separatamente ogni addendo e sommare i prodotti ottenuti.
La proprietà dice che puoi scomporre i fattori in addendi moltiplicare separatamente ogni addendo e sommare i prodotti ottenuti; adesso vediamo un esempio:
6\cdot 9 =54
9 = 3 + 6
(6 \cdot 6)+(6\cdot 3) = 36 + 18 = 54
Puoi scomporre i fattori in addendi moltiplicare separatamente ogni addendo e sommare i prodotti ottenuti
Qual'è la proprietà dissociativa dell'addizione?
La somma di due o più termini non cambia se un termine viene sostituito con altri di cui il prodotto sia uguale al fattore sostituito
La proprietà dice che la somma di due o più termini non cambia se un termine viene sostituito con altri di cui il prodotto sia uguale al fattore sostituito; adesso vediamo un esempio:
9 + 5 = 14
5 + 4 + 5 = 14
La somma di due o più termini non cambia se un termine viene sostituito con altri di cui il prodotto sia uguale al fattore sostituito
Qual'è la proprietà dissociativa della moltiplicazione?
Il prodotto di due o più termini non cambia se un termine viene sostituito con altri di cui il prodotto sia uguale al fattore sostituito
La proprietà dice che il prodotto di due o più termini non cambia se un termine viene sostituito con altri di cui il prodotto sia uguale al fattore sostituito; adesso vediamo un esempio:
10 \cdot 3 = 30
(6 + 4)\cdot 3 = 30
(6\cdot 3) + (4\cdot 3) = 30
18 + 12 = 30
Il prodotto di due o più termini non cambia se un termine viene sostituito con altri di cui il prodotto sia uguale al fattore sostituito
Qual'è la proprietà invariantiva della sottrazione?
Sommando o sottraendo lo stesso numero ai due termini della sottrazione il risultato non cambia.
La proprietà dice che sommando o sottraendo lo stesso numero ai due termini della sottrazione il risultato non cambia; adesso vediamo un esempio:
17 - 7 = 10
(17 - 3) - (7 - 3) = 10
14 - 4 = 10
Sommando o sottraendo lo stesso numero ai due termini della sottrazione il risultato non cambia.
Qual'è la proprietà invariantiva della divisione?
Moltiplicando o dividendo lo stesso numero ai due termini della divisione il risultato non cambia.
La proprietà dice che moltiplicando o dividendo lo stesso numero ai due termini della divisione il risultato non cambia; adesso vediamo un esempio:
24 : 8 = 3
(24 : 2) : (8 : 2) = 3
12 : 4 = 3
Moltiplicando o dividendo lo stesso numero ai due termini della divisione il risultato non cambia.
Qual'è la proprietà invariantiva della divisione con numeri grossi?
Moltiplicando o dividendo lo stesso numero ai due termini della divisione il risultato non cambia.
La proprietà dice che moltiplicando o dividendo lo stesso numero ai due termini della divisione il risultato non cambia; adesso vediamo un esempio:
5892 : 3 = 1964
(5892 : 2) : (3 : 2) = 1964
2946 : 1,5 = 1964
Moltiplicando o dividendo lo stesso numero ai due termini della divisione il risultato non cambia.