Proprietà delle operazioni

Addizione

L'addizione gode di alcune importanti proprietà. La prima è la proprietà commutativa, la quale afferma che:

Cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

Quindi fare 3+5 è la stessa cosa di fare 5+3 perché cambiare l'ordine degli addendi non cambia il risultato (infatti nel nostro esempio fanno entrambi 8).

Passiamo quindi alla proprietà associativa, la quale dice che:

In una somma di tre o più addendi, posso sostituirne due con la loro somma.

Detta così può sembrare complicata, ma tranquilli, ora spieghiamo meglio che significa:

In pratica, quello che dice è che se ho una serie di addizioni, tipo 1+3+5, non importa se faccio prima 1+3 e poi gli sommo 5 o se faccio prima 3+5 e poi gli sommo 1.

Quindi posso sia procedere in ordine e fare:

1+3+5= 4 + 5 = 9

Oppure, posso prendere due addendi, come 3 \text{ e } 5, sommarli da solo e scrivere al loro posto (cioè sostituirli con) la loro somma. In tal caso verrebbe:

1+3+5 = 1+8 = 9

Come vedete esce lo stesso risultato. Quindi, in parole semplici, la proprietà associativa dice che posso scegliere io quale somma fare per prima.

Il contrario della proprietà associativa è la proprietà dissociativa, la quale dice che:

In una somma, posso sostituire un addendo con una somma che da come risultato l'addendo sostituito.

Quindi facciamo lo stesso passaggio che avevamo fatto nell'applicare la proprietà associativa, ma al contrario.

Infatti se abbiamo 1+8, notando che 8=3+5, possiamo sostituire ed ottenere che:

1+8 = 1 + 3 + 5

Abbiamo fatto letteralmente la stessa cosa di prima ma al contrario. Vediamo quindi un altro esempio:

Se ho 1+4+7, se noto che 7 = 4+3, posso sostituire ed ottenere:

1+4+7 = 1+4+4+3 = 12

Passiamo quindi ora alla moltiplicazione:

Moltiplicazione

Anche la moltiplicazione, come l'addizione, gode della proprietà commutativa, associativa e dissociativa.

Quindi la prima, riferita alla moltiplicazione, enuncerà che:

In una moltiplicazione, se cambio l'ordine dei fattori il risultato non cambia.

Infatti 3\times 4 = 12 e 4\times 3 = 12.

La proprietà associativa dirà invece che:

In un prodotto di tre o più fattori, posso sostituirne due con il loro prodotto.

Quindi se ho 2\times 3 \times 4, notando che 3\times 4 = 12, posso riscriverlo come 2\times 12, che fa 24.

Infine la proprietà dissociativa affermerà che:

In un prodotto, posso sostituire un fattore con un prodotto che ha come risultato questo fattore.

Dunque se ho 2\times 12, sapendo che 12=3\times 4, posso riscriverlo come 2\times 3\times 4.

Quindi, queste proprietà della moltiplicazione dicono le stesse esatte cose che dicevano per l'addizione ma al posto di "addendo" dicono "fattore" e al posto di "somma" dicono "prodotto".

Esiste però un'altra proprietà importantissima che comprende insieme sia la moltiplicazione che l'addizione, ma anche la sottrazione e la divisione. Si tratta della proprietà distributiva, vediamola più nel dettaglio:

Proprietà distributiva

Cosa dice la proprietà distributiva? Dice che se ho una somma o una differenza moltiplicata o divisa per un numero, posso distribuire la moltiplicazione o la divisione dentro le parentesi. Tranquilli, può suonare complicata ma si tratta di una cosa semplicissima. Vediamo un esempio:

Se ho:

5 \times (3+4)

Ovviamente posso normalmente sommare 3 \text{ e } 4, ottenendo 7 e poi moltiplicare per 5, ottenendo come risultato 35.

Alternativamente posso distribuire la moltiplicazione dentro le parentesi, ottenendo 5\times 3 + 5\times 4. Svolgendo i calcoli otteniamo lo stesso risultato.

Questo è vero anche se ho una differenza, quindi 3\times (4-1) = 3\times 4 - 3\times 1 = 9

Questo è vero anche per la divisione ma solo se la somma o la differenza sono al dividendo. Cioè se ho:

(2+3): 5

Posso distribuire il diviso 5 nell'espressione al numeratore, ma se invece ho 3:(2+1), non posso distribuire la divisione al divisore, perché sto dividendo il 3, non il divisore.

Quando distribuite dentro una parentesi, dovete pensare come se spostaste con delle freccette il fattore che sta moltiplicando verso ogni addendo, come nel seguente disegno:

E' importantissimo conoscere bene la proprietà distributiva perché la rincontrerete moltissime volte e la userete in un'infinità di esercizi, anche quando sarete molto più grandi.

Esiste infine un'ultima proprietà che riguarda la sottrazione e la divisione: la proprietà invariantiva. Studiamola più nel dettaglio:

Proprietà invariantiva

La proprietà invariantiva per la sottrazione afferma che posso sommare o sottrarre uno stesso numero al minuendo e al sottraendo senza cambiare il risultato.

Quindi se ho 5-3 (che fa 2) posso riscriverlo come (5+2) - (3+2) (che fa 7-5 che fa sempre 2).

La parte più interessante, però, è quella che riguarda la divisione. Infatti, la proprietà invariantiva per la divisione afferma che:

Posso moltiplicare o dividere il dividendo e il divisore per uno stesso numero senza cambiare il risultato.

Quindi se ho 15:12, è la stessa cosa di fare (15:3):(12:3), cioè 5:4.

Posso pure moltiplicare, quindi se ho 12:5, posso riscriverlo come (12\times 2): (5\times 2), cioè 24:10.

Questa proprietà sarà utilissima quando studieremo le frazioni.

Anche l'elevamento a potenza, come le altre operazioni, gode di alcune proprietà che abbiamo analizzato in una lezione apposita: clicca qui.