Equazioni e disequazioni logaritmiche
Di seguito analizzeremo l'equazioni e le disequazioni logaritmiche.
Cosa devo già sapere?Da sapere:
Opzionali:
Cos'è un'equazione logaritmica?
Un'equazione logaritmica è un'equazione con almeno un logaritmo con un incognita nel suo argomento. Noi analizzeremo le equazioni logaritmiche del tipo:
\log_{a} (A(x)) = \log_{a} (B(x))
Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere A(x),B(x),a>0. Siccome la funzione \log_{a} (x) è una funzione iniettiva dobbiamo avere:
A(x)=B(x)
Dobbiamo solo stare attenti alle condizioni di esistenza. Vediamo qualche esempio:
Risolviamo l'equazione logaritmica:
\log_{3} (10x) = \log_{3} (x+1)
Le condizioni di esistenza saranno:
10x>0
x>0
e
x+1>0
x>-1
Otteniamo quindi che in generale la condizione di esistenza è x>0.
Detto questo, dovremo avere:
10x=x+1
9x=1
x={1\over 9}
Siccome {1\over 9}>0 , la soluzione è accettabile.
Risolviamo l'equazione logaritmica:
\log (x+1) + \log(x+3) = \log(3x +4)
Le condizioni di esistenza saranno:
x+1>0
x>-1
x+3>0
x>-3
3x+4>0
x>-{4\over 3}
E quindi in generale la condizione di esistenza sarà x>-1
Utilizziamo la proprietà del logaritmo di un prodotto applicata al contrario per unire i due logaritmi a sinistra dell'uguale:
\log ((x+1)\cdot (x+3))= \log(3x+4)
\log(x^2 +4x +3) =\log (3x+4)
E dovremo quindi avere:
x^2 +4x +3 = 3x +4
x^2 +x -1 = 0
x_{1;2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4} }{2}= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
La soluzione x={1+\sqrt{5} \over 2} è maggiore di 0, quindi sarà pure maggiore di -1 e dunque accettabile.
La seconda invece è maggiore di -1?
{1 - \sqrt {5} \over 2}>-1
1- \sqrt{5} >-2
-\sqrt{5} >-3
Moltiplichiamo entrambi i lati per -1, ricordandoci di cambiare il verso della disequazione:
\sqrt{5}< 3
Siccome \sqrt{5} è compresa tra 2 e 3, la disequazione deve essere vera e dunque anche la seconda soluzione è maggiore di -1, ed è dunque accettabile.
Come abbiamo visto, si tratta solo di semplificare conoscendo le proprietà dei logaritmi e controllare le condizioni di esistenza.
Cos'è una disequazione logaritmica?
Una disequazione logaritmica è una disequazione con almeno un logaritmo con un'incognita nel suo argomento. Noi per ora vedremo le disequazioni logaritmiche del tipo:
\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))
O con <, \geq o \leq al posto di >.
Per le condizioni di esistenza dobbiamo avere A(x),B(x),a>0.
Dobbiamo dividere in due casi:
La base del logaritmo a è maggiore di 1
In tal caso sappiamo che il logaritmo base a è una funzione monotona crescente (sempre crescente). Di conseguenza, se
x> y
Avremo
\log_{a} (x) > \log_{a} (y)
Perché passando da y ad x deve aumentare.
(questo vale anche con <, \geq o \leq al posto di >)
e quindi applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione, avremo che se:
\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))
Dovremo avere:
A(x)>B(x)
Che possiamo risolvere. Ricordiamoci però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.
La base del logaritmo a è compresa tra 0 e 1
In tal caso avremo che se abbiamo:
x>y
Siccome il logaritmo base a con a compresa tra 0 ed 1 è una funzione monotona decrescente (sempre decrescente), dovremo avere:
\log_{a} (x) < \log_{a} (y)
(questo vale anche con <, \geq o \leq , basta che invertite sempre il verso della disequazione)
perché passando da y ad x deve diminuire.
Di conseguenza, applicando questo ragionamento al contrario alla nostra disequazione logaritmica, avremo:
\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))
A(x) < B(x)
che possiamo risolvere, senza dimenticare però che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza.
Quindi, se abbiamo una disequazione logarimtica del tipo:
\log_{a} (A(x)) > \log_{a} (B(x))
se a> 1, allora:
A(x) > B(x)
se 0< a < 1, va cambiato il segno della disequazione e quindi:
A(x) < B(x)
Tenendo sempre a mente le condizioni di esistenza che sono a,A(x),B(x)>0.