Disequazioni esponenziali

Cos'è una disequazione esponenziale?

Una disequazione esponenziale è una disequazione in cui appare almeno una potenza con un'incognita nell'esponente. Esse sono quindi disequazioni del tipo:

$\displaystyle { a^{f(x)} > g(x) }$

o con $\displaystyle { < }$ , $\displaystyle { \geq }$ o $\displaystyle { \leq }$ al posto di $\displaystyle { > }$ .

Può sembrare molto complicato, ma tranquilli, vedremo solo i casi particolari che incontrerete a scuola.

Partiamo da quello più semplice in assoluto, dove $\displaystyle { f(x) = x }$ e $\displaystyle { g(x) }$ è costante. Avremo quindi disequazioni del tipo:

$\displaystyle { a^x > b }$

Dobbiamo dividere queste disequazioni in due casi:

La base a è maggiore di 1

In questo caso per prima cosa risolviamo l'equazione associata:

$\displaystyle { a^x =b }$

Una volta fatto questo, sapendo che la funzione $\displaystyle { a^x }$ è monotona crescente (ovvero aumenta sempre), troviamo la soluzione della disequazione.

Vediamo qualche esempio.

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$\displaystyle { 3^x > 81 }$

Risolviamo l'equazione associata:

$\displaystyle { 3^x = 81 }$

$\displaystyle { 3^x = 3^4 }$

$\displaystyle { x= 4 }$

Sappiamo che $\displaystyle { 3^x }$ aumenta sempre, quindi per $\displaystyle { x > 4 }$ sarà sempre maggiore di $\displaystyle { 81. }$ Quindi la soluzione è $\displaystyle { x>4 }$ .

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$\displaystyle { 5^x \leq 125 }$

Risolviamo l'equazione associata:

$\displaystyle { 5^x = 125 }$

$\displaystyle { 5^x = 5^3 }$

$\displaystyle { x= 3 }$

Sappiamo che $\displaystyle { 5^x }$ aumenta sempre, quindi per $\displaystyle { x>3 }$ sarà sempre maggiore di $\displaystyle { 125, }$ mentre per $\displaystyle { x < 3 }$ sarà sempre minore di $\displaystyle { 125. }$ La soluzione è quindi $\displaystyle { x \leq 3 }$ .

La base a è compresa tra 0 e 1

In tal caso il procedimento è lo stesso, ma questa volta la funzione sarà monotona decrescente (ovvero diminuisce sempre).

Vediamo qualche esempio:

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$\displaystyle { ({1 \over 2})^x < {1\over 32} }$

Risolviamo l'equazione associata:

$\displaystyle { ({1\over 2})^x ={1\over 32} }$

$\displaystyle { ({1\over 2})^x =({1\over 2})^5 }$

$\displaystyle { x=5 }$

Siccome $\displaystyle { ({1\over 2})^x }$ diminuisce sempre, per $\displaystyle { x>5 }$ sarà sempre minore di $\displaystyle { {1\over 32} }$ , quindi la soluzione è proprio $\displaystyle { x>5 }$ .

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$\displaystyle { ({1\over 3})^x \geq {1\over 9} }$

Risolviamo l'equazione associata:

$\displaystyle { ({1\over 3})^x ={1\over 9} }$

$\displaystyle { ({1\over 3})^x =({1\over 3})^2 }$

$\displaystyle { x=2 }$

Siccome $\displaystyle { ({1\over 3})^x }$ diminuisce sempre, per $\displaystyle { x>2 }$ sarà sempre minore di $\displaystyle { {1\over 9} }$ e sarà invece maggiore di $\displaystyle { {1\over 9} }$ per $\displaystyle { x < 2 }$ , quindi la soluzione è proprio $\displaystyle { x\leq 2 }$ .

Disequazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Usando i logaritmi possiamo risolvere disequazioni esponenziali più complicate, dove possono apparire più potenze con incognite all'esponente. Ci basterà applicare il logaritmo base $\displaystyle { 10 }$ da entrambi i lati e semplificare. Possiamo pure applicare logaritmi con altre basi, ma se è compresa tra $\displaystyle { 0 }$ ed $\displaystyle { 1 }$ dobbiamo cambiare il segno della disequazione, perché:

Se abbiamo $\displaystyle { x>y }$ , se $\displaystyle { a>1 }$ , avremo:

$\displaystyle { \log_{a} (x) >\log_{a} (y) }$

Mentre se $\displaystyle { 0 < a < 1 }$ , avremo:

$\displaystyle { \log_{a} (x) < \log_{a} (y) }$

In generale conviene quindi applicare sempre il logaritmo base $\displaystyle { 10 }$ e non avere paura di dover cambiare qualcosa.

Vediamo qualche esempio:

Risolviamo la disequazione esponenziale:

$\displaystyle { 5\cdot 3^x > 2^{x-3} }$

Abbiamo quantità positive da entrambi i lati, quindi applichiamo il logaritmo base $\displaystyle { 10 }$ da entrambi i lati:

$\displaystyle { \log_{10}(5 \cdot 3^x) > \log_{10}(2^{x-3}) }$

Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto e sottintendiamo $\displaystyle { \log_{10} }$ con $\displaystyle { \log }$ :

$\displaystyle { \log (5) + \log (3^x) > }$ $\displaystyle { \log (2^{x-3}) }$

Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo $\displaystyle { x: }$

$\displaystyle { \log(5) + x \log(3) > }$ $\displaystyle { (x-3) \log(2) }$

$\displaystyle { \log (5) + x\log (3) > }$ $\displaystyle { x\log(2) -3\log(2) }$

$\displaystyle { x\log(3) - x\log(2) > }$ $\displaystyle { -\log(5) -3\log(2) }$

$\displaystyle { x( \log(3) -\log(2))> }$ $\displaystyle { -(\log(5)+3\log(2)) }$

Siccome $\displaystyle { \log(3) -\log(2) }$ è una quantità positiva, possiamo dividere entrambi i lati per essa:

$\displaystyle { x> -\frac{\log(5)+3\log(2)}{\log(3)-\log(2)} }$