Equazioni esponenziali

Cos'è un'equazione esponenziale

Un' equazione esponenziale è un'equazione con almeno un'incognita come esponente di una potenza. In generale quindi è un'equazione del tipo:

$\displaystyle { a^{f(x)}=g(x) }$

dove $\displaystyle { f(x) }$ e $\displaystyle { g(x) }$ sono espressioni contenenti l'incognita $\displaystyle { x. }$

Sembra molto complicato, ma tranquillo, vedremo solo dei casi particolari molto semplici. Iniziamo da quello più semplice in assoluto, cioè quello in cui $\displaystyle { f(x)=x }$ e $\displaystyle { g(x)=b, }$ ovvero delle equazioni esponenziali del tipo:

$\displaystyle { a^x = b }$

Iniziamo notando subito che se $\displaystyle { b < 0 }$ l'equazione è impossibile perché, come abbiamo visto nella lezione delle funzioni esponenziali, un'esponenziale è sempre positivo, dunque è impossibile che sia uguale ad un numero negativo.

In ogni caso, per $\displaystyle { b>0 }$ avremo sempre una sola soluzione.

Adesso proviamo a capire come si può risolvere un equazione esponenziale. Se $\displaystyle { b }$ si riesce a scrivere nella forma $\displaystyle { a^y }$ , allora avremmo un'equazione del tipo $\displaystyle { a^x=a^y }$ e quindi la soluzione immediata sarebbe $\displaystyle { x=y }$ . Vediamo qualche esempio:

$3^x = 81 \longrightarrow 3^x = 3^4 \longrightarrow x= 4$

$2^x =32 \longrightarrow2^x = 2^5 \longrightarrow x=5$

Perché possiamo portare l'equazione agli esponenti? Perché sappiamo che la funzione esponenziale è una funzione iniettiva, che significa che se i valori della funzione sono uguali, allora l'input iniziale era lo stesso. Cioè se le $\displaystyle { y }$ sono uguali, lo sono anche le $\displaystyle { x. }$ Nel nostro caso questo significa proprio che se $\displaystyle { a^x = a^t, }$ allora $\displaystyle { x = t. }$ (ovviamente $\displaystyle { a }$ deve rispettare le condizioni affinché $\displaystyle { a^x }$ sia una funzione esponenziale, cioè deve essere maggiore di $\displaystyle { 0 }$ e diversa da $\displaystyle { 1. }$ )

Potreste incontrare, però, un altro caso molto comune negli esercizi: quello dove oltre all'esponenziale $\displaystyle { a^x, }$ nell'equazione è presente pure un termine del tipo $\displaystyle { a^{2x}. }$

Un esempio potrebbe essere:

$\displaystyle { 5^{2x} + 5^x -2 = 0 }$

Per risolverla, ci basta notare che, per la proprietà della potenza di una potenza, $\displaystyle { 5^{2x} = (5^x)^2. }$

Si tratta, quindi, di una sorta di equazione di secondo grado, solo che al posto della classica $\displaystyle { x }$ abbiamo $\displaystyle { 5^x. }$

Possiamo quindi abbreviare $\displaystyle { 5^x }$ come $\displaystyle { t, }$ da cui consegue che $\displaystyle { 5^{2x} = (5^x)^2 = t^2. }$

Sostituendo, infatti, otteniamo una normalissima equazione di secondo grado:

$\displaystyle { t^2 + t - 2 = 0 }$

In generale, quindi, vi basterà sostituire l'esponenziale con $\displaystyle { t. }$

Sappiamo bene che le soluzioni di quest'equazione di secondo grado sono $\displaystyle { 1 }$ e $\displaystyle { -2, }$ però fai attenzione! Queste sono le soluzioni per $\displaystyle { t, }$ ma $\displaystyle { t }$ è soltanto un'incognita che abbiamo creato per semplificare l'equazione, a noi ci interessa di trovare il valore della $\displaystyle { x. }$

Come fare? Sapendo che $\displaystyle { t = 1 }$ o $\displaystyle { t = -2, }$ ci basta risostituire $\displaystyle { 5^x }$ al posto di $\displaystyle { t }$ e trovare la $\displaystyle { x: }$

$\displaystyle { t=1 }$

$\displaystyle { 5^x = 1 }$

$\displaystyle { 5^x = 5^0 }$

$\displaystyle { x=0 }$

Se sostituiamo, invece, $\displaystyle { 5^x }$ nell'equazione $\displaystyle { t=-2, }$ otteniamo $\displaystyle { 5^x = -2, }$ ma sappiamo benissimo che un esponenziale non può mai essere negativo, quindi l'equazione è impossibile.

Dunque, l'unica soluzione dell'equazione iniziale sarà $\displaystyle { x=0. }$

Risolvere le equazioni esponenziali con logaritmi

Nel caso in cui $\displaystyle { b }$ non si possa riscrivere facilmente come $\displaystyle { a^y }$ , allora dobbiamo ricorrere all'aiuto dei logaritmi. Infatti un equazione esponenziale si può risolvere usando la definizione di logaritmo nel seguente modo:

$\displaystyle { a^x =b \longleftrightarrow x=\log_a (b) }$

Questa formula, infatti, è letteralmente la definizione stessa del logaritmo.

Vediamo qualche esempio:

$\displaystyle { 3^x = 7 \longleftrightarrow x= \log_{3} (7) }$

$\displaystyle { 5^x = 29 \longleftrightarrow x=\log_{5} (29) }$

Grazie ai logaritmi possiamo risolvere anche equazioni con più potenze con incognite come esponente. Basterà infatti prendere un logaritmo (solitamente base 10) da entrambi i lati ed usare la proprietà del logaritmo di una potenza. Facciamo qualche esempio:

Vogliamo risolvere l'equazione:

$\displaystyle { 3\cdot 5^{3x}=11^{x+1} }$

Siccome abbiamo quantità positive da entrambi i lati, prendiamo il logaritmo base 10 da entrambi i lati:

$\displaystyle { \log_{10} (3 \cdot 5^{3x})= }$ $\displaystyle { \log_{10}(11^{x+1}) }$

Indichiamo il logaritmo base $\displaystyle { 10 }$ di $\displaystyle { x }$ come $\displaystyle { \log x }$ per evitare di scrivere centinaia di volte $\displaystyle { 10. }$

Usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto per dividere il logaritmo di sinistra in due logaritmi:

$\displaystyle { \log(3) + \log((5^3)^x)= }$ $\displaystyle { \log(11^{x+1}) }$

Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo x:

$\displaystyle { \log(3) +x \log(5^3) = }$ $\displaystyle { (x+1) \log(11) }$

$\displaystyle { \log(3) + x \log(125) = }$ $\displaystyle { x \log (11) + \log (11) }$

$\displaystyle { x \log(125) - x \log (11)= }$ $\displaystyle { \log(11) - \log (3) }$

$\displaystyle { x (\log(125) - \log(11)) = }$ $\displaystyle { \log (11) - \log(3) }$

Usiamo la proprietà della differenza tra due logaritmi con stessa base (ovvero la proprietà del logaritmo di un quoziente applicata al contrario) per semplificare:

$\displaystyle { x \log ({125\over 11})= }$ $\displaystyle { \log ({11\over 3}) }$

$\displaystyle { x= {\log ({11\over 3})\over \log({125 \over 11})} }$

Se vogliamo avere un risultato approssimativo, possiamo usare la calcolatrice per scoprire che:

$\displaystyle { x \approx 0.53459 }$