Equazioni esponenziali
Di seguito analizzeremo le equazioni esponenziali, comprese anche quelle che vanno risolte utilizzando i logaritmi.
Cosa devo già sapere?
Cos'è un'equazione esponenziale
Un'equazione esponenziale è un'equazione con almeno un'incognita come esponente di una potenza. In generale quindi è un'equazione del tipo:
a^{f(x)}=g(x)
dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti l'incognita x.
Sembra molto complicato, ma tranquillo, vedremo solo dei casi particolari molto semplici. Iniziamo da quello più semplice in assoluto, cioè quello in cui f(x)=x e g(x)=b, ovvero delle equazioni esponenziali del tipo:
a^x = b
Iniziamo notando subito che se b < 0 l'equazione è impossibile perché, come abbiamo visto nella lezione delle funzioni esponenziali, un'esponenziale è sempre positivo, dunque è impossibile che sia uguale ad un numero negativo.
In ogni caso, per b>0 avremo sempre una sola soluzione.
Adesso proviamo a capire come si può risolvere un equazione esponenziale. Se b si riesce a scrivere nella forma a^y, allora avremmo un'equazione del tipo a^x=a^y e quindi la soluzione immediata sarebbe x=y. Vediamo qualche esempio:
3^x = 81 \longrightarrow 3^x = 3^4 \longrightarrow x= 4
2^x =32 \longrightarrow2^x = 2^5 \longrightarrow x=5
Perché possiamo portare l'equazione agli esponenti? Perché sappiamo che la funzione esponenziale è una funzione iniettiva, che significa che se i valori della funzione sono uguali, allora l'input iniziale era lo stesso. Cioè se le y sono uguali, lo sono anche le x. Nel nostro caso questo significa proprio che se a^x = a^t, allora x = t. (ovviamente a deve rispettare le condizioni affinché a^x sia una funzione esponenziale, cioè deve essere maggiore di 0 e diversa da 1.)
Potreste incontrare, però, un altro caso molto comune negli esercizi: quello dove oltre all'esponenziale a^x, nell'equazione è presente pure un termine del tipo a^{2x}.
Un esempio potrebbe essere:
5^{2x} + 5^x -2 = 0
Per risolverla, ci basta notare che, per la proprietà della potenza di una potenza, 5^{2x} = (5^x)^2.
Si tratta, quindi, di una sorta di equazione di secondo grado, solo che al posto della classica x abbiamo 5^x.
Possiamo quindi abbreviare 5^x come t, da cui consegue che 5^{2x} = (5^x)^2 = t^2.
Sostituendo, infatti, otteniamo una normalissima equazione di secondo grado:
t^2 + t - 2 = 0
In generale, quindi, vi basterà sostituire l'esponenziale con t.
Sappiamo bene che le soluzioni di quest'equazione di secondo grado sono 1 e -2, però fai attenzione! Quste sono le soluzioni per t, ma t è soltanto un'incognita che abbiamo creato per semplificare l'equazione, a noi ci interessa di trovare il valore della x.
Come fare? Sapendo che t = 1 o t = -2, ci basta risostituire 5^x al posto di t e trovare la x:
t=1
5^x = 1
5^x = 5^0
x=0
Se sostituiamo, invece, 5^x nell'equazione t=-2, otteniamo 5^x = -2, ma ssappiamo benissimo che un esponenziale non può mai essere negativo, quindi l'equazione è impossibile.
Dunque, l'unica soluzione dell'equazione iniziale sarà x=0.
Risolvere le equazioni esponenziali con logaritmi
Nel caso in cui b non si possa riscrivere facilmente come a^y, allora dobbiamo ricorrere all'aiuto dei logaritmi. Infatti un equazione esponenziale si può risolvere usando la definizione di logaritmo nel seguente modo:
a^x =b \longleftrightarrow x=\log_a (b)
Questa formula, infatti, è letteralmente la definizione stessa del logaritmo.
Vediamo qualche esempio:
3^x = 7 \longleftrightarrow x= \log_{3} (7)
5^x = 29 \longleftrightarrow x=\log_{5} (29)
Grazie ai logaritmi possiamo risolvere anche equazioni con più potenze con incognite come esponente. Basterà infatti prendere un logaritmo (solitamente base 10) da entrambi i lati ed usare la proprietà del logaritmo di una potenza. Facciamo qualche esempio:
Vogliamo risolvere l'equazione:
3\cdot 5^{3x}=11^{x+1}
Siccome abbiamo quantità positive da entrambi i lati, prendiamo il logaritmo base 10 da entrambi i lati:
\log_{10} (3 \cdot 5^{3x})=\log_{10}(11^{x+1})
Indichiamo il logaritmo base 10 di x come \log x per evitare di scrivere centinaia di volte 10.
Usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto per dividere il logaritmo di sinistra in due logaritmi:
\log(3) + \log((5^3)^x)=\log(11^{x+1})
Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza ed isoliamo x:
\log(3) +x \log(5^3) =(x+1) \log(11)
\log(3) + x \log(125) = x \log (11) + \log (11)
x \log(125) - x \log (11)=\log(11) - \log (3)
x (\log(125) - \log(11)) = \log (11) - \log(3)
Usiamo la proprietà della differenza tra due logaritmi con stessa base (ovvero la proprietà del logaritmo di un quoziente applicata al contrario) per semplificare:
x \log ({125\over 11})= \log ({11\over 3})
x= {\log ({11\over 3})\over \log({125 \over 11})}
Se vogliamo avere un risultato approssimativo, possiamo usare la calcolatrice per scoprire che:
x \approx 0.53459