Ellisse

Cos'è l'ellisse

L' ellisse è una conica, esattamente come la parabola.

Se infatti prendiamo un cono e lo intersechiamo con un piano inclinato, ma meno inclinato della generatrice (il lato) e del cono, otteniamo un'ellisse:

Possiamo dunque pensare all'ellisse come ad un cerchio allungato.

Ovviamente, però, quando la studiamo dal punto di vista della geometria analitica, dobbiamo definirla come un luogo geometrico:

Un'ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti dati, detti fuochi.

Ecco un esempio di grafico di un'ellisse:

Iniziamo vedendo i due casi principali: quello dove i fuochi giaciono sull'asse delle $\displaystyle { x }$ e quello in cui sono sull'asse delle $\displaystyle { y. }$ In entrambi i casi supporremmo pure che i fuochi siano simmetrici rispetto all'altro asse (cioè equidistanti dall'origine).

Ellisse con i fuochi sull'asse delle x

Un'ellisse con i fuochi sull'asse delle $\displaystyle { x }$ e con i fuochi simmetrici rispetto all'asse delle $\displaystyle { y }$ apparirà come la seguente:

Troviamo la sua equazione!

Prendiamo quindi un generico punto $\displaystyle { P(x,y). }$ Affinchè appartenga all'ellisse, la somma delle sue distanze dai fuochi deve essere uguale ad una costante che chiameremo $\displaystyle { k. }$

Quindi:

$\displaystyle { d(P,F_1) + d(P,F_2) = k }$

dove appunto $\displaystyle { d(P,F_1) }$ sta per "distanza tra $\displaystyle { P }$ e $\displaystyle { F_1 }$ ". Quest'ultimo, stando sull'asse $\displaystyle { x }$ dovrà avere coordinate $\displaystyle { (f,0). }$

Siccome $\displaystyle { F_2 }$ è simmetrico a $\displaystyle { F_1 }$ rispetto all'asse delle $\displaystyle { y, }$ dovrà avere coordinate $\displaystyle { (-f,0). }$

Usiamo quindi la formula per la distanza tra due punti:

$\displaystyle { \sqrt{(x-f)^2 + (y-0)^2} + \sqrt{(x+f)^2 + (y-0)^2} = k }$

$\displaystyle { \sqrt{(x-f)^2 +y^2} + \sqrt{(x+f)^2 + y^2} = k }$

Facendo qualche passaggio algebrico possiamo ricondurla alla forma:

$\displaystyle { {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 }$

I calcoli da fare per dimostrare che sono equivalenti sono piuttosto lunghi, per questo li abbiamo spostati alla fine della lezione (clicca qui), così potete decidere se soffermarvi sui calcoli o proseguire con la lezione.

Questo valore $\displaystyle { a }$ è chiamiato semiasse orizzontale mentre $\displaystyle { b }$ è l' asse verticale .

Dunque $\displaystyle { 2a }$ è l'asse orrizontale e $\displaystyle { 2b }$ è l'asse verticale.

Nel caso di un'ellisse con i fuochi sull'asse delle $\displaystyle { x, }$ $\displaystyle { a }$ viene anche detto semiasse maggiore mentre $\displaystyle { b }$ è il semiasse minore.

I vertici sono gli estremi dell'ellisse:

L'asse orizzontale congiunge i due vertici in orizzontale:

Mentre l'asse verticale congiunge i due vertici in verticale:

Il centro dell'ellisse è il punto di intersezione dei due assi:

In questo il caso il centro dell'ellisse coincide con l'origine del piano cartesiano.

L' asse focale $\displaystyle { 2c }$ congiunge invece i due fuochi:

Quindi in realtà $\displaystyle { c=f. }$

Notiamo che $\displaystyle { k=2a, }$ perché la somma delle distanze tra vertici orizzontali e i fuochi è uguale a $\displaystyle { 2a. }$

Tracciamo i segmento che congiungono il vertice in alto con i due fuochi:

Notiamo che otteniamo un triangolo isoscele che a sua volta è formato da due triangoli rettangoli.

Applicando il teorema di Pitagora otteniamo:

$\displaystyle { {k\over 2} = \sqrt{b^2 + c^2} }$

$\displaystyle { {2a\over 2} = \sqrt{b^2 + c^2} }$

$\displaystyle { a = \sqrt{b^2 + c^2} }$

$\displaystyle { a^2 = b^2 + c^2 }$

$\displaystyle { c = \sqrt{a^2 - b^2} }$

Dunque esiste questa relazione tra il semiasse focale, il semiasse orizzontale e il semiasse verticale.

Un'ellisse può essere più o meno schiacciatta:

Questo concetto di "rotondità" viene espresso dall' eccentricità dell'ellisse, che si calcola come:

$\displaystyle { e={c \over a} }$

Cioè come il rapporto tra il semiasse focale e il semiasse maggiore.

Utilizzando la formula per $\displaystyle { c }$ otteniamo:

$\displaystyle { e = {\sqrt{a^2 - b^2}\over a} }$

$\displaystyle { e = \sqrt{{a^2 -b^2\over a^2}} }$

$\displaystyle { e = \sqrt{1 - {b^2 \over a^2}} }$

$\displaystyle { e = \sqrt{1 - \left({b\over a}\right)^2} }$

Siccome i fuochi sono sull'asse delle $\displaystyle { x, }$ abbiamo $\displaystyle { a>b, }$ perciò $\displaystyle { {b\over a}< 1. }$

Quindi $\displaystyle { \sqrt{1 - \left({b\over a}\right)^2} }$ deve essere compresa tra $\displaystyle { 1 }$ e $\displaystyle { 0. }$

Nel caso in cui l'eccentricità tenda $\displaystyle { 1, }$ vuole dire che $\displaystyle { b }$ tende a $\displaystyle { 0, }$ quindi l'ellisse è collassa su un segmento:

Mentre se l'eccentricità è uguale a $\displaystyle { 0, }$ dobbiamo avere $\displaystyle { a = b }$ e quindi l'ellisse è diventata un cerchio:

Quindi minore è l'eccentricità è più l'ellisse assomiglia ad un cerchio, cioè è rotonda, mentre più tente ad $\displaystyle { 1 }$ e più è schiacciata.

Ellisse con i fuochi sull'asse delle y

Se i fuochi sono sull'asse delle $\displaystyle { y }$ e simmetrici all'asse $\displaystyle { x, }$ otteniamo sempre la stessa equazione:

$\displaystyle { {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 }$

Questa volta, però, sarà $\displaystyle { b }$ ad essere il semiasse maggiore:

Di conseguenza, questa volta la formula per $\displaystyle { c }$ sarà $\displaystyle { c = \sqrt{b^2 - a^2} }$ e avremo infatti $\displaystyle { 2b=k. }$

Inoltre l'eccentricità questa volta si calcolerà come:

$\displaystyle { e = {c\over b} }$

e facendo gli stessi esatti passaggi di prima otteniamo:

$\displaystyle { e = \sqrt{1 - \left({a\over b}\right)^2} }$

Anche in questo caso più è minore l'eccentricità più l'ellisse è rotonda, fino a diventare un cerchio quando $\displaystyle { a=b, }$ mentre più si avvicina ad $\displaystyle { 1 }$ e più è schiacciata:

Iperbole traslata

In generale possiamo traslare un'iperbole nel piano spostandola con un vettore $\displaystyle { \left(\begin{array}{l} v_x \\v_y \end{array}\right): }$

La nuova $\displaystyle { x' }$ sarà dunque uguale a $\displaystyle { x+x_v, }$ quindi $\displaystyle { x = x'-x_v. }$ Succede lo stesso per la $\displaystyle { y. }$ Dunque la nuova equazione diventa:

$\displaystyle { {(x'-v_x)^2\over a^2} + {(y'-v_y)^2 \over b^2} = 1 }$

Una volta chiarito che è stata effettua la traslazione, richiamiamo gli assi $\displaystyle { x' }$ e $\displaystyle { y' }$ come l'asse $\displaystyle { x }$ ed $\displaystyle { y. }$

Quindi richiamiamo $\displaystyle { x' }$ come $\displaystyle { x }$ e $\displaystyle { y' }$ come $\displaystyle { y, }$ quindi l'equazione diventa:

$\displaystyle { {(x-v_x)^2 \over a^2} + {(y-v_y)^2 \over b^2} = 1 }$

nel nuovo piano cartesiano.

Formula di sdoppiamento

Talvolta ci può essere chiesto di trovare l'equazione della retta tangente ad un ellisse in un punto $\displaystyle { P. }$

La formula di sdoppiamento ci permette di fare proprio questo.

Se abbiamo un'ellisse con equazione:

$\displaystyle { {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 }$

La retta tangente ad un punto $\displaystyle { P(x_0,y_0) }$ dell'ellisse sarà:

$\displaystyle { {xx_0 \over a^2} + {yy_0 \over b^2} = 1 }$

Dimostrazione dell'equazione dell'ellisse

Ecco la dimostrazione dell'equazione dell'ellisse, come vi avevamo promesso. Riprendiamo l'equazione che avevamo ottenuto dalla definzione dell'ellisse:

$\displaystyle { \sqrt{(x-f)^2 + y^2} + \sqrt{(x+f)^2 + y^2} = k }$

Dentro le radici abbiamo somme di quadrati, che sono sempre positive, e $\displaystyle { k }$ deve essere sempre positivo per costruzione, quindi non ci sono problemi di esistenza e possiamo elevare entrambi i lati al quadrato:

$\displaystyle { (x-f)^2 + y^2 + 2\sqrt{((x-f)^2 + y^2)((x+f)^2 + y^2)} + (x+f)^2 + y^2 = k^2 }$

Espandiamo e semplifichiamo:

$\displaystyle { x^2 - 2xf + f^2 + 2\sqrt{(x^2 - 2xf + f^2 + y^2) (x^2 + 2xf + f^2 + y^2)} + x^2 + 2xf + f^2 + y^2 = k^2 }$

$\displaystyle { 2x^2 +2f^2 + 2y^2 + 2 \sqrt{(x^2 + f^2 + y^2 - 2xf) (x^2 + f^2 + y^2 + 2xf)} = k^2 }$

Notiamo che dentro la radice abbiamo una somma per differenza e possiamo dunque applicare il prodotto notevole:

$\displaystyle { 2(x^2 + f^2 + y^2) + 2\sqrt{(x^2 + y^2 + f^2)^2 - 4x^2f^2} = k^2 }$

Adesso isoliamo la radice ed eleviamo entrambi i lati al quadrato:

$\displaystyle { 2\sqrt{(x^2 + y^2 + f^2) - 4x^2f^2} = k^2 - 2(x^2 + f^2 + y^2) }$

$\displaystyle { 4(x^2 + f^2 + y^2) - 16x^2f^2 = k^4 - 4(x^2 +f^2 + y^2)k^2 + 4(x^2 +f^2 + y^2)^2 }$

Semplifichiamo ed espandiamo:

$\displaystyle { -16x^2f^2 = k^4 - 4(x^2 + f^2 + y^2)k^2 }$

$\displaystyle { -16x^2f^2 = k^4 - 4x^2k^2 - 4f^2k^2 - 4y^2 k^2 }$

$\displaystyle { x^2(4k^2 - 16f^2) + y^2 (4k^2) = k^4 - 4f^2 k^2 }$

$\displaystyle { x^2 {4k^2 - 16f^2 \over k^4 - 4f^2k^2} + y^2{4k^2 \over k^4 - 4f^2 k^2} = 1 }$

$\displaystyle { x^2 {4(k^2 - 4f^2) \over k^2 (k^2 - 4f^2)} + y^2{4k^2 \over k^2(k^2 - 4f^2)} = 1 }$

$\displaystyle { x^2 {4\over k^2} + y^2 {4 \over k^2 - 4f^2} = 1 }$

Ora chiamiamo $\displaystyle { k }$ come $\displaystyle { 2a }$ e chiamiamo $\displaystyle { {4 \over k^2 - 4f^2} }$ come $\displaystyle { {1\over b^2} }$ ottenendo:

$\displaystyle { {4x^2 \over 4a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 }$

$\displaystyle { {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 }$

Ottenendo così l'equazione che volevamo.