Ellisse

Cos'è l'ellisse

L'ellisse è una conica, esattamente come la parabola.

Se infatti prendiamo un cono e lo intersechiamo con un piano inclinato, ma meno inclinato della generatrice (il lato) e del cono, otteniamo un'ellisse:

Possiamo dunque pensare all'ellisse come ad un cerchio allungato.

Ovviamente, però, quando la studiamo dal punto di vista della geometria analitica, dobbiamo definirla come un luogo geometrico:

Un'ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti dati, detti fuochi.

Ecco un esempio di grafico di un'ellisse:

Iniziamo vedendo i due casi principali: quello dove i fuochi giaciono sull'asse delle x e quello in cui sono sull'asse delle y. In entrambi i casi supporremmo pure che i fuochi siano simmetrici rispetto all'altro asse (cioè equidistanti dall'origine).

Ellisse con i fuochi sull'asse delle x

Un'ellisse con i fuochi sull'asse delle x e con i fuochi simmetrici rispetto all'asse delle y apparirà come la seguente:

Troviamo la sua equazione!

Prendiamo quindi un generico punto P(x,y). Affinchè appartenga all'ellisse, la somma delle sue distanze dai fuochi deve essere uguale ad una costante che chiameremo k.

Quindi:

d(P,F_1) + d(P,F_2) = k

dove appunto d(P,F_1) sta per "distanza tra P e F_1". Quest'ultimo, stando sull'asse x dovrà avere coordinate (f,0).

Siccome F_2 è simmetrico a F_1 rispetto all'asse delle y, dovrà avere coordinate (-f,0).

Usiamo quindi la formula per la distanza tra due punti:

\sqrt{(x-f)^2 + (y-0)^2} + \sqrt{(x+f)^2 + (y-0)^2} = k

\sqrt{(x-f)^2 +y^2} + \sqrt{(x+f)^2 + y^2} = k

Facendo qualche passaggio algebrico possiamo ricondurla alla forma:

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1

I calcoli da fare per dimostrare che sono equivalenti sono piuttosto lunghi, per questo li abbiamo spostati alla fine della lezione (clicca qui), così potete decidere se soffermarvi sui calcoli o proseguire con la lezione.

Questo valore a è chiamiato semiasse orizzontale mentre b è l'asse verticale.

Dunque 2a è l'asse orrizontale e 2b è l'asse verticale.

Nel caso di un'ellisse con i fuochi sull'asse delle x, a viene anche detto semiasse maggiore mentre b è il semiasse minore.

I vertici sono gli estremi dell'ellisse:

L'asse orizzontale congiunge i due vertici in orizzontale:

Mentre l'asse verticale congiunge i due vertici in verticale:

Il centro dell'ellisse è il punto di intersezione dei due assi:

In questo il caso il centro dell'ellisse coincide con l'origine del piano cartesiano.

L' asse focale 2c congiunge invece i due fuochi:

Quindi in realtà c=f.

Notiamo che k=2a, perché la somma delle distanze tra vertici orizzontali e i fuochi è uguale a 2a.

Tracciamo i segmento che congiungono il vertice in alto con i due fuochi:

Notiamo che otteniamo un triangolo isoscele che a sua volta è formato da due triangoli rettangoli.

Applicando il teorema di Pitagora otteniamo:

{k\over 2} = \sqrt{b^2 + c^2}

{2a\over 2} = \sqrt{b^2 + c^2}

a = \sqrt{b^2 + c^2}

a^2 = b^2 + c^2

c = \sqrt{a^2 - b^2}

Dunque esiste questa relazione tra il semiasse focale, il semiasse orizzontale e il semiasse verticale.

Un'ellisse può essere più o meno schiacciatta:

Questo concetto di "rotondità" viene espresso dall'eccentricità dell'ellisse, che si calcola come:

e={c \over a}

Cioè come il rapporto tra il semiasse focale e il semiasse maggiore.

Utilizzando la formula per c otteniamo:

e = {\sqrt{a^2 - b^2}\over a}

e = \sqrt{{a^2 -b^2\over a^2}}

e = \sqrt{1 - {b^2 \over a^2}}

e = \sqrt{1 - \left({b\over a}\right)^2}

Siccome i fuochi sono sull'asse delle x, abbiamo a>b, perciò {b\over a}< 1.

Quindi \sqrt{1 - \left({b\over a}\right)^2} deve essere compresa tra 1 e 0.

Nel caso in cui l'eccentricità tenda 1, vuole dire che b tende a 0, quindi l'ellisse è collassa su un segmento:

Mentre se l'eccentricità è uguale a 0, dobbiamo avere a = b e quindi l'ellisse è diventata un cerchio:

Quindi minore è l'eccentricità è più l'ellisse assomiglia ad un cerchio, cioè è rotonda, mentre più tente ad 1 e più è schiacciata.

Ellisse con i fuochi sull'asse delle y

Se i fuochi sono sull'asse delle y e simmetrici all'asse x, otteniamo sempre la stessa equazione:

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1

Questa volta, però, sarà b ad essere il semiasse maggiore:

Di conseguenza, questa volta la formula per c sarà c = \sqrt{b^2 - a^2} e avremo infatti 2b=k.

Inoltre l'eccentricità questa volta si calcolerà come:

e = {c\over b}

e facendo gli stessi esatti passaggi di prima otteniamo:

e = \sqrt{1 - \left({a\over b}\right)^2}

Anche in questo caso più è minore l'eccentricità più l'ellisse è rotonda, fino a diventare un cerchio quando a=b, mentre più si avvicina ad 1 e più è schiacciata:

Iperbole traslata

In generale possiamo traslare un'iperbole nel piano spostandola con un vettore \left(\begin{array}{l} v_x \\v_y \end{array}\right):

La nuova x' sarà dunque uguale a x+x_v, quindi x = x'-x_v. Succede lo stesso per la y. Dunque la nuova equazione diventa:

{(x'-v_x)^2\over a^2} + {(y'-v_y)^2 \over b^2} = 1

Una volta chiarito che è stata effettua la traslazione, richiamiamo gli assi x' e y' come l'asse x ed y.

Quindi richiamiamo x' come x e y' come y, quindi l'equazione diventa:

{(x-v_x)^2 \over a^2} + {(y-v_y)^2 \over b^2} = 1

nel nuovo piano cartesiano.

Formula di sdoppiamento

Talvolta ci può essere chiesto di trovare l'equazione della retta tangente ad un ellisse in un punto P.

La formula di sdoppiamento ci permette di fare proprio questo.

Se abbiamo un'ellisse con equazione:

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1

La retta tangente ad un punto P(x_0,y_0) dell'ellisse sarà:

{xx_0 \over a^2} + {yy_0 \over b^2} = 1

Dimostrazione dell'equazione dell'ellisse

Ecco la dimostrazione dell'equazione dell'ellisse, come vi avevamo promesso. Riprendiamo l'equazione che avevamo ottenuto dalla definzione dell'ellisse:

\sqrt{(x-f)^2 + y^2} + \sqrt{(x+f)^2 + y^2} = k

Dentro le radici abbiamo somme di quadrati, che sono sempre positive, e k deve essere sempre positivo per costruzione, quindi non ci sono problemi di esistenza e possiamo elevare entrambi i lati al quadrato:

(x-f)^2 + y^2 + 2\sqrt{((x-f)^2 + y^2)((x+f)^2 + y^2)} + (x+f)^2 + y^2 = k^2

Espandiamo e semplifichiamo:

x^2 - 2xf + f^2 + 2\sqrt{(x^2 - 2xf + f^2 + y^2) (x^2 + 2xf + f^2 + y^2)} + x^2 + 2xf + f^2 + y^2 = k^2

2x^2 +2f^2 + 2y^2 + 2 \sqrt{(x^2 + f^2 + y^2 - 2xf) (x^2 + f^2 + y^2 + 2xf)} = k^2

Notiamo che dentro la radice abbiamo una somma per differenza e possiamo dunque applicare il prodotto notevole:

2(x^2 + f^2 + y^2) + 2\sqrt{(x^2 + y^2 + f^2)^2 - 4x^2f^2} = k^2

Adesso isoliamo la radice ed eleviamo entrambi i lati al quadrato:

2\sqrt{(x^2 + y^2 + f^2) - 4x^2f^2} = k^2 - 2(x^2 + f^2 + y^2)

4(x^2 + f^2 + y^2) - 16x^2f^2 = k^4 - 4(x^2 +f^2 + y^2)k^2 + 4(x^2 +f^2 + y^2)^2

Semplifichiamo ed espandiamo:

-16x^2f^2 = k^4 - 4(x^2 + f^2 + y^2)k^2

-16x^2f^2 = k^4 - 4x^2k^2 - 4f^2k^2 - 4y^2 k^2

x^2(4k^2 - 16f^2) + y^2 (4k^2) = k^4 - 4f^2 k^2

x^2 {4k^2 - 16f^2 \over k^4 - 4f^2k^2} + y^2{4k^2 \over k^4 - 4f^2 k^2} = 1

x^2 {4(k^2 - 4f^2) \over k^2 (k^2 - 4f^2)} + y^2{4k^2 \over k^2(k^2 - 4f^2)} = 1

x^2 {4\over k^2} + y^2 {4 \over k^2 - 4f^2} = 1

Ora chiamiamo k come 2a e chiamiamo {4 \over k^2 - 4f^2} come {1\over b^2} ottenendo:

{4x^2 \over 4a^2} + {y^2 \over b^2} = 1

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1

Ottenendo così l'equazione che volevamo.