Di seguito analizzeremo gli urti.
Un urto è una collisione tra due corpi nello spazio che coinvolge forze di tipo impulsivo, ovvero che hanno intensità molto elevate ma che durano pochi istanti.
In altre parole, un'urto avviene quando due corpi sbattono insieme.
Poiché possiamo considerare l'urto come un sistema isolato, dove non agiscono forze esterne, sappiamo che la quantità di moto totale del sistema prima e dopo la collisione si conserva.
Si definisce urto elastico un urto in cui si conservano sia la la quantità di moto che l'energia cinetica del sistema.
In questa sezione vedremo solo il caso particolare in cui i due corpi si muovono sulla stessa retta (chiamato urto elastico frontale), quindi ci interessa solo sapere il modulo della velocità, non la sua direzione e il verso. Perciò possiamo scrivere le grandezze fisiche delle velocità, che sarebbero vettoriali, come scalari.
Quindi:
\left\{ \begin{array}{l} q_{1,i}+q_{2,i}=q_{1,f}+q_{2,f} \\ K_{1,i}+K_{2,i}=K_{1,f}+K_{2,f} \end{array} \right.
Ovvero:
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2}
{1 \over 2}m_1v_{1}^2+{1 \over 2}m_2v_{2}^2={1 \over 2}m_1V_{1}^2+{1 \over 2}m_1V_{2}^2
Ovviamente in queste equazioni q era la quantità di moto, K l'energia cinetica, v e V le varie velocità e m la massa.
Da queste 2 formule possiamo ricavare le formule per le velocità finali, che ci sarà possibile calcolare conoscendo le masse e le velocità iniziali.
Iniziamo moltiplicando per 2 la seconda equazione,
\left\{ \begin{array}{l} m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2} \\ m_1v_{1}^2+m_2v_{2}^2=m_1V_{1}^2+m_1V_{2}^2 \end{array} \right.
poi spostiamo tutti i termini con m_1 a sinistra e quelli con m_2 a destra:
\left\{ \begin{array}{l} m_1v_1-m_1V_1=-m_2v_2+m_2V_2 \\ m_1v_1^2-m_1V_1^2=-m_2v_2^2+m_2V_2^2 \end{array} \right.
Ora raccogliamo m_1 e -m_2:
\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2) \\ m_1(v_1^2-V_1^2)=-m_2(v_2^2-V_2^2) \end{array} \right.
Scriviamo le differenza tra quadrati come le somma per differenza dei due termini:
\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2) \\ m_1(v_1-V_1)(v_1+V_1)=-m_2(v_2-V_2)(v_2+V_2) \end{array} \right.
Dividiamo la seconda equazione per la prima e manteniamo la prima equazione:
\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2)\\ {m_1(v_1 -V_1)(v_1+V_1)\over m_1(v_1-V_1)}={-m_2(v_2-V_2)(v_2+V_2)\over -m_2(v_2-V_2)} \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2)\\ v_1+V_1=v_2+V_2 \end{array} \right.
Ora isoliamo V_2 nella seconda equazione e sostituiamolo nella prima:
\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-V_2)\\ V_2=v_1 +V_1 - v_2 \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1-V_1)=-m_2(v_2-v_1 -V_1 + v_2)\\ V_2=v_1 +V_1 - v_2 \end{array} \right.
Ora possiamo isolare V_1 nella prima equazione:
m_1v_1-m_1V_1=-m_2v_2+m_2v_1 + m_2V_1 - m_2v_2\\
-m_1V_1 - m_2 V_1=-2m_2v_2+m_2v_1 -m_1v_1\\
V_1={2m_2v_2+(m_1 -m_2)v_1\over m_1 + m_2 }\\
V_1={2m_2\over m_1 +m_2}v_2+{m_1 -m_2\over m_1 + m_2}v_1\\ .
Ora possiamo sotituire V_1 nella seconda equazione del sistema di prima (V_2=v_1 +V_1 - v_2) per calcolare anche V_2.
Semplificando otteniamo:
V_2={2m_1 \over m_1+m_2}v_1+{m_2-m_1 \over m_1+m_2}v_2
Queste formule valgono per ogni urto elastico frontale.
Queste ultime 2 formule sono importantissime e putroppo vanno imparate a memoria per evitare di ripetere ogni volta i calcoli.
Un urto anelastico è un tipo di urto dove si conserva solo la quantità di moto e non l'energia cinetica.
Per gli urti anelastici è quindi valida solo la formula della conservazione della quantità di moto
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2}
Un urto completamente anelastico è un caso di urto elastico in cui i corpi rimangono attaccati e l'energia cinetica finale è minima
Nel caso di un urto completamente anelastico, la nostra formula si semplifica.
m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m_{1}+m_{2})V
Non tutti gli urti avvengono sulla stessa linea retta, nella realtà è più probabile che le traiettorie dei corpi abbiano un'angolazione. In questo caso si parla di urto obliquo.
Matematicamente questo si spiega perché la quantità di moto è una quantità vettoriale.
Per studiare questo fenomeno quindi prendiamo in considerazione questa equazione:
m_{1}\vec{v_{1}}+m_{2}\vec{v_{2}}=m_{1}\vec{V_{1}}+m_{2}\vec{V_{2}}
Prendiamo ora come esempio un urto elastico obliquo tra due sfere di massa uguale, dove una sfera è ferma e l'altra ha velocità \vec{v}:
\left\{ \begin{array}{l} m\vec{v}=m\vec{V_{1}}+m\vec{V_{2}} \\ {1 \over 2}mv^2={1 \over 2}m_1V_{1}^2+{1 \over 2}m_1V_{2}^2 \end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec{v} = \vec{V_1}+\vec{V_2} \\ v^2 = V_1^2+V_2^2 \end{array} \right.
Queste due condizioni impongono che i vettori velocità finali delle 2 masse siano perpendicolari tra loro.