Teoremi e assiomi
Di seguito analizzeremo i teoremi e gli assiomi.
Cosa devo già sapere?Da sapere:
Cos’è un assioma?
Intorno al 300 a.C., un matematico greco di nome Euclide decise di raccogliere tutto il suo sapere matematico in una serie di libri che verranno chiamati gli “Elementi”. Essi rappresentano la base di quella che viene chiamata geometria euclidea.
Nella geometria euclidea tutto va dimostrato rigorosamente a partire da un insieme di assiomi. Gli assiomi sono delle proposizioni matematiche considerate vere senza bisogno di una dimostrazione (vedremo più avanti perché non si possono dimostrare).
Negli “Elementi” Euclide enuncia 5 assiomi:
- Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta.
- Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.
- Dato un punto e una lunghezza è possibile descrivere un cerchio.
- Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro.
- Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indeterminatamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti.
Il quinto assioma viene più comunemente formulato in una maniera diversa riconducibile allo stesso significato:
- Per un punto esterno a una retta data passa una e una sola retta parallela a questa.
Dei cinque assiomi il più usato è sicuramente il primo, quindi è bene tenerlo sempre a mente.
Cos’è una dimostrazione?
Usando questi cinque assiomi possiamo dimostrare tutti i teoremi della geometria euclidea, ma cos'è una dimostrazione e cos'è un teorema?
Una dimostrazione è un processo di deduzione che, partendo da delle affermazioni considerate vere chiamate ipotesi, determina la necessaria validità di un'altra affermazione chiamata tesi.
Talvolta la dimostrazione viene chiamata “prova”. Quindi la dimostrazione dimostra che qualcosa (tesi) è vero partendo dalla validità di qualcos'altro (ipotesi).
Cos’è un teorema?
L'ipotesi sono dunque gli assiomi con i quali dimostriamo l’enunciato dei teoremi, ovvero la tesi. Un teorema è quindi un'affermazione, detta enunciato, che è stata dimostrata.
Per questo gli assiomi non possono essere dimostrati. Per dimostrarli ci sarebbe bisogno di qualche ipotesi ancora più basilare degli assiomi, ma non c'è niente di più basilare di essi che li dimostri.
Quando abbiamo parlato della proprietà degli elementi fondamentali infatti, non abbiamo fornito alcuna prova perché si trattavano di postulati. (potete trovare qui la lezione sugli enti fondamentali della geometria).
Il quinto assioma di Euclide è molto più complesso dei primi quattro. Non è qualcosa di estremamente ovvio e logico e viene per questo chiamato postulato invece che assioma. Per millenni si è provato a dimostrare il quinto postulato di Euclide, cercando qualcosa di ancora più basilare in grado di provarlo, ma ancora non c'è riuscito nessuno.
Assioma o postulato?
Postulato e assioma sono quindi sinonimi o sono cose diverse? Effettivamente una piccola differenza c’è, ma vengono solitamente usati come sinonimi.
Si usa assioma quando ci si riferisce a qualcosa riguardante la logica mentre postulato per qualcosa di geometrico. Inoltre, un assioma è qualcosa di vero perché estremamente ovvio e logico, mentre il postulato è qualcosa di logico ed ovvio che però non si riesce a dimostrare perché troppo basilare.
Lemma e corollario
Infine il lemma è un teorema con “minor importanza”, solitamente usato per dimostrare un teorema “più importante”, mentre il corollario è la conseguenza diretta di un teorema (o di un assioma).