Triangoli particolari

Cosa sono i triangoli particolari?

Esistono dei casi particolari di triangoli che godono di alcune proprietà. Conoscerle ci permette di risolvere molto più facilmente alcuni problemi.

Triangolo rettangolo

Un triangolo è detto rettangolo se uno dei suoi angoli è un angolo retto. Si chiama così perché è metà di un rettangolo:

I lati adiacenti all'angolo retto sono detti cateti , mentre quello opposto è detto ipotenusa .

Quindi nel nostro triangolo, $\displaystyle { a }$ e $\displaystyle { b }$ sono i cateti, mentre $\displaystyle { c }$ è l'ipotenusa.

Siccome l'area di un rettangolo è base per altezza, se abbiamo metà rettangolo, l'area del triangolo sarà la metà di essa.

Il cateto $\displaystyle { a }$ è l'altezza del rettangolo e $\displaystyle { b }$ è la base, perciò l'area del triangolo sarà:

$\displaystyle { A = {ab\over 2} }$

Cioè cateto per cateto diviso due.

La proprietà più famosa, però, è il teorema di Pitagora , che dice che:

La somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa.

In altre parole, nel triangolo sopra, avremo:

$\displaystyle { a^2 + b^2 = c^2 }$

Esistono poi molte altre proprietà interessanti dei triangoli rettangoli, ma le vedremo più avanti con la trigonometria.

Triangolo isoscele

Un triangolo è detto isoscele se ha due lati uguali. I due lati uguali vengono detti i “lati obliqui” mentre il terzo si chiama “base”.

Alternativamente, si può anche definire un triangolo isoscele come un triangolo con due angoli uguali. Siccome la prima condizione comporta la seconda e viceversa, potete usare entrambe.

Il triangolo isoscele gode di una proprietà interessante:

L’altezza della base è anche uguale alla mediana e alla bisettrice dell’angolo opposto:

Avremo quindi che data una delle tre seguenti condizioni:

Allora anche le altre due devono essere vere.

Triangolo equilatero

Un triangolo è detto equilatero se tutti i suoi lati sono uguali. Alternativamente, possiamo dire, come nel caso del triangolo isoscele, che un triangolo è equilatero se tutti i suoi angoli sono uguali. Anche in questo caso la prima condizione include la seconda e viceversa, quindi potete usare entrambe, anche se è più comune la prima.

Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele in cui anche la base è uguale al lato obliquo. Di conseguenza, anch’esso gode della proprietà dei triangoli isosceli vista in precendenza, che però vale per tutti i lati e non solo per la base.

Tracciando l’altezza da uno dei vertici, per questa proprietà dobbiamo avere:

$\displaystyle { AH = HB }$

Siccome abbiamo inoltre che:

$\displaystyle { AH+HB=AB }$

Otteniamo che:

$\displaystyle { AH+AH=AB }$

$\displaystyle { AH={AB \over 2} }$

Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo $\displaystyle { \overset{\Delta}{AHC} }$ per trovare l’altezza $\displaystyle { h }$ ( $\displaystyle { CH }$ ) in funzione del lato $\displaystyle { l }$ ( $\displaystyle { AB }$ ). Avremo quindi:

$\displaystyle { AH^2 + CH^2 = CA^2 }$

$\displaystyle { ({AB\over 2})^2 + CH^2 = AB^2 }$

$\displaystyle { {l\over 2}^2 +h^2 = l^2 }$

$\displaystyle { h^2 = l^2 – {l^2 \over 4} }$

$\displaystyle { h^2= {4l^2 –l^2 \over 4} }$

$\displaystyle { h= \sqrt{3l^2 \over 4} }$

$\displaystyle { h={\sqrt{3} \over 2} l }$

Triangoli particolari

Esistono alcuni triangoli rettangoli particolari che godono di alcune proprietà che ci permettono di risolvere molti problemi molto più velocemente. Iniziamo dal triangolo “ $\displaystyle { 45^{\circ} - 90 ^{\circ} - 45^{\circ} }$ ”:

Abbiamo detto che un triangolo rettangolo si chiama così perché è la metà di un rettangolo. Cosa succede però se prendiamo un caso particolare di rettangolo: il quadrato? Il tal caso otterremo un triangolo rettangolo isoscele :

Possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la diagonale $\displaystyle { d }$ (che sarebbe l’ipotenusa del triangolo) conoscendo il lato $\displaystyle { l }$ (che sarebbe il cateto del triangolo):

$\displaystyle { l^2 + l^2 = d^2 }$

$\displaystyle { d^2 = 2l^2 }$

$\displaystyle { d=\sqrt{2} l }$

Esiste un altro caso particolare di triangolo rettangolo: il triangolo “ $\displaystyle { 30^{\circ} – 90^{\circ} – 60^{\circ} }$ ”. Notiamo infatti che è la metà di un triangolo equilatero:

Di conseguenza, utilizzando le proprietà del triangolo equilatero che abbiamo visto prima, avremo:

$\displaystyle { b={c\over 2} }$

$\displaystyle { a={\sqrt{3} \over 2} c }$

Utilizzando queste due formule, quindi, possiamo trovare tutti e tre i lati conoscendone uno qualsiasi.