Di seguito analizzeremo i triangoli particolari.
Esistono dei casi particolari di triangoli che godono di alcune proprietà. Conoscerle ci permette di risolvere molto più facilmente alcuni problemi.
Un triangolo è detto rettangolo se uno dei suoi angoli è un angolo retto. Si chiama così perché è metà di un rettangolo:
I lati adiacenti all'angolo retto sono detti cateti, mentre quello opposto è detto ipotenusa.
Quindi nel nostro triangolo, a e b sono i cateti, mentre c è l'ipotenusa.
Siccome l'area di un rettangolo è base per altezza, se abbiamo metà rettangolo, l'area del triangolo sarà la metà di essa.
Il cateto a è l'altezza del rettangolo e b è la base, perciò l'area del triangolo sarà:
A = {ab\over 2}
Cioè cateto per cateto diviso due.
La proprietà più famosa, però, è il teorema di Pitagora, che dice che:
La somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa.
In altre parole, nel triangolo sopra, avremo:
a^2 + b^2 = c^2
Esistono poi molte altre proprietà interessanti dei triangoli rettangoli, ma le vedremo più avanti con la trigonometria.
Un triangolo è detto isoscele se ha due lati uguali. I due lati uguali vengono detti i “lati obliqui” mentre il terzo si chiama “base”.
Alternativamente, si può anche definire un triangolo isoscele come un triangolo con due angoli uguali. Siccome la prima condizione comporta la seconda e viceversa, potete usare entrambe.
Il triangolo isoscele gode di una proprietà interessante:
L’altezza della base è anche uguale alla mediana e alla bisettrice dell’angolo opposto:
Avremo quindi che data una delle tre seguenti condizioni:
Allora anche le altre due devono essere vere.
Un triangolo è detto equilatero se tutti i suoi lati sono uguali. Alternativamente, possiamo dire, come nel caso del triangolo isoscele, che un triangolo è equilatero se tutti i suoi angoli sono uguali. Anche in questo caso la prima condizione include la seconda e viceversa, quindi potete usare entrambe, anche se è più comune la prima.
Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele in cui anche la base è uguale al lato obliquo. Di conseguenza, anch’esso gode della proprietà dei triangoli isosceli vista in precendenza, che però vale per tutti i lati e non solo per la base.
Tracciando l’altezza da uno dei vertici, per questa proprietà dobbiamo avere:
AH = HB
Siccome abbiamo inoltre che:
AH+HB=AB
Otteniamo che:
AH+AH=AB
AH={AB \over 2}
Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo \overset{\Delta}{AHC} per trovare l’altezza h (CH) in funzione del lato l (AB ). Avremo quindi:
AH^2 + CH^2 = CA^2
({AB\over 2})^2 + CH^2 = AB^2
{l\over 2}^2 +h^2 = l^2
h^2 = l^2 – {l^2 \over 4}
h^2= {4l^2 –l^2 \over 4}
h= \sqrt{3l^2 \over 4}
h={\sqrt{3} \over 2} l
Esistono alcuni triangoli rettangoli particolari che godono di alcune proprietà che ci permettono di risolvere molti problemi molto più velocemente. Iniziamo dal triangolo “45^{\circ} - 90 ^{\circ} - 45^{\circ}”:
Abbiamo detto che un triangolo rettangolo si chiama così perché è la metà di un rettangolo. Cosa succede però se prendiamo un caso particolare di rettangolo: il quadrato? Il tal caso otterremo un triangolo rettangolo isoscele:
Possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la diagonale d (che sarebbe l’ipotenusa del triangolo) conoscendo il lato l (che sarebbe il cateto del triangolo):
l^2 + l^2 = d^2
d^2 = 2l^2
d=\sqrt{2} l
Esiste un altro caso particolare di triangolo rettangolo: il triangolo “30^{\circ} – 90^{\circ} – 60^{\circ}”. Notiamo infatti che è la metà di un triangolo equilatero:
Di conseguenza, utilizzando le proprietà del triangolo equilatero che abbiamo visto prima, avremo:
b={c\over 2}
a={\sqrt{3} \over 2} c
Utilizzando queste due formule, quindi, possiamo trovare tutti e tre i lati conoscendone uno qualsiasi.
Sai che la somma dei cateti di un triangolo rettangolo è di 17cm, mentre la loro differenza è di 7 cm. Quanto vale il perimetro del triangolo?
30 cm
Iniziamo trovando la lunghezza dei due cateti. Per quanto abbiamo visto nella lezione problema della somma e della differenza, il cateto maggiore sarà uguale a somma più differenza diviso 2, mentre il cateto minore sarà uguale a somma meno differenza diviso 2.
Quindi avremo:
c_1 = {17 + 7 \over 2} = 12 cm
c_2 = {17-7 \over 2} = 5 cm.
Per trovare il perimetro 2P ci manca soltanto di trovare l'ipotenusa. Per farlo, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora, ottenendo:
i = \sqrt{12^2\text{cm}^2 + {5^2}\text{cm}^2}= \sqrt{144 + 25} cm = \sqrt{169} cm = 13cm.
Quindi avremo:
2P = 12cm +13cm +5cm = 30cm
30 cm
Un triangolo iscoscele ha la mediana relativa alla base lunga 4cm, sapendo che il lato obliquo è lungo 5 cm, calcolare l'area del triangolo.
12 cm^2
In un triangolo iscoscele, la mediana relativa alla base è anche l'altezza relativa alla base. Conoscendo l'altezza, dunque, ci basta solo trovare la base. Per farlo applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha creato l'altezza.
Il cateto minore è uguale a metta della base, cioè a {b\over 2}. Quindi, applicando il teorema di Pitagora, otteniamo:
{b\over 2} = \sqrt{(5cm)^2 - (4cm^2)}= \sqrt{9cm^2} = 3cm.
Quindi la base b sarà uguale a 6 cm. Quindi possiamo calcolare l'area facendo base per altezza diviso 2:
A = {b\times h \over 2} = {6cm \times 4 cm \over 2} = 12cm^2.
12 cm^2
Un triangolo 45-90-45 ha ipotenusa lunga \sqrt{8}cm. Quanto vale il perimetro del triangolo?
\sqrt{8} cm + 4 cm
Siccome si tratta di un triangolo 45-90-45, sarà un triangolo rettangolo iscoscele. Quindi i due cateti sono uguali. Chiamiamo la loro lunghezza c. Per il teorema di Pitagora dovremo dunque avere:
i^2 = c^2 + c^2
i^2 = 2c^2
Ma i = \sqrt{8}cm, quindi:
8cm^2 = 2c^2
4cm^2 = c^2
Ma qual'è quel numero che se elevato al quadrato mi da 4? Si tratta della radice quadrata di 4, cioè 2.
Quindi c=2 cm.
Possiamo quindi calcolare il perimentro 2P:
2P = i + c + c = i + 2c = \sqrt{8}cm + 4cm.
\sqrt{8}cm + 4cm
Un triangolo 30-60-90 ha ipotenusa lunga 10cm. Quanto vale la sua area?
{25 \sqrt{3}\over 2} cm^2
Per trovare l'area ci basta trovare la lunghezza dei due cateti. Siccome è un triangolo 30-60-90, il cateto minore è uguale a metà dell'ipotenusa, cioè 5 cm.
Tra il cateto maggiore c_1 e l'ipotenusa i, invece, vige la seguente relazione:
c_1 = {\sqrt{3}\over 2} \times i
Quindi otteniamo: c_1 = {\sqrt{3}\over 2} \times 10 cm = 5\sqrt{3}cm
Perciò l'area A sarà uguale a:
A = {c_1 \times c_2 \over 2} = {5 \sqrt{3} \text{cm} \times 5 \text{cm} \over 2}= {25\sqrt{3}\over 2} \text{cm}^2
{25 \sqrt{3}\over 2} cm^2
Un triangolo equilatero ha perimetro 30 cm. Quanto vale la sua area?
25\sqrt{3} cm^2
Conoscendo il periemtro, siccome tutti e tre i lati sono uguali, ci basta dividerlo per 3 per ottenere la lunghezza del lato l:
l = {30cm\over 3} = 10cm
Per trovare l'altezza possiamo usare la formula che abbiamo dimostrato qua sopra nella lezione, che ci dice che:
h = {\sqrt{3}\over 2} l= {\sqrt{3}\over 2} \times 10cm = 5\sqrt{3} cm
Per cacolare l'area ci basta ora fare base per altezza diviso due:
A = {b\times h \over 2} = {10 cm \times 5\sqrt{3}cm \over 2} = 25\sqrt{3} cm^2
Alternativamente, potevate notare che il triangolo dell'esercizio 4 era uguale a metà del triangolo equilatero di questo esercizio e quindi la sua area sarà uguale al doppio di quella dell'esercizio 4, cioè 25\sqrt{3} cm^2, come abbiamo trovato.
25\sqrt{3}cm^2