Rombo
Di seguito analizzeremo il rombo, vedremo come calcolare la sua area e il suo perimetro e infine studieremo la relazione presente tra le diagonali del rombo e il suo lato
Cos'è un rombo?
Un rombo è un quadrilatero (cioè una figura con quattro lati) che ha tutti e quattro i lati uguali. Quelli riportati di seguito sono degli esempi di rombi:
Però anche il quadrato ha tutti i lati uguali, quindi il quadrato è un rombo? Sì, si tratta di un caso particolare di rombo in cui gli angoli che formano i lati sono angoli retti. Possiamo quindi pensare al quadrato come all'unione del rombo e del rettangolo.
Sono importantissime per il rombo le sue diagonali. Per tracciarle, ci basta unire i vertici lontani:
Quella più lunga viene chiamata diagonale maggiore e si indica solitamente con la D, mentre quella più corta si chiama diagonale minore e si indica solitamente con la lettere d per far capire che è più piccola:
Infine, il lato viene solitamente chiamato l:
Ok, ora siamo pronti per studiare come si calcola il perimetro e l'area del rombo:
Perimetro e area del rombo
Il perimetro è piuttosto facile se conosciamo il lato. Se infatti sono tutti uguali, avremo che il perimetro 2P sarà uguale a:
2P = l+l+l+l
Cioè:
2P = 4l
Quindi il perimetro è uguale a 4 volte il lato.
Se conosciamo le diagonali ma non il lato, nel prossimo capitolo vedremo come calcolarci il lato che poi userete per calcolare il perimetro. Prima, però, vediamo come si trova l'area del rombo.
Per l'area è un po' più complicato, ma non preoccupatevi, nulla di troppo difficile. Dobbiamo mettere il rombo dentro un rettangolo di altezza D e base d come nel grafico qui sotto:
Notiamo che le diagonali del rombo dividono il rettangolo in quattro rettangolini uguali:
Adesso notiamo che i lati del rombo divisono ogni rettangolini in due triangolini uguali:
Quindi l'area del triangolino è la metà di quella del rettangolino. Perciò l'area dei quattro triangolini che formano il rombo è la metà di quella dei quattro rettangolini. Ma l'area dei quattro rettangoli è uguale all'area del rettangolo grande.
Quindi l'area del rombo è la metà di quella del rettangolo.
L'area del rettangolo si calcola come il prodotto della sua base per l'altezza, ovvero D \times d.
Quindi, siccome l'area A del rombo è la metà di quella del rettangolo, dobbiamo avere:
A = {D \times d \over 2}
Abbiamo dunque ottenuto che l'area del rombo è uguale al prodotto delle sue due diagonali diviso due.
Se quindi, per esempio, un rombo ha la diagonale maggiore lunga 8 cm e la diagonale minore lunga 6 cm, la sua area sarebbe uguale a:
A = {D \times d \over 2} = {8 \text{cm} \times 6 \text{cm} \over 2} = 24 \text{cm}^2
Ora, come avevamo promesso prima, dobbiamo vedere come si fa a calcolare il lato del rombo conoscendo le sue due diagonali:
Relazioni tra il lato e le diagonali del rombo
Supponiamo dunque di conoscere la diagonale maggiore D e quella minore d di un rombo e di voler trovare il suo lato. Come fare?
Prendiamo innazitutto il rombo e disegnamo le sue diagonali:
Notiamo che i triangoli che formano le diagonali, non sono triangoli qualsiasi, ma si trattano di triangoli rettangoli!
Guardiamo con più attenzione a quello in alto a destra. Notiamo che il suo cateto minore è uguale alla metà della diagonale minore, il suo cateto maggiore è la metà del suo cateto maggiore e la sua ipotenusa è uguale al nostro lato l:
Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora! Ricordiamoci un attimo che cosa dice: in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Dunque dobbiamo avere:
l^2 = \left({D\over 2}\right)^2 + \left({d\over 2}\right)^2
Prendiamo ora la radice quadrata da entrambi i lati per isolare l:
l = \sqrt{\left({D\over 2}\right)^2 + \left({d\over 2}\right)^2}
Se conosciamo invece un lato ed una delle diagonali e vogliamo trovarci l'altra, possiamo sempre usare il teorema di Pitagora ed isolare la lunghezza che vogliamo trovare.
Se quindi, per esempio, prendo il rombo dell'esempio di prima, che aveva diagonale maggiore lunga 8\text{cm} e diagonale minore lunga 6\text{cm}, come facciamo a calcolare il suo perimetro?
La metà della diagonale maggiore (cioè D\over 2) è uguale a 4\text{cm} e la metà della diagonale minore (cioè d\over 2) è 3\text{cm}, dunque dalla formula che abbiamo ottenuto prima utilizzando il teorema di Pitagora dobbiamo avere che:
l = \sqrt{(4\text{cm})^2 + (3\text{cm})^2} = 5\text{cm}
Il perimetro è uguale a 4 volte il lato, perciò abbiamo:
2P = 4l = 20 \text{cm}
1.
Calcola il perimetro di un rombo ABCD sapendo che il lato misura l = 8 cm.
32 cm
Il perimetro di un rombo si calcola sommando le lunghezze dei quattro lati. Poiché tutti i lati di un rombo sono uguali, possiamo indicare la lunghezza di ogni lato con l .
2P = 4l
Dato che il lato del rombo è 8 cm, possiamo sostituire l con 8 nella formula del perimetro.
2P = 4 \times 8 = 32
Quindi, il perimetro del rombo è 32 cm.
l rombo è un quadrilatero con tutti i lati uguali. Pertanto, il perimetro, che è la somma delle lunghezze dei quattro lati, si ottiene moltiplicando la lunghezza di uno dei lati per 4 . In questo caso, il lato è 8 cm, quindi 4 \times 8 = 32 cm. Quindi, il perimetro del rombo è 32 cm.
32 cm
2.
Il rombo ABCD ha diagonale maggiore D e diagonale minore d . Sapendo che D = 10 cm e d = 6 cm, calcola l'area del rombo.
30 \, \text{cm}^2
L'area A di un rombo si calcola con la formula:
A = \frac{1}{2} \times D \times d
Sostituendo i valori dati, otteniamo:
A = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \, \text{cm}^2
Quindi l'area del rombo è 30 \, \text{cm}^2 .
30 \, \text{cm}^2
3.
Il rombo ABCD ha diagonale maggiore D e diagonale minore d . Sapendo che D = 16 cm e l'area del rombo è 48 cm\(^2\), calcola la lunghezza della diagonale minore d .
6 cm
Possiamo riscrivere la formula dell'area del rombo come:
A = \frac{1}{2} \times D \times d
Risolvendo per d , otteniamo:
d = \frac{2A}{D}
Sostituendo i valori dati, otteniamo:
d = \frac{2 \times 48}{16} = \frac{96}{16} = 6 \, \text{cm}
Quindi la lunghezza della diagonale minore d è 6 cm.
6 cm
4.
In un rombo ABCD, la diagonale maggiore D è lunga 10 cm e la diagonale minore d è lunga 6 cm. Calcola la lunghezza del lato l del rombo.
l = 4 \, \text{cm}
Utilizzando il Teorema di Pitagora, sappiamo che in un rombo, i due triangoli formati da una delle diagonali e due lati adiacenti sono triangoli rettangoli.
Quindi possiamo applicare il Teorema di Pitagora a uno di questi triangoli:
l^2 = \left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2
Sostituendo i valori dati, otteniamo:
l^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2
l^2 = 5^2 - 3^2
l^2 = 25 - 9
l^2 = 16
Applicando la radice quadrata ad entrambi i lati dell'equazione, otteniamo:
l = 4 \, \text{cm}
Quindi la lunghezza del lato l del rombo è 4 cm.
l = 4 \, \text{cm}
5.
In un rombo ABCD, la diagonale maggiore D è lunga 8 cm e il lato l è lungo 5 cm. Calcola la lunghezza della diagonale minore d del rombo.
d = 6 cm
In un rombo, i due triangoli formati da una delle diagonali e due lati adiacenti sono triangoli rettangoli.
Applichiamo il Teorema di Pitagora a uno di questi triangoli:
\left(\frac{d}{2}\right)^2 = l^2 - \left(\frac{D}{2}\right)^2
Sostituendo i valori dati, otteniamo:
\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 5^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2
\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 25 - 16
\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 9
Applicando la radice quadrata ad entrambi i lati dell'equazione, otteniamo:
\frac{d}{2} = \sqrt{9}
d = 2 \times \sqrt{9}
Quindi la lunghezza della diagonale minore d del rombo è 2 \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 cm.
d = 6 cm
6) Calcolare l’area di un rombo
Dato un rombo con le diagonali di lunghezza 8 cm e 6 cm, calcola l'area del rombo.
24
Come sappiamo l’area del rombo si calcola:
A= \frac{D\cdot d}{2}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
A= \frac{8\cdot 6}{2} = \frac{48}{2} = 24
24
7) Calcolare il perimetro di un rombo
Se la lunghezza di un lato di un rombo è 10 cm, calcola il perimetro del rombo.
40
Come sappiamo il perimetro del rombo si calcola:
p= l \cdot 4
Avendo la lunghezza del lato possiamo eseguire il calcolo:
p= 6 \cdot 4 = 40
40
8) Calcolare il lato di un rombo
Se la lunghezza del perimetro è 16.Calcola il lato
4
Come sappiamo il lato del rombo si calcola:
l=\frac{P}{4}
Avendo la lunghezza del perimetro possiamo eseguire il calcolo:
l=\frac{16}{4} = 4
4
9) Calcolare la diagonale maggiore di un rombo
L’area misura 15, la diagonale minore 5. Calcola la diagonale maggiore
6
Come sappiamo la diagonale maggiore del rombo si calcola:
D=\frac{A \cdot 2}{d}
Avendo la misura dell’area e dell’altra diagonale possiamo eseguire il calcolo:
D=\frac{15\cdot 2}{5} = \frac{30}{5} = 6
6
10) Calcolare la diagonale minore di un rombo
L’area misura 14, la diagonale maggiore 7. Calcola la diagonale minore
4
Come sappiamo la diagonale minore del rombo si calcola:
d=\frac{A \cdot 2}{D}
Avendo la misura dell’area e dell’altra diagonale possiamo eseguire il calcolo:
d=\frac{14\cdot 2}{7} = \frac{28}{7} = 4
4
11) Calcolare l’area di un rombo
Dato un rombo con le diagonali di lunghezza 36 cm e 49 cm, calcola l'area del rombo.
882
Come sappiamo l’area del rombo si calcola:
A= \frac{D\cdot d}{2}
Avendo tutti i dati possiamo eseguire il calcolo:
= \frac{49\cdot 36}{2} = \frac{1764}{882} = 24
882
12) Calcolare il perimetro di un rombo
Se la lunghezza di un lato di un rombo è 74 cm, calcola il perimetro del rombo.
296
Come sappiamo il perimetro del rombo si calcola:
p= l \cdot 4
Avendo la lunghezza del lato possiamo eseguire il calcolo:
p= 74 \cdot 4 = 40
296
13) Calcolare il lato di un rombo
Se la lunghezza del perimetro è 356.Calcola il lato
89
Come sappiamo il lato del rombo si calcola:
l=\frac{P}{4}
Avendo la lunghezza del perimetro possiamo eseguire il calcolo:
l=\frac{356}{4} = 4
89
14) Calcolare la diagonale maggiore di un rombo
L’area misura 1560 , la diagonale minore 48. Calcola la diagonale maggiore
65
Come sappiamo la diagonale maggiore del rombo si calcola:
D=\frac{A \cdot 2}{d}
Avendo la misura dell’area e dell’altra diagonale possiamo eseguire il calcolo:
D=\frac{1560\cdot 2}{48} = \frac{3120}{48} = 65
65
15) Calcolare la diagonale minore di un rombo
L’area misura 3990, la diagonale maggiore 95. Calcola la diagonale minore
84
Come sappiamo la diagonale minore del rombo si calcola:
d=\frac{A \cdot 2}{D}
Avendo la misura dell’area e dell’altra diagonale possiamo eseguire il calcolo:
d=\frac{3990\cdot 2}{95} = \frac{7980}{95} = 84
84