Moto rettilineo uniformemente accelerato

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Moto rettilineo uniformemente accelerato

Il moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto rettilieno, cioè che avviene su una retta, ma questa volta la velocità non è più costante. Introduciamo infatti una nuova grandezza fisica: l’accelerazione media. Se al tempo t_0 il corpo ha una velocità v_0 ed al tempo t_1 ha una velocità v_1, avremo:

a_m=\frac{v_1-v_0}{t_1-t_0}

L’accelerazione media è uguale al cambiamento della velocità diviso il cambiamento del tempo. Usando la notazione con i \Delta, avremo:

a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t}

Possiamo isolare v_1 in funzione di t ed ottenere:

v(t)-v_0=a_m(t-t_0)

v(t)=v_0+a_m(t-t_0)

In un moto rettilineo uniformemente accelerato, l'accelerazione a_m è costante, quindi possiamo riscriverla come una più generica accelerazione a.

La formula appena trovata viene spesso chiamata “legge oraria della velocità di un moto rettilineo uniformemente accelerato”.

Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato

Come per il moto rettilineo uniforme, sarebbe molto utile trovare la posizione del corpo in funzione del tempo. Per fare questo dobbiamo guardare al grafico velocità-tempo:

Otteniamo un trapezio rettangolo. Si può dimostrare usando matematica più avanzata (infatti a scuola viene spesso dato come un fatto caduto dal cielo) che l’area del trapezio è uguale allo spazio percorso.

L’altezza del trapezio è uguale al tempo trascorso \Delta t. La prima base è uguale a v_0, mentre la seconda è uguale a v(t). Di conseguenza, usando la formula dell’area di un trapezio otteniamo:

A={(b_1+b_2)\cdot h \over 2}

\Delta S = {(v(t)+v_0)\cdot \Delta t \over 2}

Possiamo usare la legge oraria della velocità per sostituire v(t):

\Delta S= \frac{(v_0+a(\Delta t)+v_0)\cdot (\Delta t)}{2}

S(t)-S_0= \frac{(2v_0+a(t-t_0))\cdot (t-t_0)}{2}

S(t)-S_0= v_0(t-t_0)+{a(t-t_0)^2 \over 2}

S(t)= S_0+v_0(t-t_0)+{a(t-t_0)^2 \over 2}

E questa è la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.

Se poi abbiamo t_0=0 e S_0=0, la legge oraria si semplifica in:

S(t)=v_0t+{at^2 \over 2}

Prima di conludere la lezione, però, riprendiamo la formula di prima:

S(t)-S_0=\frac{(v_0+v(t))\cdot (t-t_0)}{2}

Ovvero:

S(t)-S_0=\frac{v_0+v(t)}{2}\cdot (t-t_0)

Notiamo che la velocità media v_m è proprio uguale a {v_0+v(t) \over 2} e quindi:

S(t)-S_0=v_m(t-t_0)

S(t)=S_0+v_m(t-t_0)

Questa formula è utile perché se tra i dati avete la velocità media vi permette di fare qualche calcolo in meno, ma non è fondamentale saperla. Le formula che dovete assolutamente ricordare sono la legge oraria della velocità e la legge oraria dello spazio.