Divisione tra polinomi
Di seguito spiegeremo come effettuarla.
Cosa devo già sapere?Da sapere:
Divisione tra polinomi
La divisione tra polinomi è utile in molte situazioni e spesso ci aiuta a semplificare i calcoli, tenerla a mente è importante anche perché si tratta di un’operazione di base e potrebbe capitare in alcuni esercizi.
Un teorema dell’algebra afferma che è sempre possibile dividere un polinomio per qualsiasi altro polinomio e avere come risultati nuovi polinomi, il polinomio quoziente e il polinomio resto.
Cioè possiamo sempre riscrivere P(x) nella seguente forma:
P(x) = Q(x)D(x)+R(x)
Come svolgere la divisione
Per svolgere la divisione basta seguire pochi semplici passaggi e ripeterli. Bisogna prima ricordare che se dividiamo un polinomio diviso per un polinomio di grado superiore non è necessario svolgere nessun passaggio, il quoziente sarà il polinomio nullo e il resto sarà il polinomio di partenza:
Esempio:
• x^2-1: x^3+x-6 \longrightarrow Q= 0 \, ;\, R=x^2-1
Chiarito questo, passiamo all’algoritmo di svolgimento della divisione.
Per prima cosa scriviamo in una tabella di questo tipo prima il polinomio e poi il divisore, ordinando i termini in modo decrescente secondo il grado (se il polinomio non è completo si scrive uno 0 al posto dei termini mancanti):
Esempio:
x^2+4x+2:x+1
Fatto questo, procediamo con la divisione del primo termine del polinomio di partenza con il primo termine del divisore e scriviamo il risultato sotto al divisore (semplice divisione tra monomi trattata nella lezione sui monomi):
Poi moltiplichiamo quest’ultimo per ogni termine del divisore e scriviamo i risultati cambiati di segno sotto i termini di grado corrispondente del polinomio di partenza:
Ora facciamo la somma tra i termini del polinomio e i termini appena scritti al disotto di essi e scriviamo sotto, separato da una linea orizzontale, il risultato:
Ripetiamo il processo finché il polinomio a sinistra è di grado inferiore al divisore, quando è di grado superiore ci fermiamo. Il polinomio a sinistra sarà il nostro resto, mentre quello a destra il quoziente.
Quindi avremo x^2 +4x+2 = (x+1)(x+3)-1.
Speriamo di avervi reso chiaro il concetto, ricordate che se il divisore è di primo grado potete anche usare la regola di Ruffini per la divisione.
1.
Calcolare quanto vale la seguente divisione tra polinomi: (x^5 + 3x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 2):(x^2 + 1)
x^3 + 3x^2 - 4x + 2
Passaggi:
- Dividiamo il termine dominante del dividendo, x^5 , per il termine dominante del divisore, x^2 .
- Il quoziente parziale è x^3 .
- Moltiplichiamo il divisore per il quoziente parziale ottenuto:
- x^3 \cdot (x^2 + 1) = x^5 + x^3 .
- Sottraiamo dal dividendo iniziale: (x^5 + 3x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 2)- (x^5 + x^3)= 3x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 2 .
- Ripetiamo il processo con il nuovo dividendo 3x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 2 .
- Dividiamo il nuovo termine dominante 3x^4 per x^2 .
- Il nuovo quoziente parziale è 3x^2 .
- Moltiplichiamo di nuovo il divisore per il quoziente parziale ottenuto:
- 3x^2 \cdot (x^2 + 1) = 3x^4 + 3x^2 .
- Sottraiamo dal nuovo dividendo: (3x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 2) - (3x^4 + 3x^2)= -3x^3 + 5x^2 - 4x + 2 .
- Continuiamo il processo fino a quando non rimangono più termini con grado maggiore o uguale a x^2
- Il resto finale è x^3 + 3x^2 - 4x + 2 .
2.
Calcolare quanto vale: (24x^5 + 32x^4 - 9x^3 - 15x^2 + 8x + 16):(3x + 4)
2x^4 - 3x^3 - x + 4
Passaggi:
- Dividiamo il termine dominante del dividendo, 24x^5 , per il termine dominante del divisore, 3x .
- Il quoziente parziale è 8x^4
- Moltiplichiamo il divisore per il quoziente parziale ottenuto:
- 8x^4 \cdot (3x + 4) = 24x^5 + 32x^4 .
- Sottraiamo dal dividendo iniziale: (24x^5 + 32x^4 - 9x^3- 15x^2 + 8x + 16) - (24x^5 + 32x^4) = -9x^3 - 15x^2 + 8x + 16 .
- Ripetiamo il processo con il nuovo dividendo -9x^3 - 15x^2 + 8x + 16 .
- Dividiamo il nuovo termine dominante -9x^3 per 3x
- Il nuovo quoziente parziale è -3x^2 .
- Moltiplichiamo di nuovo il divisore per il quoziente parziale ottenuto:
- -3x^2 \cdot (3x + 4) = -9x^3 - 12x^2 .
- Sottraiamo dal nuovo dividendo: (-9x^3 - 15x^2 + 8x + 16) - (-9x^3 - 12x^2) = -3x^2 + 8x + 16 .
- Continuiamo il processo fino a quando non rimangono più termini con grado maggiore o uguale a 3x .
- Il resto finale è 2x^4 - 3x^3 - x + 4 .
3.
Calcolare quanto vale la seguente divisione tra polinomi: (6x^10 - 24x^9 - 9x^8 + 49x^7 - 18x^6 - 11x^5 + 12x^4 - 11x^3 + 5x^2 + 2x - 1):(2x^3 - 3x + 1)
3x^7 - 12x^6 + 5x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x - 1
Passaggi:
- Dividiamo il termine dominante del dividendo, 6x^{10} , per il termine dominante del divisore, 2x^3 .
- Il quoziente parziale è 3x^7 .
- Moltiplichiamo il divisore per il quoziente parziale ottenuto:
- 3x^7 \cdot (2x^3 - 3x + 1) = 6x^{10} - 9x^8 + 3x^7 .
- Sottraiamo dal dividendo iniziale: (6x^{10} - 24x^9 - 9x^8 + 49x^7 - 18x^6 - 11x^5 + 12x^4 - 11x^3 + 5x^2 + 2x - 1) - (6x^{10} - 9x^8 + 3x^7) = -24x^9 - 9x^8 + 49x^7 - 18x^6 - 11x^5 + 12x^4- 11x^3 + 5x^2 + 2x - 1 .
- Ripetiamo il processo con il nuovo dividendo -24x^9 - 9x^8 + 49x^7 - 18x^6 - 11x^5 + 12x^4 - 11x^3 + 5x^2 + 2x - 1 .
- Dividiamo il nuovo termine dominante -24x^9 per 2x^3 .
- Il nuovo quoziente parziale è -12x^6 .
- Moltiplichiamo di nuovo il divisore per il quoziente parziale ottenuto:
- -12x^6 \cdot (2x^3 - 3x + 1)= -24x^9 + 36x^7 - 12x^6
- Sottraiamo dal nuovo dividendo: (-24x^9 - 9x^8 + 49x^7- 18x^6 - 11x^5 + 12x^4 - 11x^3 + 5x^2 + 2x - 1) - (-24x^9 + 36x^7 - 12x^6) = -9x^8 + 13x^7 - 6x^6 - 11x^5 + 12x^4- 11x^3 + 5x^2 + 2x - 1 .
- Continuiamo il processo fino a quando non rimangono più termini con grado maggiore o uguale a 2x^3 .
- Il resto finale è 3x^7 - 12x^6 + 5x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x - 1 .
4.
Calcolare quanto vale il quoziente e il resto della seguente divisione tra polinomi: (16x^4 + 8x^3 - 11x^2 + 23x + 12):(2x + 1)
Quoziente: 8x^3 - \frac{11}{2}x + \frac{57}{4} , Resto: -\frac{9}{4}
Passaggi:
- Dividiamo il termine dominante del dividendo, 16x^4 , per il termine dominante del divisore, 2x .
- Il quoziente parziale è 8x^3 .
- Moltiplichiamo il divisore per il quoziente parziale ottenuto:
- 8x^3 \cdot (2x + 1) = 16x^4 + 8x^3 .
- Sottraiamo dal dividendo iniziale: (16x^4 + 8x^3 - 11x^2 + 23x + 12) - (16x^4 + 8x^3) = -11x^2 + 23x + 12 .
- Ripetiamo il processo con il nuovo dividendo -11x^2 + 23x + 12 .
- Dividiamo il nuovo termine dominante -11x^2 per 2x
- Il nuovo quoziente parziale è -\frac{11}{2}x .
- Moltiplichiamo di nuovo il divisore per il quoziente parziale ottenuto:
- -\frac{11}{2}x \cdot (2x + 1)= -11x^2 - \frac{11}{2}x .
- Sottraiamo dal nuovo dividendo: (-11x^2 + 23x + 12) - (-11x^2 - \frac{11}{2}x)= \frac{57}{2}x + 12 .
- Continuiamo il processo fino a quando non rimangono più termini con grado maggiore o uguale a 2x .
- Il quoziente finale è 8x^3 - \frac{11}{2}x + \frac{57}{4} .
- Il resto finale è -\frac{9}{4} .
5.
Calcola quanto vale il quoziente e il resto di questa divisione tra polinomi: (x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x):(x^3 + x)
Quoziente: x^4 - x + 1 , Resto: 1
Passaggi:
- Dividere il termine dominante del dividendo con il termine dominante del divisore:
- \frac{x^7}{x^3} = x^4
- Moltiplicare il divisore per il quoziente parziale ottenuto e sottrarlo dal dividendo:
- Dividendo iniziale: x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x
- Divisore: x^3 + x
- Quoziente parziale: x^4
- Prodotto: x^4 \cdot (x^3 + x) = x^7 + x^5
- Resto: (x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x)- (x^7 + x^5) = - x^4 + x^3 - x^2 + x
- Ripetere il processo per gli altri termini fino al termine costante:
- Quoziente finale: x^4 - x + 1
- Resto finale: 1