Medie

$M_a = {a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\over n}$

Essa, però, non è l'unica media che possiamo prendere. Ne esistono molte altre, vediamo le principali:

Media geometrica

Al contrario della media artimetica, che possiamo calcolare per qualsiasi insieme di numeri reali, la media geometrica necessita che tutti i termini siano positivi.

Se quindi abbiamo $n$ numeri positivi $a_1, a_2, a_3, ... a_n,$ la loro media geometrica si calcola come:

$M_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n}$

Cioè la radice ennesima del prodotto di tutti i termini. Vediamo un esempio. Calcoliamo la media geomtrica tra $2$ e $8:$

$M_g = \sqrt{2\cdot 8} = \sqrt{16}= 4$

Notiamo che al contrario della media aritmetica, il risultato non si trova a metà strada tra i due valori, ma si trova più vicino al più piccolo.

Infatti, la media geometrica da due valori $x$ ed $y$ è quel valore $z$ tale che:

${z\over x} = {y\over z}$

Questo viene dal fatto che per definione dobbiamo avere $z= \sqrt{xy}$ e quindi $z^2 = xy$ e dividendo entrambi i lati per $xz$ otteniamo la nostra relazione.

Quindi, prendendo il reciproco di entrambe le frazioni, otteniamo:

${x\over z} = {z\over y}$

Che possiamo scrivere in proporzione come:

$x:z = z:y$

Cioè $z$ è medio proporzionale a $x$ ed $y.$

Cosa significa? Significa che mentre nella media aritmetica ottenevamo il risultato a metà strada sommando, la media geometrica ci da il valore a metà strada moltiplicando.

Cioé, se prendo la media aritmetica tra $2$ ed $8$ ottengo $5$ ed infatti sta a metà strada sommando:

$5-2 = 8-5$

Sia $8$ che $2$ distano $3$ da $5.$

Quando invece andiamo a prendere la media geometrica, stiamo moltiplicando e non dividendo. Per questo ci esce $4,$ che sta a metà strada tra $2$ ed $8$ moltiplicando:

${4\over 2} = {8\over 4}$

Se infatti moltiplico $2$ per il rapporto tra la media geometrica ed esso (ovvero $2$ ), ottengo proprio la media $4$ e se moltiplico di nuovo ottengo $8.$

Sia $8$ che $2$ distano un fattore $2$ da $4.$

La media geomtrica tra $3$ e $7$ é:

$M_g = \sqrt{3\cdot 7}= \sqrt{21}$

Il rapporto tra la media geometrica e $3$ vale $\sqrt{7\over 3}.$ Se moltiplco due volte $3$ per questo valore riottengo infatti $7,$ per questo sta a metà strada moltiplicando.

Infatti, sia $3$ che $7$ distano un fattore $\sqrt{7\over 3}$ da $\sqrt{21}.$

Media armonica

La media armonica è più rara da incontrare, ma è comunque bene studiarla. Ad esempio, compare nelle formule dei moti rettilinei uniformi consecutivi.

Se abbiamo $n$ termini $a_1,a_2,a_3,...,a_n,$ la loro media armonica si calcola come:

$M_h = {n \over {1\over a_1} + {1\over a_2} + {1\over a_3} + ... + {1\over a_n}}$

Abbiamo indicato la media armonica con $M_h$ perché, per evitare confusioni con la $a$ di arimtetica, abbiamo messo l' $h$ di harmonic, cioé armonica in inglese.

Media quadratica

La media quadratica tra $n$ termini $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ viene calcolata come:

$M_q = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + ...+ {a_n}^2\over n }$

La media quadratica viene usata, per esempio, nel calcolo dello scarto quadratico medio.

Disequazioni tra medie

Esistono delle famosissime ed utilissime disequazioni tra le medie che abbiamo appena studiato.

Prendiamo $n$ termini positivi e chiamiamo $M_a$ la loro media aritmetica, $M_g$ la loro media geometrica, $M_h$ la loro media armonica e $M_q$ la loro media quadratica. Dovremo avere:

$0 \leq M_h \leq M_g \leq M_a \leq M_q$

Se vogliamo riscriverla utilizzando le formule per calcolare queste medie, se chiamiamo i nostri termini $a_1,a_2,a_3,...,a_n,$ otteniamo:

$0 \leq {n \over {1\over a_1} + {1\over a_2} +...+ {1\over a_n}}$ $\leq \sqrt[n] {a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \leq {a_1 + a_2 +...+a_n \over n}$ $\leq \sqrt{{a_1}^2 +{a_2}^2 +...+{a_n}^2 \over n}$

In particolare, l'uguaglianza è verificata quando tutti i nostro termini sono uguali.

Se infatti prendiamo la media di un insieme di termini tutti uguali ad un certo valore $x_0,$ qualsiasi delle medie che abbiamo studiato ci da come risultato proprio $x_0,$ quindi l'uguaglianza tra le medie è verificata.

E' interessante studiare in particolare il caso della media fra solo due termini $x$ ed $y.$ In tal caso otteniamo:

$0 \leq {2\over {1\over x}+{1\over y}} \leq \sqrt{xy}$ $\leq {x+y\over 2} \leq \sqrt{x^2 + y^2 \over 2}$

Molti problemi possono essere risolti sapendo che la media aritmetica è sempre maggiore o uguale della media geometrica e l'uguagliaza è verificata quando i termini sono tutti uguali.

Quest'ultima disequazione viene spessa chiamata la disequazione MA-MG (Media Aritmetica-Media Geometrica) e può essere utilizzata, per esempio, per dimostrare che fissato il perimetro di un rettangolo e facendo variare di conseguenza le sue dimensioni, quello con area maggiore è il quadrato.