Disequazioni irrazionali

$\sqrt[3]{x+7} \geq x^2 + 8x + 7$

$\sqrt{2x} - \sqrt{x+4} < 1$

Mentre non sono disequazioni irrazionali le seguenti:

$x+2 > x^2$ perché non compare alcuna radice.

$\sqrt{2} x > 8$ perché non compare alcuna incognita dentro la radice. $\sqrt{2}$ si tratta infatti soltanto di una costante.

$\sqrt{x+1-x} + 10x - 2 > 4$ perché nella radice le incognite si semplificano e si tratta in realtà di $\sqrt{1}.$

Iniziamo studiando un caso più semplice:

Disequazioni irrazionali del tipo \sqrt[n]{f(x)} > k

Iniziamo con le disequazioni irrazionali del tipo:

$\sqrt[n]{f(x)} > k$

O con $<,\leq$ o $\geq$ al posto di $>.$

Se l'indice della radice è dispari, non ci sono problemi di segno o esistenza e possiamo quindi elevare tutto alla $n$ e risolverla. Se per esempio abbiamo:

$\sqrt[3]{x+1} > 3$

Possiamo direttamente elevare tutto al cubo ed ottenere:

$x+1> 27$

$x> 26$

Se invece l'indice della radice è pari, le cose si fanno leggermente più complicate. Dobbiamo innanzitutto suppore che la radice esista, ovvero che $f(x) > 0.$

Poi dobbiamo stare attenti ai segni. Infatti, per elevare al quadrato, non solo dobbiamo avere la concordanza dei segni come nelle equazioni irrazionali, ma entrambi i lati devono essere positivi.

Se infatti entrambi i lati fossero negativi, non si potrebbe elevare al quadrato senza cambiare il verso della disequazione. Per esempio, è vero che:

$-1 > -2$

Ma se elevo entrambi i lati al quadrato ottengo $1 > 4$ che è ovviamente falso.

Alcune disequazioni possono essere risolte immediatamente sapendo che una radice di indice pari è sempre positiva. Se per esempio abbiamo:

$\sqrt[n]{f(x)} > k$

e $k$ è negativo, la disequazione sarà sempre verificata quando la radice esiste, perché abbiamo detto che tutte le radici di indice pari sono maggiori o uguali a $0$ e quindi, in questo caso, anche di $k.$ Dovremmo solo suppore che la radice esista, ovvero che $f(x) \geq 0.$

Se invece abbiamo:

$\sqrt[n]{f(x)}< k$

e $k$ è negativo, la disequazione è impossibile, perché nessuna radice con indice pari può essere negativa, dunque sarebbe sempre maggiore di $k$ e quindi la disequazione non ha soluzioni.

Se però invece abbiamo:

$\sqrt[n]{f(x)} > k$

e $k$ è positivo, siccome entrambi i lati sono positivi, se supponiamo che la radice esista, possiamo elevare entrambi i lati alla $n$ ed ottenere:

$f(x) > k^n$

Mettendola a sistema con la condizione di esistenza otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l}f(x)\geq 0 \\ f(x)> k^n \end{array} \right.$

Però, se k è positivo, $k^n$ sarà maggiore di $0,$ quindi la disequazione $f(x) > k^n$ contiene l'altra disequazione $f(x) \geq 0.$ Cioè, se la funzione è maggiore di $k^n,$ è ovvio che sarà anche maggiore di $0,$ dunque diventa inutile scriverlo.

Il sistema si riduce quindi alla sola disequazione $f(x) > k^n.$

Infine, se abbiamo:

$\sqrt[n]{f(x)} < k$

e $k$ è positivo, allora entrambi i lati sono positivi e possiamo quindi eleverli entrambi alla $n$ (supponendo sempre che la radice esista):

$f(x) < k^n$

Mettendola a sistema con la condizione di esistenza otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ f(x) < k^n \end{array} \right.$

Nel caso in cui avessimo $\leq$ o $\geq$ al posto di $<$ e $>,$ basterebbe sostituirli negli altri passaggi lasciando il ragionamento uguale.

Ci sono quindi molti casi da dover ricordare, per questo è importante capire il procedimento e la logica che c'è dietro. Se vi metete a studiare tutti e $4$ i casi a memoria senza capire il perché delle formule, rischiate di confondervi e di sbagliare. Conviene quindi, più che imparare queste formule e memoria, comprendere la logica che c'è dietro, in maniera da poterle ricavare velocemente ogni volta che vi serviranno.

Vediamo qualche esempio:

Risolviamo la disequazione irrazionale:

$\sqrt{x+4} > 5$

Entrambi i lati sono maggiori di $0$ quindi, supponendo che la radice esista, possiamo elevare al quadrato ed ottenere:

$x + 4 > 25$

Mettendola a sistema con la condizione di esistenza otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l}x+4 \geq 0 \\ x+4 > 25 \end{array} \right.$

Se però $x+4$ è maggiore di $25,$ dovrà anche essere maggiore di $0,$ quindi la seconda disequazione contiene la prima ed è dunque inutile scrivere quest'ultima. Il sistema si riduce quindi alla diseqauzione $x + 4 > 25,$ ovvero:

$x> 21$

Vediamo un alto esempio: risolviamo la seguente disequazione irrazionale:

$\sqrt[4]{x + 2} < 2$

Entrambi i lati sono positivi quindi, supponendo che la radice esista, possiamo elevare alla quarta ed ottenere:

$x +2 < 16$

$x < 14$

Mettendola a sistema con la condizione di esistenza della radice otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l}x +2 \geq 0 \\ x < 14 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x \geq -2 \\ x < 14 \end{array} \right.$

Ovvero:

$-2 \leq x < 14$

Risolviamo, infine, la seguente disequazione irrazionale:

$\sqrt[6]{x^10 + 7x^8 - 10x + 1029} < -2$

Siccome $6$ è un numero pari, la radice sesta, se esiste, sarà sempre maggiore o uguale a $0$ ed è dunque impossibile che sia minore di $-2.$ La disequazione è quindi impossibile.

Passiamo ora ad un caso più generale:

Disequazioni irrazionali del tipo \sqrt[n]{f(x)} > g(x)

Nel lato destro della disequazione, oltre che una costante, possiamo trovare in generale una funzione di $x,$ ottenendo quindi disequazioni del tipo:

$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$

o con $<, \geq$ o $\leq$ al posto di $>.$

Come prima, se l'indice della funzione è dispari, non ci sono problemi di esistenza o di segni, dunque possiamo elevare tutto alla $n$ ed ottenere:

$f(x)> [g(x)]^n$

Se però l'indice è pari, la questione diventa più complicata. Per comodità, dividiamo queste disequazioni in due casi:

Il primo caso è se la disequazione è del tipo:

$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$

o con $\geq$ al posto $>.$ Se dovessimo avere $\geq,$ ci basterebbe sostituirlo al posto di $>$ in tutte le disequazioni che troveremo.

Adesso, supponiamo che $g(x)$ sia minore di $0,$ in tal caso, siccome una radice con indice pari è sempre positiva, se la radice esiste, la disequazione sarebbe sempre verificata. Quindi, una prima parte delle soluzioni sono date dal sistema:

$\left\{ \begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0\end{array} \right.$

Se invece $g(x)$ è maggiore o uguale a $0,$ entrambi i lati saranno positivi, quindi, supponendo che la radice esista, possiamo elevarli alla $n$ ed ottenere:

$f(x) > [g(x)]^n$

Mettendola a sistema con la condizione di esistenza e con la condizione che $g(x)$ sia maggiore di $0,$ otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l}g(x)\geq 0 \\ f(x) \geq 0 \\ f(x) > [g(x)]^n\end{array} \right.$

Se però $f(x)$ è maggiore di $[g(x)]^n,$ dovrà anche essere maggiore di $0,$ cioè la terza disequazione contiene anche la seconda e dunque è inutile scrivere quest'ultima. Dunque il sistema diventa:

$\left\{ \begin{array}{l}g(x)\geq 0 \\ f(x)> [g(x)]^n \end{array} \right.$

Entrambi i sistemi che abbiamo trovato danno soluzioni accettabili, dunque per trovare tutte le soluzioni della disequazione irrazionali, dobbiamo prendere sia le soluzioni del primo sistema che quelle del secondo, ovvero dobbiamo fare la loro unione.

Le soluzioni del sistema saranno dunque date da:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0 \end{array} \right. \, {\Large \cup}\, \left\{ \begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x) > [g(x)]^n \end{array} \right.$

Passiamo quindi al secondo caso, quello in cui la disequazione irrazionale è del tipo:

$\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$

o con $\leq$ al posto di $< .$ Come prima, se abbiamo $\leq$ invece che $< ,$ ci basterà sostituirlo al suo posto in tutte le disequazioni che troveremo.

Se $g(x)$ è negativo, la disequazione è impossibile, perché una radice di indice pari è sempre maggiore o uguale a $0$ e non potrà quindi essere minore di un numero negativo.

Dovremo quindi avere $g(x)\geq 0,$ perciò entrambi i lati saranno maggiori di $0$ e possiamo quindi, supponendo che la radice esista, elevarli entrambi alla $n:$

$f(x) < [g(x)]^n$

Se la mettiamo a sistema con le due condizioni otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l} g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq 0 \\ f(x) < [g(x)]^n \end{array} \right.$

E quindi le soluzioni del sistema ci daranno tutte le soluzioni della disequazione.

Anche qui, è importante ricordarsi queste formule, ma la cosa più importante è comprendere il ragionamento e la logica che c'è dietro. Se vi imparate soltanto questi sistemi a memoria, rischierete di confondervi e sbagliare, se però comprendete il ragionamento e la logica che c'è dietro, anche senza imparare tutti i casi a memoria, sarete capaci di ricacarvi le formule sul momento e in questo modo dovreste diminuire le probabilità di sbagliare, oltre a comprendere meglio l'argomento.

Vediamo qualche esempio:

Risolviamo la seguente disequazione irrazionale:

$\sqrt{x+7} > x +1$

Dunque, se $x+1$ è negativo, la disequazione è sempre verificata se la radice esiste, perché la radice quadrata è sempre positiva.

Quindi mettendo queste due condizioni a sistema otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l}x+1 < 0 \\ x+7 \geq 0\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x < -1 \\ x \geq -7\end{array} \right.$

Ovvero:

$-7\leq x < -1$

Se invece $x+1$ è positivo, allora, supponendo che la radice esista, possiamo elevare entrambi i lati al quadrato ed ottenere:

$x+7 > (x+1)^2$

Mettendo queste $3$ disequazioni a sistema otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ x+7 \geq 0 \\ x+7 > (x+1)^2\end{array} \right.$

Se però $x+7$ deve essere maggiore di $(x+1)^2,$ dovrà anche essere maggiore di $0,$ ovvero la seconda disequazione è contenuta nella terza ed è dunque inutile scriverla. Il sistema diventa quindi:

$\left\{ \begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ x+7 > (x+1)^2 \end{array} \right.$

Risolviamo la seconda disequazione:

$x+7 > (x+1) ^2$

$x + 7 > x^2 + 2x + 1$

$x^2 + x - 6 < 0$

Notiamo che si tratta di un trinomio notevole. $x^2 + x -6$ si può infatti riscrivere come $(x+3)(x-2):$

$(x+3)(x-2) < 0$

Tracciando il grafico dei segni otteniamo:

$-3 < x < 2$

Dunque il sistema diventa:

$\left\{ \begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ -3 < x < 2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x \geq -1 \\ -3 < x < 2\end{array} \right.$

Ovvero:

$-1 \leq x < 2$

Dobbiamo quindi fare l'unione tra i due sistemi che abbiamo risolto, ovvero:

$-7 \leq x < -1 \cup -1\leq x < 2$

Ovvero:

$-7 \leq x < 2$

e sarà dunque questa la soluzione alla nostra disequazione irrazionale.

Risolviamo, infine, la seguente disequazione irrazionale:

$\sqrt{x+2} < x+3$

Se $x+3$ è negativo, la disequazione sarebbe impossibile perché una radice quadrata non può mai essere negativa.

Dunque $x +3$ deve essere positivo e quindi entrambi i lati sono positivi, dunque, supponendo che la radice esista, possiamo elevare al quadrato:

$x +2 < (x+3)^2$

Mettendo tutte e tre le disequazioni a sistema otteniamo:

$\left\{ \begin{array}{l}x+3 \geq 0 \\ x+2 \geq 0 \\ x+2 < (x+3)^2 \end{array} \right.$

Ovvero:

$\left\{ \begin{array}{l}x\geq -3 \\ x \geq -2 \\ x+2 < x^2+6x + 9 \end{array} \right.$

Risolviamo la terza disequazione:

$x+2 < x^2 + 6x + 9$

$x^2 + 5x + 7 > 0$

Risolviamo l'equazione associata:

$x^2 + 5x + 7 = 0$

Notiamo che il discriminante di questa equazione è minore di $0.$ Siccome il coefficiente del termine di secondo grado è maggiore di $0,$ questo ci dice che il polinomio è sempre maggiore di $0$ e dunque la disequazione è sempre verificata.

Il sistema diventa:

$\left\{ \begin{array}{l}x\geq -3 \\ x\geq -2 \\ x \in \mathbb{R} \end{array} \right.$

Abbiamo messo $x \in \mathbb{R}$ per indicare che va bene qualsiasi numero reale perché la disequazione era sempre verificata.

La soluzione al sistema sarà quindi:

$x \geq -2$

Che sarà dunque anche la soluzione della disequazione irrazionale.