Criteri di divisibilità

Cosa devo già sapere?

Da sapere:

Divisori

Cosa sono i criteri di divisibilità?

I criteri di divisibilità sono dei criteri, cioè delle regole, che ci fanno capire se un numero è divisibile per un altro numero.

In questa lezione vedremo i criteri di divisibilità per 2, per 3, per 4, per 5, per 7, per 9 e per 11.

Iniziamo subito col primo:

Criterio di divisibilità per 2

Cosa dice il criterio di divisibilità per 2? Dice che un numero è divisibile per 2 se e solo se l'ultima sua cifra è pari.

Ricordiamo che un numero è pari se è divisibile per 2, mentre è dispari se non lo è.

Quindi, 198 è divisibile per 2 perché la sua ulima cifra è 8 ed 8 è divisibile per 2.

Quindi, un numero è pari se finisce con 0,2,4,6 o 8.

Mentre è dispari se finisce con 1,3,5,7 o 9.

Passiamo al prossimo:

Criterio di divisibilità per 3.

Cosa dice il criterio di divisibilità per 3? Dice che un numero è divisibile per 3 se la somma delle due cifre è un multiplo 3.

Quindi se prendo 153 e voglio sapere se è divisibile per 3, mi basta fare 1+5+3 che fa 9, che è un multiplo di 3, dunque 153 sarà divisibile per 3.

Se invece prendo 172 e faccio la somma delle sue cifre, ottengo 1+7+2=10 che non è divisibile per 3, dunque nemmeno 172 lo sarà.

Combinando questo criterio con quello di divisibilità per 2 ottengo il criterio di divisibilità per 6 perché se un numero è divisibile per 6, allora è divisibile sia per 2 che per 3.

Quindi affinchè un numero sia divisibile per 6 deve essere vero sia che la sua ultima cifra è pari sia che la somma delle sue cifre è divisibile per 3.

Andiamo al prossimo:

Criterio di divisibilità per 4

Cosa dice il criterio di divisibilità per 4? Dice che un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre sono un multiplo di 4.

Quindi se ho 187616, noto che le sue ultime due cifre sono 16, che è divisibile per 4, dunque tutto il numero è divisibile per 4..

Se le ultime due cifre sono 00, va bene lo stesso, conta come divisibile.

Se invece ho 1318, le sue due ultime cifre sono 18, che non è divisibile per 4, dunque 1318 non è divisibile per 4.

Passiamo quindi al prossimo:

Criterio di divisibilità per 5

Cosa dice il criterio di divisibilità per 5? Dice che un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 5 o 0.

Quindi 170, siccome finisce con 0, è divisibile per 5.

Anche 4385, siccome finisce con 5, è divisibile per 5.

Mentre 134 non è divisibile per 5 perché finisce con 4.

Andiamo ora al 7, quello forse più complicato:

Criterio di divisibilità per 7

Cosa dice il criterio di divisibilità per 7? Dice che un numero è divisibile per 7 se la differenza tra il numero senza la sua ultima cifra e il doppio di quest'ultima cifra è uguale a 0 o a un multiplo di 7.

Quindi, ad esempio, 182 è divisibile per 7 perché se levo la sua ultima cifra ottengo 18 e se gli sottraggo il doppio della sua ultima cifra, cioè 4, ottengo 14, che è divisibile per 7.

Mentre se ho 314, se tolgo l'ultima cifra ottengo 31, il doppio dell'ultima cifra è 8 e se faccio 31-8 ottengo 23, che non è divisibile per 7. Dunque 314 non è divisibile per 7.

Passiamo ora al 9:

Criterio di divisibilità per 9

Cosa dice il criterio di divisibilità per 9? E' molto simile a quello del 3, infatti dice che un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.

Quindi, ad esempio, la somma delle cifre di 171 è 1+7+1=9 che è divisibile per 9 dunque anche 171 è divisibile per 9.

Se invece prendo 132 e sommo le sue cifre, ottengo 1+3+2=6 che non è divisibile per 9, dunque neanche 132 lo è.

Infine, passiamo all'11:

Criterio di divisibilità per 11

Cosa dice il criterio di divisibilità per 11? Dice che un numero è divisibile per 11 se la somma delle sue cifre di posto pari meno le cifre di posto dispari fa 0 o un multiplo di 11.

I posti delle cifre si cominciano a contare dalle unità, che dunque occupano il primo posto. Le decine stanno nel secondo, le migliaia nel terzo e così via.

Quindi se prendo 8349 le sue cifre di posto pari sono 4 e 8, mentre quelle di posto dispari sono 9 e 3. La somma delle prime fa 12 e anche 9+3 fa 12. Dunque facendo la differenza ottengo 12-12 =0. Siccome ho ottenuto 0, 8349 è divisibile per 11.

Mentre se prendo 221, la sua unica cifra di posto pari è 2, mentre la somma delle cifre di posto dispari è 3, dunque facendo la differenza ottengo 2-3=-1 che non è un multiplo di 11, quindi 221 non è divisibile per 11.