Circonferenza

La circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.

La distanza tra i punti della circonferenza e il suo centro è chiamata raggio e si indica solitamente con la lettera $\displaystyle { r. }$

L’equazione di una circonferenza, di conseguenza, si ottiene ponendo la distanza tra un generico punto $\displaystyle { P(x,y) }$ e il centro uguale al raggio:

$\displaystyle { \sqrt {(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2}=r }$ $\displaystyle { \, \longrightarrow \, (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2 }$

dove $\displaystyle { \alpha }$ e $\displaystyle { \beta }$ sono le coordinate del centro $\displaystyle { C }$ e $\displaystyle { r }$ è, appunto, il raggio.

Quindi se il centro della circonferenza coincide con l'origine, $\displaystyle { \alpha }$ e $\displaystyle { \beta }$ sono $\displaystyle { 0 }$ e l’equazione diventa:

$\displaystyle { x^2 + y^2=r^2 }$

Equazione in forma implicita

Notiamo che l’equazione della circonferenza è di secondo grado e che da essa si ricava anche l’equazione in forma implicita della circonferenza:

$\displaystyle { x^2+y^2+ax+by+c =0 }$

Per dimostrarla, partiamo dall'equazione in forma esplicita ed espandiamo i quadrati dei binomi.

Svolgendo i calcoli otteniamo:

$\displaystyle { x^2+y^2-2\alpha x-2 \beta y+ \alpha^2+ \beta^2-r^2 }$ $\displaystyle { =0 }$

Definiamo ora i coefficienti numerici $\displaystyle { a }$ , $\displaystyle { b }$ e $\displaystyle { c }$ come:

$\displaystyle { a=-2\alpha }$

$\displaystyle { b = -2 \beta }$

$\displaystyle { c=\alpha^2+\beta^2-r^2 }$

Sostituendo otteniamo infatti l'equazione desiderata.

L’equazione di una circonferenza si distingue da quella di una conica generica perché rispetta $\displaystyle { 3 }$ condizioni:

1. I coefficienti dei termini al quadrato sono uguali

2. Non compare il termine rettangolare (cioè non c'è nulla del tipo $\displaystyle { xy }$ )

3. Il raggio $\displaystyle { \sqrt{a^2+b^2-c} }$ è $\displaystyle { \geq 0 }$

Trovare l’equazione di una circonferenza

Conoscendo il raggio e il centro di una circonferenza è possibile trovare la sua equazione.

Il metodo consiste nell’applicare la formula vista prima sostituendo le coordinate del centro a $\displaystyle { \alpha }$ e $\displaystyle { \beta }$ mentre a $\displaystyle { r }$ la misura del raggio.

$\displaystyle { (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2 }$

Possiamo conoscere anche solo $\displaystyle { 3 }$ punti appartenenti alla circonferenza per trovare la sua equazione. Infatti, ricordiamo che per 3 punti non allineati passa una e una sola circonferenza.

Per fare questo ci basterà sostituire le coordinate dei punti all’equazione generale e risolvere un sistema a $\displaystyle { 3 }$ equazioni e $\displaystyle { 3 }$ incognite.

Esempio:

Troviamo l'equazione della circonferenza passante per i seguenti punti:

$\displaystyle { A(0, 2), B(2, 4) }$ e $\displaystyle { C(1, 0) }$

Ricordando che l'equazione generica della circonferenza è $\displaystyle { x^2+y^2+ax+by+c =0, }$ possiamo impostare il sistema a tre equazioni e tre incognite:

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} 4+2b+c =0\\ 4+16+2a+4b+c =0\\ 1+a+c =0\end{array} \right. }$ $\displaystyle { \longrightarrow }$ $\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a+4b+c =0\\ c =-a-1\end{array} \right. }$

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a-6+2a-a-1 =0\\ c =-a-1\end{array} \right. }$ $\displaystyle { \longrightarrow }$ $\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ a =-{13 \over 3}\\ c =-a-1\end{array} \right. }$

$\displaystyle { a = -{13 \over 3} }$ , $\displaystyle { b = - {11 \over 3} }$ , $\displaystyle { c= {10 \over 3} }$

Quindi la soluzione sarà:

$\displaystyle { x^2+y^2- {13 \over 3}x+- {11\over 3}y+{10 \over 3} =0 }$

Metodo alternativo

Come avrete intuito, risolvere un sistema a $\displaystyle { 3 }$ equazioni e $\displaystyle { 3 }$ incognite è un metodo abbastanza ostico per trovare l’equazione della circonferenza dati $\displaystyle { 3 }$ punti. Per questo motivo suggeriamo quest’altro metodo che può rivelarsi più veloce:

Conoscendo le proprietà dell' asse di un segmento sappiamo che ogni punto ad esso appartenente è equidistante da gli estremi. E con questo?

Sfruttando questa proprietà troviamo le $\displaystyle { 2 }$ equazioni degli assi dei $\displaystyle { 2 }$ segmenti che uniscono $\displaystyle { 2 }$ dei nostri $\displaystyle { 3 }$ punti e, mettendole a sistema, troviamo il loro punto di intersezione .

Ora, avendo tracciato i $\displaystyle { 2 }$ assi, ci accorgiamo facilmente che il loro punto di intersezione è equidistante dai $\displaystyle { 3 }$ punti di partenza. Ecco trovato il nostro centro .

L’ultimo passo è calcolare il raggio che è semplicemente la distanza tra il centro e uno qualsiasi dei nostri punti.

Posizione di una retta rispetto a una circonferenza

Una retta può essere posizionata in $\displaystyle { 3 }$ modi rispetto a una circonferenza:

• Tangente (2 intersezioni coincidenti, perpendicolare al raggio) $\displaystyle { \Delta = 0 }$

• Secante (2 intersezioni) $\displaystyle { \Delta > 0 }$

• Esterna (nessuna intersezione) $\displaystyle { \Delta < 0 }$

Date una retta e una circonferenza possiamo verificare la loro posizione reciproca analizzando il $\displaystyle { \Delta }$ della risolvente (equazione a una sola incognita ottenuta in un sistema eliminando le altre incognite).

Se il $\displaystyle { \Delta }$ è maggiore di $\displaystyle { 0 }$ la retta sarà secante, se uguale a $\displaystyle { 0 }$ la retta sarà tangente, mentre se il $\displaystyle { \Delta }$ è minore di $\displaystyle { 0 }$ la retta sarà esterna.

Esempio:

Verifica che la retta $\displaystyle { y-3x=0 }$ sia tangente alla circonferenza $\displaystyle { x^2+y^2-6x+2y=0 }$

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}y-3x=0\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{array} \right. }$ $\displaystyle { \longrightarrow }$ $\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{array} \right. }$

$\displaystyle { \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\x^2+9x^2 -6x + 6x=0\end{array} \right. }$ $\displaystyle { \longrightarrow }$ $\displaystyle { 10x^2=0 }$ $\displaystyle { \longrightarrow }$ $\displaystyle { \Delta = 0 }$ - Tangente

Un altro modo per verificare la posizione retta-circonferenza è quello di calcolare la distanza tra la retta e il centro della circonferenza e confrontarlo con il raggio, se è maggiore sarà esterna, se minore secante e se uguale tangente.