Circonferenza
La figura piana perfetta.
Cosa devo già sapere?
La circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.
La distanza tra i punti della circonferenza e il suo centro è chiamata raggio e si indica solitamente con la lettera r.
L’equazione di una circonferenza, di conseguenza, si ottiene ponendo la distanza tra un generico punto P(x,y) e il centro uguale al raggio:
\sqrt {(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2}=r\, \longrightarrow \, (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2
Dove \alpha e \beta sono le coordinate del centro C e r è, appunto, il raggio.
Quindi se il centro della circonferenza coincide con l'origine, \alpha e \beta sono 0 e l’equazione diventa:
x^2 + y^2=r^2
Equazione in forma implicita
Notiamo che l’equazione della circonferenza è di secondo grado e che da essa si ricava anche l’equazione in forma implicita della circonferenza:
x^2+y^2+ax+by+c =0
Per dimostrarla, partiamo dall'equazione in forma esplicita ed espandiamo i quadrati dei binomi.
Svolgendo i calcoli otteniamo:
x^2+y^2-2\alpha x-2 \beta y+ \alpha^2+ \beta^2-r^2=0
Definiamo ora i coefficienti numerici a, b e c come:
a=-2\alpha
b = -2 \beta
c=\alpha^2+\beta^2-r^2
Sostituendo otteniamo infatti l'equazione desiderata.
L’equazione di una circonferenza si distingue da quella di una conica generica perché rispetta 3 condizioni:
1. I coefficienti dei termini al quadrato sono uguali
2. Non compare il termine rettangolare (cioè non c'è nulla del tipo xy)
3. Il raggio \sqrt{a^2+b^2-c} è \geq 0
Trovare l’equazione di una circonferenza
Conoscendo il raggio e il centro di una circonferenza è possibile trovare la sua equazione.
Il metodo consiste nell’applicare la formula vista prima sostituendo le coordinate del centro a \alpha e \beta mentre a r la misura del raggio.
(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2
Possiamo pure conoscere soltanto 3 punti appartenenti alla circonferenza per trovare la sua equazione. Infatti, ricordiamo che per 3 punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Per fare questo ci basterà sostituire le coordinate dei punti all’equazione generale e risolvere un sistema a 3 equazioni e 3 incognite.
Esempio:
Troviamo l'equazione della circonferenza passante per i seguenti punti:
A(0, 2), B(2, 4) e C(1, 0)
Ricordando che l'equazione generica della circonferenza è x^2+y^2+ax+by+c =0, possiamo impostare il sistema a tre equazioni e tre incognite:
\left\{ \begin{array}{l} 4+2b+c =0\\ 4+16+2a+4b+c =0\\ 1+a+c =0\end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a+4b+c =0\\ c =-a-1\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a-6+2a-a-1 =0\\ c =-a-1\end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ a =-{13 \over 3}\\ c =-a-1\end{array} \right.
a = -{13 \over 3}, b = - {11 \over 3}, c= {10 \over 3}
Quindi la soluzione sarà:
x^2+y^2- {13 \over 3}x+- {11\over 3}y+{10 \over 3} =0
Metodo alternativo
Come avrete intuito, risolvere un sistema a 3 equazioni e 3 incognite è un metodo abbastanza ostico per trovare l’equazione della circonferenza dati 3 punti. Per questo motivo suggeriamo quest’altro metodo che può rivelarsi più veloce:
Conoscendo le proprietà dell'asse di un segmento sappiamo che ogni punto ad esso appartenente è equidistante da gli estremi. E con questo?
Sfruttando questa proprietà troviamo le 2 equazioni degli assi dei 2 segmenti che uniscono 2 dei nostri 3 punti e, mettendole a sistema, troviamo il loro punto di intersezione.
Ora, avendo tracciato i 2 assi, ci accorgiamo facilmente che il loro punto di intersezione è equidistante dai 3 punti di partenza. Ecco trovato il nostro centro.
L’ultimo passo è calcolare il raggio che è semplicemente la distanza tra il centro e uno qualsiasi dei nostri punti.
Posizione di una retta rispetto a una circonferenza
Una retta può essere posizionata in 3 modi rispetto a una circonferenza:
• Tangente (2 intersezioni coincidenti, perpendicolare al raggio) \Delta = 0
• Secante (2 intersezioni) \Delta > 0
• Esterna (nessuna intersezione) \Delta < 0
Date una retta e una circonferenza possiamo verificare la loro posizione reciproca analizzando il \Delta della risolvente (equazione a una sola incognita ottenuta in un sistema eliminando le altre incognite).
Se il \Delta è maggiore di 0 la retta sarà secante, se uguale a 0 la retta sarà tangente, mentre se il \Delta è minore di 0 la retta sarà esterna.
Esempio:
Verifica che la retta y-3x=0 sia tangente alla circonferenza x^2+y^2-6x+2y=0
\left\{ \begin{array}{l}y-3x=0\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l}y=3x\\x^2+9x^2 -6x + 6x=0\end{array} \right. \longrightarrow 10x^2=0 \longrightarrow \Delta = 0 - Tangente
Un altro modo per verificare la posizione retta-circonferenza è quello di calcolare la distanza tra la retta e il centro della circonferenza e confrontarlo con il raggio, se è maggiore sarà esterna, se minore secante e se uguale tangente.
1. Equazione implicita
Trova l'equazione implicita della circonferenza con raggio 5 e centro (2;1)
x^2 + y^2 - 4x -2y -20=0
1. L'equazione di una circonferenza con centro (h, k) e raggio r è:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
2. Dato h = 2, k = 1 e r = 5, sostituiamo i valori:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5^2
3. Sviluppiamo i quadrati:
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1
4. Sommiamo i termini:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 25
5. Raggruppiamo i termini:
x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 25
6. Sottraiamo 25 da entrambi i lati per ottenere l'equazione implicita:
x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0
2. Calcolo del raggio
Trova quanto vale il raggio r della circonferenza di equazione x^2 + y^2 + 8x - 6y -39 = 0
r = 8
1. Partiamo dall'equazione generale della circonferenza:
x^2 + y^2 + 8x - 6y - 39 = 0
2. Riscriviamo l'equazione in forma standard completando il quadrato:
x^2 + y^2 + 8x - 6y = 39
3. Completiamo il quadrato per i termini in x:
x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16
4. Completiamo il quadrato per i termini in y:
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
5. Sostituendo nell'equazione:
(x + 4)^2 - 16 + (y - 3)^2 - 9 = 39
6. Sommiamo le costanti:
(x + 4)^2 + (y - 3)^2 - 25 = 39
7. Aggiungiamo 25 a entrambi i lati per ottenere la forma standard:
(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 64
8. Da qui si vede che r^2 = 64, quindi il raggio è:
r = \sqrt{64} = 8
3. Posizione reciproca
Verifica se le due circonferenze con equazione x^2 + y^2 + 6x = 0 e x^2 + y^2 + 8y + 12 = 0 sono tangenti, secanti o esterne.
Sono tangenti
1. Consideriamo la prima circonferenza x^2 + y^2 + 6x = 0. Completando il quadrato otteniamo:
x^2 + 6x + y^2 = 0 \longrightarrow (x + 3)^2 - 9 + y^2 = 0 \longrightarrow (x + 3)^2 + y^2 = 9
Da cui si vede che il centro è (-3, 0) e il raggio è 3.
2. Consideriamo la seconda circonferenza x^2 + y^2 + 8y + 12 = 0. Completando il quadrato otteniamo:
x^2 + y^2 + 8y + 12 = 0 \longrightarrow x^2 + (y + 4)^2 - 16 + 12 = 0 \longrightarrow x^2 + (y + 4)^2 - 4 = 0 \longrightarrow x^2 + (y + 4)^2 = 4
Da cui si vede che il centro è (0, -4) e il raggio è 2.
3. Calcoliamo la distanza tra i centri delle due circonferenze:
d = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
4. Le circonferenze sono tangenti esternamente se la distanza tra i centri è uguale alla somma dei raggi:
r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5
Dato che d = 5, le circonferenze sono tangenti.
4. Circonferenza per tre punti
Trovare l'equazione della circonferenza passante per i punti A(2;4), B(7;-1) e C(5;-5)
(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25
1. Partiamo dall'equazione generale della circonferenza: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
2. Sostituendo i punti A(2,4), B(7,-1) e C(5,-5) otteniamo un sistema di tre equazioni:
\left\{ \begin{array}{l} 2^2 + 4^2 + 2D + 4E + F = 0 \\ 7^2 + (-1)^2 + 7D - E + F = 0 \\ 5^2 + (-5)^2 + 5D - 5E + F = 0 \end{array}\right.
\left \{ \begin{array}{l} 4 + 16 + 2D + 4E + F = 0 \\ 49 + 1 + 7D - E + F = 0 \\ 25 + 25 + 5D - 5E + F = 0 \end{array}\right.
\left \{ \begin{array}{l} 20 + 2D + 4E + F = 0 \\ 50 + 7D - E + F = 0 \\ 50 + 5D - 5E + F = 0 \end{array}\right.
\left \{ \begin{array}{l} 2D + 4E + F = -20 \\ 7D - E + F = -50 \\ 5D - 5E + F = -50 \end{array}\right.
3. Risolviamo il sistema per trovare D, E e F:
Sottraiamo la prima equazione dalla seconda e dalla terza:
\left \{ \begin{array}{l}
2D + 4E + F = -20 \\
(7D - E + F) - (2D + 4E + F) = -50 + 20 \\
(5D - 5E + F) - (2D + 4E + F) = -50 + 20
\end{array}\right.
\left \{ \begin{array}{l} 2D + 4E + F = -20 \\ 5D - 5E = -30 \\ 3D - 9E = -30 \end{array}\right.
Dividiamo la terza equazione per 3:
\left \{ \begin{array}{l} 2D + 4E + F = -20 \\ 5D - 5E = -30 \\ D - 3E = -10 \end{array}\right.
Risolviamo il sistema:
\left \{ \begin{array}{l} D - 3E = -10 \longrightarrow D = -10 + 3E \\ 5D - 5E = -30 \end{array}\right.
Sostituiamo D nella seconda equazione:
5(-10 + 3E) - 5E = -30 \longrightarrow -50 + 15E - 5E = -30 \longrightarrow 10E = 20 \longrightarrow E = 2
D = -10 + 3(2) = -10 + 6 = -4
Sostituiamo D ed E nella prima equazione per trovare F:
2(-4) + 4(2) + F = -20 \longrightarrow -8 + 8 + F = -20 \longrightarrow F = -20
4. Quindi l'equazione della circonferenza è:
x^2 + y^2 - 4x + 2y - 20 = 0
5. Equazione della circonferenza
Trovare l'equazione della circonferenza passante per il punto A(0;4) e tangente alla parabola di equazione y = 0.1 \cdot x nel punto O(0;0)
x^2 + (y-2)^2 = 4
1. La tangente alla parabola y = 0.1 \cdot x nel punto O(0,0) è l'asse x = 0, poiché la tangente passa per O.
2. La circonferenza è tangente alla parabola in O, quindi passa per O e il punto A(0,4).
3. L'equazione della circonferenza con centro sull'asse y e raggio r è:
x^2 + (y - k)^2 = r^2
4. Poiché la circonferenza passa per A(0,4), sostituendo x = 0 e y = 4 otteniamo:
(4 - k)^2 = r^2
5. Poiché passa anche per O(0,0):
k^2 = r^2
6. Dalla seconda equazione otteniamo k = r. Sostituendo nella prima otteniamo:
(4 - r)^2 = r^2
16 - 8r + r^2 = r^2
7. Eliminando r^2 otteniamo:
16 - 8r = 0 \longrightarrow r = 2
Quindi k = 2.
8. L'equazione della circonferenza è:
x^2 + (y - 2)^2 = 4