Circonferenza
La figura piana perfetta.
Cosa devo già sapere?
La circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.
La distanza tra i punti della circonferenza e il suo centro è chiamata raggio e si indica solitamente con la lettera r.
L’equazione di una circonferenza, di conseguenza, si ottiene ponendo la distanza tra un generico punto P(x,y) e il centro uguale al raggio:
\sqrt {(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2}=r\, \longrightarrow \, (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2
Dove \alpha e \beta sono le coordinate del centro C e r è, appunto, il raggio.
Quindi se il centro della circonferenza coincide con l'origine, \alpha e \beta sono 0 e l’equazione diventa:
x^2 + y^2=r^2
Equazione in forma implicita
Notiamo che l’equazione della circonferenza è di secondo grado e che da essa si ricava anche l’equazione in forma implicita della circonferenza:
x^2+y^2+ax+by+c =0
Per dimostrarla, partiamo dall'equazione in forma esplicita ed espandiamo i quadrati dei binomi.
Svolgendo i calcoli otteniamo:
x^2+y^2-2\alpha x-2 \beta y+ \alpha^2+ \beta^2-r^2=0
Definiamo ora i coefficienti numerici a, b e c come:
a=-2\alpha
b = -2 \beta
c=\alpha^2+\beta^2-r^2
Sostituendo otteniamo infatti l'equazione desiderata.
L’equazione di una circonferenza si distingue da quella di una conica generica perché rispetta 3 condizioni:
1. I coefficienti dei termini al quadrato sono uguali
2. Non compare il termine rettangolare (cioè non c'è nulla del tipo xy)
3. Il raggio \sqrt{a^2+b^2-c} è \geq 0
Trovare l’equazione di una circonferenza
Conoscendo il raggio e il centro di una circonferenza è possibile trovare la sua equazione.
Il metodo consiste nell’applicare la formula vista prima sostituendo le coordinate del centro a \alpha e \beta mentre a r la misura del raggio.
(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2=r^2
Possiamo pure conoscere soltanto 3 punti appartenenti alla circonferenza per trovare la sua equazione. Infatti, ricordiamo che per 3 punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Per fare questo ci basterà sostituire le coordinate dei punti all’equazione generale e risolvere un sistema a 3 equazioni e 3 incognite.
Esempio:
Troviamo l'equazione della circonferenza passante per i seguenti punti:
A(0, 2), B(2, 4) e C(1, 0)
Ricordando che l'equazione generica della circonferenza è x^2+y^2+ax+by+c =0, possiamo impostare il sistema a tre equazioni e tre incognite:
\left\{ \begin{array}{l} 4+2b+c =0\\ 4+16+2a+4b+c =0\\ 1+a+c =0\end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a+4b+c =0\\ c =-a-1\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ 20+2a-6+2a-a-1 =0\\ c =-a-1\end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b={-3+a \over 2}\\ a =-{13 \over 3}\\ c =-a-1\end{array} \right.
a = -{13 \over 3}, b = - {11 \over 3}, c= {10 \over 3}
Quindi la soluzione sarà:
x^2+y^2- {13 \over 3}x+- {11\over 3}y+{10 \over 3} =0
Metodo alternativo
Come avrete intuito, risolvere un sistema a 3 equazioni e 3 incognite è un metodo abbastanza ostico per trovare l’equazione della circonferenza dati 3 punti. Per questo motivo suggeriamo quest’altro metodo che può rivelarsi più veloce:
Conoscendo le proprietà dell'asse di un segmento sappiamo che ogni punto ad esso appartenente è equidistante da gli estremi. E con questo?
Sfruttando questa proprietà troviamo le 2 equazioni degli assi dei 2 segmenti che uniscono 2 dei nostri 3 punti e, mettendole a sistema, troviamo il loro punto di intersezione.
Ora, avendo tracciato i 2 assi, ci accorgiamo facilmente che il loro punto di intersezione è equidistante dai 3 punti di partenza. Ecco trovato il nostro centro.
L’ultimo passo è calcolare il raggio che è semplicemente la distanza tra il centro e uno qualsiasi dei nostri punti.
Posizione di una retta rispetto a una circonferenza
Una retta può essere posizionata in 3 modi rispetto a una circonferenza:
• Tangente (2 intersezioni coincidenti, perpendicolare al raggio) \Delta = 0
• Secante (2 intersezioni) \Delta > 0
• Esterna (nessuna intersezione) \Delta < 0
Date una retta e una circonferenza possiamo verificare la loro posizione reciproca analizzando il \Delta della risolvente (equazione a una sola incognita ottenuta in un sistema eliminando le altre incognite).
Se il \Delta è maggiore di 0 la retta sarà secante, se uguale a 0 la retta sarà tangente, mentre se il \Delta è minore di 0 la retta sarà esterna.
Esempio:
Verifica che la retta y-3x=0 sia tangente alla circonferenza x^2+y^2-6x+2y=0
\left\{ \begin{array}{l}y-3x=0\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{array} \right. \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=3x\\x^2+y^2-6x+2y=0\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l}y=3x\\x^2+9x^2 -6x + 6x=0\end{array} \right. \longrightarrow 10x^2=0 \longrightarrow \Delta = 0 - Tangente
Un altro modo per verificare la posizione retta-circonferenza è quello di calcolare la distanza tra la retta e il centro della circonferenza e confrontarlo con il raggio, se è maggiore sarà esterna, se minore secante e se uguale tangente.